線性系統(tǒng)理論第四章.ppt

1、線性系統(tǒng)理論,曲延濱,第四章,線性系統(tǒng)的時間域理論,第4章 系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性,系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定性的分析是控制理論的一個重要組成部分。,穩(wěn)定性是系統(tǒng)的另一個重要特征。,實(shí)際系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。,外部穩(wěn)定性 ：通過輸入輸出關(guān)系來表征。,內(nèi)部穩(wěn)定性 ：零輸入下狀態(tài)運(yùn)動的響應(yīng)來表征。,滿足一定的條件，內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性之間存在等價,關(guān)系。,第四章,連續(xù)時間系統(tǒng) 離散時間系統(tǒng),定常系統(tǒng) 時變系統(tǒng) ；,討論內(nèi)部穩(wěn)定性。,李亞普諾夫方法（.),線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng) ；,第四章,考慮一個線性因果系統(tǒng)，如果對應(yīng)于一個有界的輸入 ，,必須假定系統(tǒng)的初始條件為零，才是唯一的和有意義的。,的，簡稱為 B I B O 穩(wěn)

2、定。,即滿足條件：,的輸入 ，所產(chǎn)生的輸出 也是有界的，即成立,則稱此因果系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，即有界輸入有界輸出穩(wěn)定,4.1 外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性,外部穩(wěn)定性,第四章,這樣的函數(shù) 稱為 的范數(shù)。,范數(shù)是定義在線性空間上的一個非負(fù)實(shí)值函數(shù)。,如果 是數(shù)域 上的一個線性空間， 是任意一個向,條件：,量， 對應(yīng)一個非負(fù)實(shí)數(shù) ，這個非負(fù)實(shí)數(shù)滿足下列三個,（1）當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， 。,（2）對任意常數(shù) ，有 。,（3）對任意向量 ，成立 “ 三角不等式 ”,第四章,一個元,判別準(zhǔn)則,結(jié)論 1 時變系統(tǒng) ,均滿足關(guān)系式：,應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)為 B I B O 穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一,個有限常數(shù) ，使對

3、于一切 ， 的每,對于零初始條件的線性時變系統(tǒng)，表 為其脈沖響,第四章,首先，考慮 ，即單輸入單輸出的情況。,證明 ：分成兩步來證明,先證充分性 ：已知 成立，,且任意輸入 滿足,就可得到,那么利用由脈沖響應(yīng)函數(shù) 表示的輸出 的表達(dá)式,從而由定義知系統(tǒng)為 B I B O 穩(wěn)定。,第四章,證必要性 ：采用反證法，設(shè)存在某個 ，,使,則定義如下的一個有界輸入,即,表明輸出無界，與 B I B O 穩(wěn)定相矛盾。,考察由它作用下所產(chǎn)生的輸出 ，易知,第四章,多輸入多輸出情況,系統(tǒng)輸出 的分量 滿足關(guān)系式,有限個有界函數(shù)之和仍為有界，可證得此結(jié)論。,第四章,結(jié)論 2 定常系統(tǒng) ,均滿足關(guān)系式：,為 B

4、I B O 穩(wěn)定的充分必要條件是，存在一個有限常數(shù) ，,的每一個元,對于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，表初始時刻 ，,或等價地，當(dāng) 為真的有理分式函數(shù)矩陣時， 的,每一個元傳遞函數(shù) 的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。,為其脈沖響應(yīng)矩陣， 為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng),第四章,對于線性定常系統(tǒng),如果外輸入 ，初始狀態(tài) 為任意，且由 引起,的零輸入響應(yīng) ，滿足關(guān)系式：,則稱系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，或稱為是漸近穩(wěn)定的。,內(nèi)部穩(wěn)定,第四章,另：漸近穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣 A 的所有特征值均具有,負(fù)實(shí)部，即,其中 為系統(tǒng)的維數(shù)。,當(dāng)矩陣 A 給定后，則可導(dǎo)出其特征多項(xiàng)式,利用勞斯霍爾維茨判據(jù)，直接由系數(shù),來判斷系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定

5、性。,第四章,下的穩(wěn)定性。,內(nèi)部穩(wěn)定：系統(tǒng)狀態(tài)自由運(yùn)動的穩(wěn)定性，也即李亞普諾夫意義,內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性間的關(guān)系,必是漸近穩(wěn)定的。,穩(wěn)定。,結(jié)論 2：設(shè)線性定常系統(tǒng)是 B I B O 穩(wěn)定的，則不能保證系統(tǒng),結(jié)論 1 ：設(shè)線性定常系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的，則其必是 B I B O,性與外部穩(wěn)定性必是等價的。,結(jié)論 3：如果線性定常系統(tǒng)為能控和能觀測，則其內(nèi)部穩(wěn)定,第四章,4.2 李亞普諾夫意義下運(yùn)動穩(wěn)定性的一些基本概念,如果為線性，則表示為：,自治系統(tǒng),量狀態(tài)方程來描述：,沒有外輸入作用時的系統(tǒng)。,受擾運(yùn)動,非線性和時變情況下，自治系統(tǒng)用顯含時間 的非線性向,第四章,解存在且唯一，由初始狀態(tài) 所引起

6、的運(yùn)動為：,等同于系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應(yīng)。,運(yùn)動的原因?yàn)橐?為初始時刻的初始狀態(tài) ，且有,動所引起，稱為受擾運(yùn)動。,。由于這一運(yùn)動是由初始狀態(tài)的擾,第四章,，即狀態(tài)空間的原點(diǎn)為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。,則稱 為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。,平衡狀態(tài),如果存在某個狀態(tài) ，使成立,運(yùn)動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，偏離平,通過移動坐標(biāo)系將其轉(zhuǎn)換為空間的原點(diǎn)。,衡狀態(tài)的受擾運(yùn)動能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到,平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個有限鄰域內(nèi)。,第四章,應(yīng)地存在一個實(shí)數(shù) ，使得由滿足不等式,夫意義下是穩(wěn)定的，如果對給定的任一實(shí)數(shù) ，都對,李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定,表 為系統(tǒng)的一個孤立平衡狀態(tài)，則稱

7、 為李亞普諾,的任一初態(tài) 出發(fā)的受擾運(yùn)動都滿足不等式：,第四章,記為 。,以原點(diǎn) 為球心構(gòu)造半徑為 的一個超球體，其球域,則存在一個對應(yīng)的正實(shí)數(shù) ，其大小同時依賴于,和初始時刻 ，則構(gòu)造原點(diǎn)為球心，半徑為 的另一,超球體，球域記為 。,則由域 上的任一點(diǎn)出發(fā)的運(yùn)動軌跡 ，,對所有 ，都不脫離域 。,則原點(diǎn)平衡狀態(tài) 是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的。,幾何含義為：,第四章,第四章,如果 只依賴于 而和初始時刻 無關(guān)，則稱 是一,致穩(wěn)定的。,定常系統(tǒng) ：穩(wěn)定等價于一致穩(wěn)定。,時變系統(tǒng) ：穩(wěn)定 一致穩(wěn)定。,（1） 是李氏意義穩(wěn)定的；,漸近穩(wěn)定,一個孤立平衡狀態(tài) 稱為是漸近穩(wěn)定的，如果：,第四章,存在實(shí)數(shù) ，

8、使得滿足：,（2）對 和任意給定的實(shí)數(shù) ，對應(yīng)地,的任一初態(tài) 出發(fā)的受擾,運(yùn)動都同時滿足不等式：,運(yùn)動的有界性。,第四章,運(yùn)動的漸近性,第四章,實(shí)數(shù) 和 都不依賴于 ，則稱平衡狀態(tài) 是一致漸近,穩(wěn)定的。,當(dāng) 為漸近穩(wěn)定時，必成立,隨著 ，則有,漸近穩(wěn)定是工程意義下的穩(wěn)定。,李氏意義下的穩(wěn)定是工程意義下的臨界不穩(wěn)定，漸近穩(wěn)定,的最大區(qū)域 稱為平衡狀態(tài) 的吸引區(qū)。,第四章,運(yùn)動 都是有界的，且成立：,大范圍漸近穩(wěn)定,如果以狀態(tài)空間的任一有限非零點(diǎn)為初始狀態(tài) 的受擾,大范圍漸近穩(wěn)定，除了原點(diǎn)平衡狀態(tài)外，不存在其它孤立平,大范圍漸近穩(wěn)定為全局漸近穩(wěn)定。,則稱系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài) 是大范圍漸近穩(wěn)定的。,衡

9、點(diǎn)。,小范圍漸近穩(wěn)定為局部漸近穩(wěn)定。,線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定=大范圍漸近穩(wěn)定。,第四章,相應(yīng)的實(shí)數(shù) ，使得由滿足不等式：,不穩(wěn)定,如果對于不管取多么大的有限實(shí)數(shù) ，都不可能找到,的任一初態(tài) 出發(fā)的運(yùn)動滿足不等式,平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。,取得多么大， 取得如何小，必存在一個非零,點(diǎn) 使得由 出發(fā)的運(yùn)動軌線越出 。,第四章,第四章,4.3 李亞普諾夫第二方法的主要定理,由常微分方程組所描述的動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的方法歸納,分析穩(wěn)定性 原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,為本質(zhì)不同的兩種方法。,第一法，間接法 ：運(yùn)動方程 一次近似的線性化方程,其一次導(dǎo)數(shù)的定號性 分析穩(wěn)定性。,第二法，直接法 ：運(yùn)動方程 構(gòu)造函數(shù) 分析

10、它和,第四章,其中，對一切 成立 ，即狀態(tài)空間的原點(diǎn),大范圍漸近穩(wěn)定的判別定理,連續(xù)非線性時變自由系統(tǒng),為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。,結(jié)論 1 大范圍一致漸近穩(wěn)定判別定理 ,李亞普諾夫主穩(wěn)定性定理,如果存在一個對 和 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù),第四章,（1） 正定且有界，即兩個連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù),且滿足如下的條件：,和 ，其中 和 ，,使對一切 和一切 成立，,（2） 對時間 的導(dǎo)數(shù) 負(fù)定且有界，,即存在一個連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù) ，其中,使對一切 和一切 成立，,第四章,（3）當(dāng) 時，有 即，,則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍一致漸近穩(wěn)定。,充分條件，找到標(biāo)量函數(shù),直觀含義： 為正定有界，將其看成是一種“

11、能量 ”，,而 為能量隨時間的變化率，能量是有限的，而變,化率是負(fù)的，則運(yùn)動必是有界的，并最終返回到原點(diǎn)平衡狀,態(tài)。,第四章,結(jié)論 2 定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理 ,對于定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函,數(shù) ，并且對狀態(tài)空間 中的一切非,零點(diǎn) 滿足如下的條件：,（1） 為正定。,（2） 為負(fù)定。,（3）當(dāng) 時，有,則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。,第四章,例 ：給定連續(xù)時間的定常系統(tǒng)：,易知， 和 為其唯一的平衡狀態(tài)。,現(xiàn)取 為狀態(tài)的一個二次型,即,為正定。,第四章,當(dāng) 時，,此系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,為負(fù)定。,注 ：三維空間 上，向量 ，它的長度，,

12、，就是一種范數(shù)。,第四章,結(jié)論 3 定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理 ,定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù),，并且對狀態(tài)空間 中的一切非,零點(diǎn) 滿足如下的條件：,（1） 為正定。,（2） 為負(fù)半定。,（4）當(dāng) 時，有,則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。,放寬條件后的結(jié)論,（3）對任意,第四章,李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定的判別定理,結(jié)論 1 時變系統(tǒng)穩(wěn)定的判別定理 ,一個吸引區(qū) ，使對一切 和一切 ，滿足,對于時變系統(tǒng)，如果存在一個對 和 具有連續(xù)一階偏,導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) 和圍繞原點(diǎn)的,（1） 正定且有界；,如下的條件：,（2） 為負(fù)半定且有界。,則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為 內(nèi)一致穩(wěn)定。,

13、第四章,結(jié)論 2 定常系統(tǒng)穩(wěn)定的判別定理 ,對一切 和一切 ，滿足如下的條件：,對于定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù),，和圍繞原點(diǎn)的一個吸引區(qū) ，使,（1） 為正定；,（2） 為負(fù)半定。,則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為 內(nèi)穩(wěn)定。,第四章,不穩(wěn)定的判別定理,和一切 ，滿足如下的條件：,結(jié)論 ：對于時變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù),一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) 或 ， 和,判別定理只給出了充分條件，多次試取都得不到答案，可能,為不穩(wěn)定。,和圍繞原點(diǎn)的一個吸引區(qū) ，使對一切,第四章,（1） 正定且有界或 為正定；,（2） 也為正定且有界或 也為正定。,則系統(tǒng)平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定。,和 為同號時，系

14、統(tǒng)的受擾運(yùn)動軌線理,論上將發(fā)散到無窮大。,第四章,4.4 線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動穩(wěn)定性的判據(jù),線性系統(tǒng)，受擾運(yùn)動即狀態(tài)的零輸入響應(yīng)。,定常、時變，給出常用判據(jù)。,線性定常系統(tǒng)的自由運(yùn)動的穩(wěn)定性判據(jù),定性，由常量矩陣 A 所決定。,沒有外輸入作用存在時的線性定常自治系統(tǒng)：,知 為它的一個平衡狀態(tài)。原點(diǎn)的平衡狀態(tài)的穩(wěn),第四 章,對于線性定常系統(tǒng)有：,結(jié)論 1： 特征值判據(jù) ,必要條件為 ：A 的所有特征值均具有非正（負(fù)或零）實(shí)部，,且具有零實(shí)部的特征值為 A 的最小多項(xiàng)式的單根。,（1）系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)是在李亞普諾夫意義穩(wěn)定的充分,根據(jù)矩陣 A 的特征值的分布來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,（2）系統(tǒng)的唯一

15、平衡狀態(tài) 是漸近穩(wěn)定的充分必要,條件為，A 的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。,漸近穩(wěn)定性 大范圍一致漸近穩(wěn)定。,線性定常系統(tǒng) 穩(wěn)定 一致穩(wěn)定。,第四章,其平衡狀態(tài)為,例 ：給定線性定常自治系統(tǒng),即，狀態(tài)空間中 平面上的每一個點(diǎn)均為平衡狀態(tài)。,其中 和 為任意數(shù)。,第四章,由,A 的特征值為,第四章,若 是 矩陣 A 的特征多項(xiàng)式，則,即 也是 A 的化零多項(xiàng)式。,在 矩陣 A 的所有化零多項(xiàng)式中，首項(xiàng)系數(shù)為 1 ，且次,數(shù)最低的稱為 A 的最小多項(xiàng)式。,可知其最小多項(xiàng)式為 ，所以特征值 0 僅是最小多項(xiàng),式的一個單根。,此系統(tǒng)的每個平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的，但不是,漸近穩(wěn)定的。,第四章,線性

16、定常系統(tǒng)的零平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定的充分必,結(jié)論 2： 李亞普諾夫判據(jù) ,要條件，是對任意給定的一個正定對稱矩陣 ，如下形式的,對稱矩陣。,李亞普諾夫矩陣方程：,有唯一正定對稱矩陣解 。,矩陣：,如,第四章,二次型是實(shí)變量的一個二次齊次多項(xiàng)式：,定義 ：對于不全為零的任何實(shí)數(shù) ，,則稱此二次型是正定的，對應(yīng)的矩陣是正定的。,二次型：,第四章,二次型的系數(shù)確定一個 矩陣：,定義 ：設(shè) A 是實(shí)數(shù)域上的 矩陣，在 上給定內(nèi)積：,這里,第四章,則稱,為 中任意向量 的 Rayleigh 商。,設(shè) A 是 實(shí)對稱矩陣，對任意 ，,如果 ，則稱 A 為正定矩陣，,如果 ，則稱 A 為非負(fù)定矩陣。,第四章,

17、矩陣 A 的所有特征值均小于負(fù)實(shí)值 ，,結(jié)論 3： 李亞普諾夫判據(jù)的推廣形式 ,即,的充分必要條件是對任意給定的一個正定對稱矩陣 ，有,如下的推廣形式的李亞普諾夫方程：,有唯一正定對稱矩陣解 。,第四章,線性時變系統(tǒng),結(jié)論 1 ： 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣判據(jù) ,（1）系統(tǒng)的每個平衡狀態(tài)在 時刻是李亞普諾夫意義下穩(wěn),平衡狀態(tài) 滿足 。,沒有外輸入作用存在時的線性時變自治系統(tǒng),線性時變系統(tǒng)的自由運(yùn)動的穩(wěn)定性判據(jù),定的充分必要條件是存在一個依賴于 的常數(shù) ，,第四章,若存在不依賴于 的常數(shù) 上式成立，每個平衡狀態(tài)是李,使成立,其中 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,氏意義下的一致穩(wěn)定的。,（2）系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 在

18、時刻是漸近穩(wěn)定的充分,必要條件是成立,在區(qū)間 上為一致漸近穩(wěn)定的充分必要條,件，是存在不依賴于 的正數(shù) 和 對任意 和,所有 成立：,第四章,第四章,線性時變系統(tǒng)， 為其唯一的平衡狀態(tài)， 的元均,結(jié)論 2： 李亞普諾夫判據(jù) ,為分段連續(xù)的一致有界的實(shí)函數(shù)。則原點(diǎn)平衡狀態(tài)為一致漸,近穩(wěn)定的充分必要條件，是對任意給定的一個實(shí)對稱、一致,有界和一致正定的時變矩陣 ，存在正實(shí)數(shù) ，,使成立,第四章,如下形式的李氏方程,有唯一的實(shí)對稱、一致有界和一致正定的矩陣解 ，即,存在正實(shí)數(shù) ，使成立：,第四章,4.5 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定自由運(yùn)動的衰減性能的估計,趨向原點(diǎn)平衡狀態(tài)的收斂快慢作出估計。,線性定常系統(tǒng)，利用李氏判據(jù)可判斷其原點(diǎn)平衡狀態(tài)是否,這種估計不必求出自由運(yùn)動的解 。,為漸近穩(wěn)定，還可對穩(wěn)定的自由運(yùn)動，即,一種間接估計穩(wěn)定自由運(yùn)動的衰減性能。,第四章,原點(diǎn) 為唯一的平衡狀態(tài)，且為漸近穩(wěn)定。,衰減系數(shù),零輸入響應(yīng)，即由任一初始狀態(tài) 出發(fā)的自由運(yùn)動軌線,線性定常自治系統(tǒng),，隨時間 的增加而趨于原點(diǎn) 。,第四章,減到零。,物理上，運(yùn)動的收斂趨向于 ，相