安徽省六安市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬卷九文含解析

1、安徽省六安市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬卷（九）文（含解析）共150分，考試時(shí)間120分鐘第卷（選擇題 共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（ ）a. 0b. c. 2d. 【答案】b【解析】【分析】通過復(fù)數(shù)的除法求出,由復(fù)數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系進(jìn)而可求出.【詳解】解:注意到,則故選:b.【點(diǎn)睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù),考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算.2.在數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象數(shù)學(xué)黑洞：無論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去

2、，就像宇宙中的黑洞一樣目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等定義：若一個(gè)位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù)已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合，集合，則的真子集個(gè)數(shù)為（ ）a. 3b. 4c. 7d. 8【答案】c【解析】【分析】根據(jù)自戀數(shù)的定義,求出;用列舉法表示出,求出交集后,由交集中元素個(gè)數(shù),即可求出真子集個(gè)數(shù).【詳解】解:依題意,故,故的真子集個(gè)數(shù)為7故選:c.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算,考查了真子集的涵義.若集合中元素個(gè)數(shù)有 個(gè),則其子集有 個(gè),真子集有 個(gè),非空子集有個(gè),非空真子集有個(gè).3.已知，則“”是“”

3、的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】c【解析】【分析】以為條件,判斷能否推出;反之以為條件,判斷能否推出,即可選擇正確答案.【詳解】解:由,得即,從而.以上推導(dǎo)過程均是可逆的故選:c.【點(diǎn)睛】本題考查了充分和必要條件.判斷兩個(gè)命題的關(guān)系時(shí),通常分兩步,若,則 是 的充分條件, 是的必要條件;反之,若則 是 的必要條件, 是的充分條件.4.用表示中的最大值，若，則的最小值為（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】b【解析】【分析】令,求出分界點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖像進(jìn)行討論,求出,進(jìn)而可求最小值.【詳解】解:可知當(dāng)時(shí),此時(shí).當(dāng)時(shí),可得,

4、此時(shí)當(dāng)時(shí),此時(shí).綜上,可得當(dāng)或時(shí)取得最小值1故選:b.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值,考查了分段函數(shù).求函數(shù)最值時(shí),常用的方法有圖像法,單調(diào)性法,導(dǎo)數(shù)法.對(duì)于分段函數(shù)求最值時(shí),往往畫出函數(shù)圖像進(jìn)行分析求值.5.如圖，圓過正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，記圓與正六邊形的公共部分為，則往正六邊形內(nèi)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)不落在內(nèi)的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】不妨設(shè),求出正六邊形的面積以及的面積,結(jié)合幾何概型,可求所求的概率.【詳解】解:依題意,不妨設(shè),故正六邊形的面積公共部分為的面積.故所求概率故選:d【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型.當(dāng)題目已知為平面區(qū)域,在求概率時(shí),往往用面積之比;當(dāng)已知為

5、射線問題時(shí),往往用角度之比;當(dāng)已知為區(qū)間時(shí),往往用長度之比;當(dāng)已知為幾何體時(shí),往往用體積之比.6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由，求出公比，進(jìn)而可求，明確，即可比較大小.【詳解】解依題意,，故，則，因?yàn)?，?故選:b.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列，考查了等比數(shù)列前 項(xiàng)和，考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).對(duì)于兩個(gè) 型的數(shù)值在比較大小時(shí)，若底數(shù)相同，則結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷；若指數(shù)相同則可結(jié)合冪函數(shù)的圖像、性質(zhì)進(jìn)行判斷；若底數(shù)、指數(shù)均不相同，則可找到中間量進(jìn)行比較.7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，根據(jù)圖

6、中三視圖，求得該幾何體的表面積為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由三視圖可知,原幾何體為半球體與圓柱體拼接而成,且半徑為2, 高為2.進(jìn)而可求表面積.【詳解】解:將三視圖還原,可知原幾何體由半球體與圓柱體拼接而成其中半球體半徑為2,圓柱體的底面半徑為2,高為2.故所求幾何體的表面積故選:c.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖,考查了圓柱的表面積,考查了球的表面積.由三視圖求幾何體的表面積時(shí),需要由三視圖還原幾何體.本題的難點(diǎn)也正是幾何體的還原.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是求表面積時(shí),多加、少加了底面的面積.8.已知單位向量夾角為，若向量，且，則（ ）a. 2b. 4c. 8d. 16【答案】b

7、【解析】【分析】由可知,進(jìn)而可求出,從而明確了,即可求其模.【詳解】解:依題意，故，故，故.解得，故，故，故.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量模的求法.對(duì)于向量問題，若已知兩個(gè)向量垂直，則可知.求解向量的模時(shí)，可代入進(jìn)行求解.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值是35，則判斷框內(nèi)應(yīng)補(bǔ)充的條件為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)流程圖，由開始，分別進(jìn)行若干循環(huán)，探究跳出循環(huán)時(shí)的值，從而可得正確答案.【詳解】當(dāng)，可得；當(dāng)，可得；當(dāng),，可得；當(dāng)，可得；當(dāng)，可得；當(dāng)，可得；當(dāng)，可得；當(dāng)，可得；當(dāng)，可得；當(dāng)，可得.故判斷框內(nèi)應(yīng)補(bǔ)充的條件為.故選：c.【點(diǎn)

8、睛】本題考查了流程圖.對(duì)于已知結(jié)果補(bǔ)充流程圖問題，?？嫉臑檠h(huán)框圖，往往采用代入選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證的方法.此類題型的易錯(cuò)點(diǎn)為：臨界點(diǎn)能正確求出,但不能正確寫出判斷條件.10.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是原點(diǎn)，若是等邊三角形，則橢圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】焦點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合是等邊三角形,可知,結(jié)合橢圓中 的取值范圍,可求橢圓的離心率.【詳解】解:不妨設(shè)題中的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),將焦點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中得兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為.由于是等邊三角形,則可得從而,即,解之得或(舍去)故選:d.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率的求解.本

9、題的關(guān)鍵是由等邊三角形求出 的關(guān)系式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略橢圓中離心率的取值范圍,沒能進(jìn)行正確取舍.11.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由圖象可得當(dāng) ， ，故可排除c，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， .當(dāng) ，可得 ，而當(dāng) 時(shí)， ，故可排除d選項(xiàng)，當(dāng) 時(shí)， ，故可排除a選項(xiàng)，本題選擇b選項(xiàng).12.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足任意都有，且時(shí)，則、的大小關(guān)系是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)先確定是周期為4的函數(shù)，進(jìn)而可得，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足任意都有，所以，則是周期為4的函數(shù).則有，.設(shè)，則

10、導(dǎo)數(shù)為，又由時(shí)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；則有，即，即，變形可得.故選a【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，判斷出其單調(diào)性，即可求解，屬于?？碱}型.第卷（非選擇題 共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分將答案填在題中的橫線上）13.已知函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為_.【答案】【解析】【分析】由,進(jìn)而由誘導(dǎo)公式及二倍角公式可知, .令，從而可求函數(shù)的對(duì)稱軸.【詳解】解:依題意,由得,故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式,考查了二倍角公式,考查了三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法.對(duì)于,采用整體的思想,令 可求對(duì)稱

11、軸,令,可求對(duì)稱中心的橫坐標(biāo).本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè),一是最后答案未寫成 的形式;二是解時(shí),未除以.14.已知直線與直線相互垂直，點(diǎn)到圓的最短距離為3，則_.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于的方程組，求出其解后可得的值.【詳解】依題意，解得，或，（舍），故.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的垂直以及定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離的最值問題，本題屬于基礎(chǔ)題.15.已知點(diǎn)滿足，求的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】畫出滿足約束條件的可行域, 將看作陰影部分區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率,通過分析可求 的最值,從而可求的最值.【詳解】解:不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分(包括邊界),其中為

12、直線的交點(diǎn), 計(jì)算可得三點(diǎn)坐標(biāo)分別為表示陰影部分區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率由圖象可得的最大值為的最小值為,故,從而.故答案為: .【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.在求目標(biāo)函數(shù)最值時(shí),常見的目標(biāo)函數(shù)有三種形式,一是 型,此時(shí)將 當(dāng)做直線與 軸的截距相關(guān)的量;二是,此時(shí)將看作是可行域內(nèi)一點(diǎn)與 連線的斜率;三是,此時(shí)將看作是可行域內(nèi)一點(diǎn)與的距離的平方.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列對(duì)，有，求_.【答案】 【解析】由條件 可得 ，當(dāng) ， ，從而數(shù)列 的通項(xiàng)公式 .當(dāng) 時(shí)，由得 ，將此二式相減，可得 ， .當(dāng) 時(shí)，得 ，符合表達(dá)式 ，故數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，從而 .點(diǎn)睛： 數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法

13、，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)三、解答題（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求.【答案】(1)2;(2).【解析】【分析】(1)由整理可知,進(jìn)而求出的值,結(jié)合正弦定理即可求出.(2)由整理可知,進(jìn)而由余弦定理可求、,從而可求 .【詳解】解:(1)由得即,解得或(舍去)由正弦定理得.（2）由余弦定理得,將代入得,解得.

14、由余弦定理得，又為三角形內(nèi)角，故，又，從而.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角恒等變換.若題目已知角的等式求邊的關(guān)系時(shí),常結(jié)合正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化.已知兩角及一角的對(duì)邊,常選擇正弦定理解三角形;已知兩邊及其夾角或者已知三邊時(shí),常用余弦定理解三角形.18.如圖，正三棱柱中，為中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，.（1）若平面，求證：.（2）平面將棱柱分割為兩個(gè)幾何體，記上面一個(gè)幾何體的體積為，下面一個(gè)幾何體的體積為，求.【答案】（1）證明過程見解析；（2）【解析】試題分析：(1)由題意可得四點(diǎn)在同一個(gè)平面上，則易知.(2)由題意轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)可求得棱錐的體積，.試題解析：（1）如圖，取中點(diǎn)

15、，連接.棱柱為正三棱柱， 為正三角形，側(cè)棱兩兩平行且都垂直于平面. ， 平面， 平面， 平面， ，四點(diǎn)在同一個(gè)平面上. 平面，平面，平面平面， ， ， ，為中點(diǎn)，即.（2）正三棱柱的底面積，則體積.下面一個(gè)幾何體為四棱錐，底面積，因?yàn)槠矫嫫矫?，過點(diǎn)作邊上的高線，由平面與平面垂直的性質(zhì)可得此高線垂直于平面，故四棱錐的高，則，從而.19.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某件產(chǎn)品的效率，隨機(jī)抽查了100名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，由此得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求的值并估計(jì)該廠工人一天生產(chǎn)此產(chǎn)品數(shù)量的平均值；（2）從生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量在的四組工人中，用分層抽樣方法抽取13人，則每層各應(yīng)抽

16、取多少人？【答案】(1);57.35;(2)6人,4人,2人,1人.【解析】【分析】(1)由長方形的面積和為1,可求的值.求出各長方形的面積與中點(diǎn)積的和即為平均值.(2)100與四組頻率之積,即可分別求出四組分別有多少人,結(jié)合總的抽取人數(shù),即可求出每組抽取的人數(shù).【詳解】解:(1)由于小矩形的面積之和為1,則，由此可得.該廠工人一天生產(chǎn)此產(chǎn)品數(shù)量的平均值為.(2)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量在的工人有人，生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量在的工人有人，生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量在的工人有人，生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量在的工人有人.則四組工人抽取人數(shù)分別為人，人，人，人.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖，考查了由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)，考查分層抽樣.對(duì)于頻率

17、分布直方圖，常用的的公式即為長方形的面積為該組頻率，所有長方形的面積之和為1.對(duì)于分層抽樣的題型，關(guān)鍵是求出抽樣比.20.已知是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離比它到x軸的距離大1.直線與直線的交點(diǎn)為.（1）求曲線的軌跡方程；（2）已知是曲線上不同的兩點(diǎn)，線段的垂直垂直平分線交曲線于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則是否存在點(diǎn)，使得四點(diǎn)內(nèi)接于以點(diǎn)為圓心的圓上；若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)以及圓的方程；若不存在，說明理由.【答案】(1);(2)存在,.【解析】【分析】(1)由點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大1可知, 點(diǎn)的軌跡為拋物線,即可求出軌跡方程.(2) 設(shè),點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn),可求出,從而可求直線的方程是,直線的方程是,分別與聯(lián)

18、立,求出交點(diǎn)的坐標(biāo),求出到四點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)即為圓心,該距離即為半徑,即可求出圓的方程.【詳解】解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)到的距離比它到軸的距離大1,則點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.故點(diǎn)的軌跡為拋物線焦點(diǎn)為,則.即曲線的軌跡方程為.（2）聯(lián)立,解得,故.設(shè),則,根據(jù)點(diǎn)差法,兩式相減整理得.所以直線的方程是直線的斜率為 ,則直線的方程是聯(lián)立,解得從而有.聯(lián)立,得,則設(shè)的中點(diǎn)為,則,從而有故四點(diǎn)共圓且為圓心,故圓的方程是.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)軌跡方程的求解,考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的相交問題,考查圓的方程,考查了弦長問題.求解點(diǎn)的軌跡方程時(shí),常用的方法是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),由題意找到橫縱坐標(biāo)的等量

19、關(guān)系,即可得到軌跡方程;但對(duì)于某些題,當(dāng)點(diǎn)的軌跡是特殊圖形時(shí),如直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線,我們可先判斷出點(diǎn)的軌跡形狀,再根據(jù)具體形狀的定義等求方程.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）詳解見解析；（2）【解析】【分析】(1)首先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系整理可得的取值范圍是.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋羁傻没?下面分三種情況.當(dāng)時(shí)，可得，由得，由得，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，由得或，由得，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上

20、單調(diào)遞增.(2)由（1）得，當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，且在區(qū)間內(nèi)先減后增，又，要使得在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，必須有且，由此可得.當(dāng)時(shí)，顯然在區(qū)間上不存在兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由（1）得在區(qū)間內(nèi)先減后增，又，故此時(shí)在區(qū)間上不存在兩個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，由（1）得在區(qū)間內(nèi)先增，先減，后增.又,，故此時(shí)在區(qū)間上不存在兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由（1）得在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)，前者需結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來討論，后者應(yīng)利用函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理來討論，本題屬于難題.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)22.在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.現(xiàn)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).（1）求曲線的直角坐標(biāo)系方程和直線的普通方程；（2）點(diǎn)在曲線上，且到直線的距離為，求符合條件的點(diǎn)的直角坐標(biāo).【答案】(1),;(2), ,.【解析】【分析】(1) 兩邊同時(shí)乘以,結(jié)合 即可求解;對(duì)于直線,消除參數(shù)即可得普通方程.(2)由題意求出曲線的參數(shù)方程為,由到直線的距離為,可知,整理后可求出 的值,從而可得答案.【詳解】解:(1)由曲線的極坐標(biāo)方程為,則即,得其標(biāo)準(zhǔn)方程為.直線參數(shù)方程為(為參數(shù))