時間序列模型概述(doc 20頁).doc

1、Wold分解定理：任何協(xié)方差平穩(wěn)過程xt，都可以被表示為xt - m - dt = ut + y1 ut-1+ y2 ut-2 + + = 其中m 表示xt的期望。dt 表示xt的線性確定性成分，如周期性成分、時間t的多項式和指數(shù)形式等，可以直接用xt的滯后值預測。y0 = 1， 。ut為白噪聲過程。ut表示用xt的滯后項預測xt時的誤差。ut = xt - E(xt | xt-1, xt-2 , )稱為xt的線性非確定性成分。當dt = 0時，稱xt為純線性非確定性過程。 Wold分解定理由Wold在1938年提出。Wold分解定理只要求過程2階平穩(wěn)即可。從原理上講，要得到過程的Wold分解

2、，就必須知道無限個yj參數(shù)，這對于一個有限樣本來說是不可能的。實際中可以對yj做另一種假定，即可以把Y (L)看作是2個有限特征多項式的比， Y(L) = 注意，無論原序列中含有何種確定性成分，在前面介紹的模型種類中，還是后面介紹的自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)中都假設在原序列中已經(jīng)剔除了所有確定性成分，是一個純的隨機過程（過程中不含有任何確定性成分）。如果一個序列如上式， xt = m + dt + ut + y1 ut-1+ y2 ut-2 + +則所有研究都是在yt = xt - m - dt 的基礎上進行。例如前面給出的各類模型中都不含有均值項、時間趨勢項就是這個道理。2.3 自相關(guān)函數(shù)以上

3、介紹了隨機過程的幾種模型。實際中單憑對時間序列的觀察很難確定其屬于哪一種模型，而自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)是分析隨機過程和識別模型的有力工具。1. 自相關(guān)函數(shù)定義 在給出自相關(guān)函數(shù)定義之前先介紹自協(xié)方差函數(shù)概念。由第一節(jié)知隨機過程xt中的每一個元素xt，t = 1, 2, 都是隨機變量。對于平穩(wěn)的隨機過程，其期望為常數(shù)，用 m 表示，即 E(x t) = m, t = 1, 2, (2.25)隨機過程的取值將以 m 為中心上下變動。平穩(wěn)隨機過程的方差也是一個常量 Var(x t) = E (xt - E(xt)2 = E (xt - m)2 = sx2 , t = 1, 2, (2.26)sx2

4、用來度量隨機過程取值對其均值 m 的離散程度。 相隔k期的兩個隨機變量x t 與xt - k 的協(xié)方差即滯后k期的自協(xié)方差，定義為 gk = Cov (xt , x t - k ) = E(xt - m ) (xt - k - m ) (2.27)自協(xié)方差序列 gk , k = 0, 1, , K,稱為隨機過程 xt 的自協(xié)方差函數(shù)。當k = 0 時 g0 = Var (xt) = sx2 自相關(guān)系數(shù)定義 rk = （2.28） 因為對于一個平穩(wěn)過程有 Var (xt) = Var (xt - k) = sx2 (2.29)所以（2.28）可以改寫為 rk = = （2.30）當 k = 0

5、時，有 r 0 = 1。 以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)列 rk, k = 0, 1, , K (2.31)稱為自相關(guān)函數(shù)。因為rk = r- k 即Cov (xt - k , xt ) = Cov (xt , x t + k )，自相關(guān)函數(shù)是零對稱的，所以實際研究中只給出自相關(guān)函數(shù)的正半部分即可。2.自回歸過程的自相關(guān)函數(shù) (1) 平穩(wěn)AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)AR(1) 過程如下 xt = f1 xt-1 + ut , |f1| 1用xt- k 同乘上式兩側(cè) xt xt- k = f1 xt-1 xt- k + ut xt- k兩側(cè)同取期望， gk = f1 gk -1其中E(xt- k u

6、t) = 0（ut與其t - k期及以前各項都不相關(guān)）。兩側(cè)同除 g0 得, rk = f1 rk -1 = f1 f1 rk -2 = = f1k r0因為 ro = 1。所以有 rk = f1k , （k 0）對于平穩(wěn)序列有 | f1| 0 （經(jīng)濟問題中常見） f1 0) 同乘平穩(wěn)的 p階自回歸過程 xt = f 1 xt -1 + f 2 xt -2 + f p xt - p + ut (2.32)的兩側(cè)，得 xt - k xt = f1 xt - k xt -1 + f2 xt - k xt -2 + + fp xt - k xt - p + xt - k ut (2.33)對上式兩側(cè)

7、分別求期望得 gk = f1 gk -1 + f2 gk -2 + + fp gk - p ， k 0 (2.34)上式中對于 k 0，有E(xt - k ut ) = 0。因為當 k 0時，xt - k 發(fā)生在ut 之前，所以 xt - k 與 ut不相關(guān)。用 g0分別除（2.34）式的兩側(cè)得 rk = f1 rk -1 + f2 rk -2 + + fp rk -p ， k 0 (2.35)令 F(L) = (1 - f1 L - f2 L2 - - fp Lp）其中L為k的滯后算子，則上式可表達為 F(L) rk = 0因 F(L) 可因式分解為， F(L) =,則（2.35）式的通解（

8、證明見附錄）是 rk = A1 G1k + A2 G2k + + Ap Gpk. (2.36)其中Ai, i = 1, p 為待定常數(shù)。這里 Gi-1, i = 1, 2, , p 是特征方程 F(L) = (1 - f1 L - f2 L2 - - fp Lp ) = 0的根。為保證隨機過程的平穩(wěn)性，要求 | Gi | 1, i = 1, 2, , p。這會遇到如下兩種情形。 當Gi為實數(shù)時，(2.36) 式中的Ai Gik 將隨著k 的增加而幾何衰減至零，稱為指數(shù)衰減（過阻尼情形）。 當Gi 和Gj 表示一對共軛復根時，設Gi = a + bi, Gj = a bi, = R，則Gi ,

9、Gj的極座標形式是Gi = R (Cosq + i Sinq )，Gj = R (Cosq - i Sinq )。若AR(p) 過程平穩(wěn)，則 |Gi| 1，所以必有R 1 時， gk = E (ut + q1 ut -1) (ut k + q1 ut k -1) = 0綜合以上三種情形，MA(1)過程自相關(guān)函數(shù)為 rk = = , k = 1 0 , k 1，見圖2.7。 q1 0 q1 1時，rk = 0。 (2) MA(q) 過程的自相關(guān)函數(shù) MA(q) 過程的自相關(guān)函數(shù)是 rk = , k = 1, 2, , q , 0 k q ,當k q 時，rk = 0，說明 rk , k = 0,

10、 1, 具有截尾特征。 （注意：模型移動平均項的符號以及這里 rk的符號正好與Box-Jenkins書中的符號相反，這樣表示的好處是保持與計算機輸出結(jié)果一致。） 4. ARMA (1, 1) 過程的自相關(guān)函數(shù)ARMA (1, 1) 過程的自相關(guān)函數(shù)rk 從 r1開始指數(shù)衰減。r1的大小取決于 f1和 q1, r1的符號取決于 (f1 - q1 )。若 f1 0，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負。若 f1 0，相關(guān)函數(shù)為正負交替式指數(shù)衰減。對于ARMA (p, q) 過程，p, q 2時，自相關(guān)函數(shù)是指數(shù)衰減或正弦衰減的。 5. 相關(guān)圖（correlogram） 對于一個有限時間序列（x1, x2,

11、, xT）用樣本平均數(shù) = 估計總體均值 m，用樣本方差 s2 = 估計總體方差sx2。當用樣本矩估計隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，則稱其為相關(guān)圖或估計的自相關(guān)函數(shù)，記為 rk = , k = 0, 1 , 2, , K, ( K 1時，fkk = 0，所以AR(1)過程的偏自相關(guān)函數(shù)特征是在k = 1出現(xiàn)峰值（f11 = r1）然后截尾。f11 0 f11 2時，fkk = 0。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期2以后有截尾特性。對于AR(p)過程，當k p時，fkk 0，當k p時，fkk = 0。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期p以后有截尾特性，因此可用此特征識別AR(p)過程的階數(shù)。MA(1) 過程的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)

12、衰減特征。若q1 0, 偏自相關(guān)函數(shù)呈交替改變符號式指數(shù)衰減；若q1 0 q1 0， (1- q1 L + q12 L2 - ) xt = ut , xt = q1 x t-1 - q12 x t-2 + q13 x t-3 - + ut , 對于xt = ut - q1 ut-1過程，有 1/ (1- q1 L) xt = ut ，當q1 0, (1+ q1 L + q12 L2 + ) xt = ut , xt = - q1 x t-1 - q12 x t-2 - q13 x t-3 - + ut , 對于MA(2) 過程，若Q (L) = 0的根是實數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)由兩個指數(shù)衰減形式疊加

13、而成。若Q (L) = 0的根是虛數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)呈正弦衰減形式。ARMA( p, q) 過程的偏自相關(guān)函數(shù)也是無限延長的，其表現(xiàn)形式與MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)相類似。根據(jù)模型中移動平均部分的階數(shù)q以及參數(shù)qi的不同，偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減和（或）正弦衰減混合形式。對于時間序列數(shù)據(jù)，偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。可用樣本計算 f11, f22, 的估計量 , , 。估計的偏自相關(guān)函數(shù) , k = 1, 2, , K, (2.48)稱為偏相關(guān)圖。因為AR過程和ARMA過程中AR分量的偏自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以可利用偏相關(guān)圖估計自回歸過程的階數(shù)p。實際中對于偏相關(guān)圖取k = 15就足可以了。的

14、方差近似為T-1。當T充分大時，近似有 ( -0) / T-1/2 = T1/2 N (0, 1)所以在觀察偏相關(guān)圖時，若的絕對值超過2 T-1/2（2個標準差），就被認為是顯著地不為零。2.5 時間序列模型的建立與預測ARIMA過程yt用 F (L)dyt = q0 +Q (L) ut (2.51)表示，其中F (L)和Q (L)分別是p, q 階的以L為變數(shù)的多項式，它們的根都在單位圓之外。q0為位移項，d yt表示對yt 進行d次差分之后可以表達為一個平穩(wěn)的可逆的ARMA過程。這是隨機過程的一般表達式。它既包括了AR，MA 和ARMA過程，也包括了單整的AR，MA和ARMA過程。建立時間

15、序列模型通常包括三個步驟。（1）模型的識別，（2）模型參數(shù)的估計，（3）診斷與檢驗。模型的識別就是通過對相關(guān)圖的分析，初步確定適合于給定樣本的ARIMA模型形式，即確定d, p, q的取值。模型參數(shù)的估計就是待初步確定模型形式后對模型參數(shù)進行估計。診斷與檢驗就是以樣本為基礎檢驗擬合的模型，以求發(fā)現(xiàn)某些不妥之處。如果模型的某些參數(shù)估計值不能通過顯著性檢驗，或者殘差序列不能近似為一個白噪聲過程，應返回第一步再次對模型進行識別。如果上述兩個問題都不存在，就可接受所建立的模型。建摸過程用圖2.8表示。下面對建摸過程做詳細論述。1.模型的識別模型的識別主要依賴于對相關(guān)圖與偏相關(guān)圖的分析。在對經(jīng)濟時間序列

16、進行分析之前，首先應對樣本數(shù)據(jù)取對數(shù)，目的是消除數(shù)據(jù)中可能存在的異方差，然后分析其相關(guān)圖。識別的第1步是判斷隨機過程是否平穩(wěn)。由2.2節(jié)知，如果一個隨機過程是平穩(wěn)的，其特征方程的根都應在單位圓之外。由2.7節(jié)知，如果F (L) = 0的根接近單位圓，自相關(guān)函數(shù)將衰減的很慢。所以在分析相關(guān)圖時，如果發(fā)現(xiàn)其衰減很慢，即可認為該時間序列是非平穩(wěn)的。這時應對該時間序列進行差分，同時分析差分序列的相關(guān)圖以判斷差分序列的平穩(wěn)性，直至得到一個平穩(wěn)的序列。對于經(jīng)濟時間序列，差分次數(shù)，即模型（2.51）中的參數(shù)d通常只取0，1或2。一. 識別 用相關(guān)圖和偏相關(guān)圖識別模型形式（確定參數(shù)d, p, q）二. 估計

17、對初步選取的模型進行參數(shù)估計三. 診斷與檢驗包括參數(shù)的顯著性檢驗和殘差的隨機性檢驗不可取模型可取嗎 可取 止 圖2.8 建立時間序列模型程序圖實際中也要防止過度差分。一般來說平穩(wěn)序列差分得到的仍然是平穩(wěn)序列，但當差分次數(shù)過多時存在兩個缺點，（1）序列的樣本容量減小；（2）方差變大；所以建模過程中要防止差分過度。對于一個序列，差分后若數(shù)據(jù)的極差變大，說明差分過度。第2步是在平穩(wěn)時間序列基礎上識別ARMA模型階數(shù)p, q。表2.3給出了不同ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)。當然一個過程的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。用樣本得到的只是估計的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，即相關(guān)圖和偏相關(guān)圖。

18、建立ARMA模型，時間序列的相關(guān)圖與偏相關(guān)圖可為識別模型參數(shù)p, q提供信息。相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（估計的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)）通常比真實的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的方差要大，并表現(xiàn)為更高的自相關(guān)。實際中相關(guān)圖，偏相關(guān)圖的特征不會像自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)那樣“規(guī)范”，所以應該善于從相關(guān)圖，偏相關(guān)圖中識別出模型的真實參數(shù)p, q。另外，估計的模型形式不是唯一的，所以在模型識別階段應多選擇幾種模型形式，以供進一步選擇。表2.3 ARIMA過程與其自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)特征 模 型 自相關(guān)函數(shù)特征 偏自相關(guān)函數(shù)特征ARIMA(1,1,1)D xt = j1D xt-1 + ut + q1ut-1緩

19、慢地線性衰減AR（1）xt = j1 xt-1 + ut若j1 0，平滑地指數(shù)衰減若j1 0，k=1時有正峰值然后截尾若j11 0，k=1時有正峰值然后截尾若q1 0，交替式指數(shù)衰減若q1 0，j2 0）（j1 0，j2 0，q2 0，q2 0）指數(shù)或正弦衰減（q1 0，q2 0，q2 0）ARMA（1，1）xt = j1 xt-1 + ut + q1 ut-1k=1有峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0）（j1 0，q1 0，q1 0）（j1 0，q1 0，j2 0）k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，j2 0）ARMA（1，2）xt = j1 xt-1+ ut + q1 ut

20、-1+ q2 ut-2k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0，q2 0，q1 0，q2 0）k=1有峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，q1 0，q2 0，q1 0，q2 0）ARMA（2，2）xt=j1xt-1+j2xt-2+ ut +q1ut-1+q2ut-2k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，j2 0，q2 0，j2 0，q2 0）k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，j2 0，q2 0，j2 0，q2 0）下面通過一些相關(guān)圖和偏相關(guān)圖識別模型結(jié)構(gòu)。 2. 模型參數(shù)的估計對于時間序列模型，一般采用極大似然法估計參數(shù)。對于一組相互獨立的隨

21、機變量xt,（t = 1, 2, , T），當?shù)玫揭粋€樣本 (x1, x2, , xT) 時，似然函數(shù)可表示為 L (g | x1, x2, , xT) = f (x1| g ) f (x2| g ) f (xT | g ) = | g ) (2.52)其中g(shù) =（g1, g2, , gk）是一組未知參數(shù)。對數(shù)似然函數(shù)是 log L = f (xt | g )通過選擇 g 使上式達到最大，從而求得極大似然估計值 。具體步驟是用上述對數(shù)似然函數(shù)對每個未知參數(shù)求偏導數(shù)并令其為零，即 = 0 = 0, （k個方程聯(lián)立）一般來說似然函數(shù)是非線性的，必須采用迭代計算的方法求參數(shù)的極大似然估計值。極大似然

22、估計量 (MLE) 具有一致性和漸近有效性。首先討論怎樣對如下線性回歸模型 yt = b0 + b1 xt1 + b 2 xt 2 + + b k-1 xt k -1 + ut , t = 1, 2, , T, (2.53)進行極大似然估計。假定ut N(0, s 2 ), 則yt 也服從正態(tài)分布。 yt N(E(yt), s 2 )， 其中E(yt) = b0 + b1 xt1 + b 2 xt 2 + + bk -1 xt k -1。若yt是相互獨立的，則對于樣本 ( y1, y2, , yT)，似然函數(shù)是 L(b, s 2 | y1, ,y2, , yT) = f( y1) f( y2)

23、 f( yT)其中b 表示未知參數(shù) b0, b1, , b k -1的集合。由（2.53）式每個yt的概率密度函數(shù)為 f ( yt ) = exp.對于樣本 ( y1, y2, , yT)，對數(shù)似然函數(shù)為 logL = f ( yt ) = -log 2p - log s 2 - E( yt ) 2 (2.54)上式右側(cè)前兩項是常量。第三項的符號為負，所以對logL極大化等同于選擇值從而使平方和- E( yt )2 極小化，即選擇使 - -xt 1 -xt 2 - -xt k -1) 2 = 極小化。上式中表示殘差。這種估計方法恰好與OLS法相同，所以在這個例子中 b 的MLE估計量與OLS估

24、計量完全相同，即=。與OLS法不同的是極大似然估計法在估計的同時，還得到ut方差的估計量。對（2.54）式求 s 2 的偏導數(shù)并令其為零。 = -+- E( yt ) 2 = 0 (2.55)用代替上式中E(yt) 中的 b 得 = T -1現(xiàn)在討論怎樣對時間序列模型的參數(shù)進行極大似然估計。對于非平穩(wěn)過程yt ，假定經(jīng)過d次差分之后可以表達為一個平穩(wěn)、可逆的自回歸移動平均過程xt ， F (L) Dd yt = F (L) xt = Q (L) ut. (2.56)對于yt 假定可以觀測到T + d個觀測值，即y- d+1, , y0, y1, , yT ，則經(jīng)過d次差分之后， xt 的樣本容

25、量為T。 以 x1, , xT 為樣本估計ARMA (p, q) 模型參數(shù) (f1, , fp, q1, , qq )。 對隨機過程xt的參數(shù)估計就如對回歸模型的參數(shù)估計一樣，目的是使xt與其擬合值的殘差平方和 = 最小。把 (2.56) 式改寫為 ut = . (2.57)若用，和分別表示對fi, q i和ut的估計，則使下式最小。 = S (, , , , , ) (2.58)假定ut N (0, su2), t = 1, T，且不存在自相關(guān)，則條件對數(shù)似然函數(shù)為 log L = -T logsu - (2.59)之所以稱之為條件對數(shù)似然函數(shù)是因為依賴于過去的不可知觀測值x0, x-1,

26、, x- p+1和u0, u-1, , u- q +1。比如 u1 = x1 - f1 x0 - f2 x-1 - - fp x-p+1 - q1u0 - - qqu- q+1 (2.60)對（2.59）式求極大即等同于對求極小。對求極小時需要先確定x0, x1, , x-p+1和u0, u-1, , u- q +1的值。此問題的一般處理方法是取這些變量等于他們的無條件期望值。u0, u-1, , u- q +1的無條件期望值為零。若模型（2.56）中不含有漂移項，則x0, x-1, , x- p +1的無條件期望值也為零。當樣本容量T與滯后長度p, q值相比充分大，且f1, , fp的值不接

27、近1時，這種近似非常理想。若 (2.56) 式中不含有移動平均項，對于自回歸參數(shù)來說 (2.57) 式是一個線性函數(shù)。可以用OLS法估計參數(shù)。如果 (2.56) 式中含有移動平均項，那么對于移動平均參數(shù)來說， (2.57) 式是一個非線性函數(shù)。對 (2.57) 式必須采用非線性估計方法。首先假定模型為純自回歸形式， F (L) xt = ut (2.61)或 xt = f1 xt-1 + + fp xt-p + ut . (2.62)這是一個線性回歸模型，極大似然估計與OLS估計結(jié)果近似相同。當模型中含有移動平均成分時 ut = Q -1(L) F (L) xt (2.63)對于參數(shù)來說，模型

28、是非線性的。對于非線性模型，通常由三種估計方法。直接搜索法。通過改變參數(shù)的取值，反復計算殘差平方和的值。然后從中選擇最小的那個值所對應的參數(shù)值作為對參數(shù)的估計值。這種方法只有在參數(shù)個數(shù)較少時才是可行的。當參數(shù)個數(shù)較多時，計算量將非常大。例如當含有四個被估參數(shù)，每個參數(shù)需選擇20個計算值時，則需要計算 (20) 4 = 160000次。直接優(yōu)化法。求誤差平方和函數(shù)對每一個參數(shù)的偏導數(shù)并令其為零，從而求得正規(guī)方程 = 0, i =1, , p + q (2.64)其中（g1, , gp+q）=（f1, , fp, q1, , qq）。因為 p + q 個方程中都含有 p + q 個參數(shù)，所以必須聯(lián)

29、立求解。由于計算上的困難，這種方法很少直接采用。線性迭代法。對任何非線性函數(shù)通常都可以按泰勒級數(shù)展開。 f (x) = f (x0) + f (x0) (x x0) + = f (x0) - f (x0) x0 + f (x0) x + 首先為參數(shù)選一組初始值（g1, 0 , , gp+q, 0）（下標零表示初始值。怎樣確定初始值并不重要。）， 然后將xt = f (xt-1, , xt-p) 按泰勒級數(shù)在（g1, 0 , , gp+q, 0）點展開。 xt = f (xt-1, , xt-p, g1, 0 , , gp+q, 0 ) + + + (2.65)其中偏導數(shù)的下標寫為零表示偏導數(shù)在

30、 g1 = g1, 0 , , gp+q = g p+q, 0時的值。取上式右側(cè)的前兩項對原非線性函數(shù)xt 進行近似。去掉右側(cè)第三項及以后各項得 xt - f (xt-1, , xt-p, g1, 0 , , gp+q, 0 ) + = + ut. (2.66)上式為線性回歸方程形式。左側(cè)為已知量，右側(cè)含有一組未知量gi , i = 1, , p + q。利用OLS法對上式進行估計。設所得估計值用（g1, 1 , , gp+q, 1）表示。以此作為第二組估計值，對非線性函數(shù)再一次線性化，從而得到一個新的線性方程。 xt - f (xt-1, , xt-p, g1, 1 , , gp+q, 1

31、) + = + ut (2.67)對上式再次應用OLS法估計參數(shù)，并把 (g1, 2, , gp+q, 2) 作為待估參數(shù)的第三組估計值。重復上述過程，直至滿足如下要求為止。 d, i = 1, , p + q, (2.68)其中i表示參數(shù)序號，j表示迭代次數(shù)。d 是預先給定的精度標準。如果最后一次的參數(shù)估計值用 (g1, k , , gp+q, k ) 表示，并且 (g1, k , , gp+q, k ) 接近真值 (g1 , , gp+q ) ，則必有， 所以有 xt = f (xt-1, , xt-p, g1, k , , gp+q, k ) + (g1, k , , gp+q, k )

32、 是對 (g1, , gp+q ) 的最終估計。這種迭代計算一般都是通過計算機完成。 評價線性模型的一些統(tǒng)計量例F, t等都不能直接用于評價非線性模型。原因是盡管ut是正態(tài)分布的且均值為零，但殘差 = xt - = xt - f (xt-1, , xt-p, g1, k , , gp+q, k ) (2.69)不服從正態(tài)分布，則 不服從 c2 分布，參數(shù)估計量不服從正態(tài)分布。所以不能使用F和t檢驗。然而對迭代中的最后一步可以進行F, t檢驗。 如果估計量= gi, k , （i = 1, , p + q），接近真值gi，那么F, t檢驗將會對非線性模型有很滿意的解釋作用。3. 診斷與檢驗完成模

33、型的識別與參數(shù)估計后，應對估計結(jié)果進行診斷與檢驗，以求發(fā)現(xiàn)所選用的模型是否合適。若不合適，應該知道下一步作何種修改。這一階段主要檢驗擬合的模型是否合理。一是檢驗模型參數(shù)的估計值是否具有顯著性；二是檢驗模型的殘差序列是否為白噪聲。參數(shù)估計值的顯著性檢驗是通過t檢驗完成的，而模型的殘差序列是否為白噪聲的檢驗是用Box-Pierce (1970) 提出的Q統(tǒng)計量完成的。Q檢驗的零假設是 H：r1 = r2 = = rK = 0即模型的誤差項是一個白噪聲過程。Q統(tǒng)計量定義為 Q = T (2.70)近似服從 c2( K - p - q) 分布，其中T表示樣本容量，rk 表示用殘差序列計算的自相關(guān)系數(shù)值

34、，K表示自相關(guān)系數(shù)的個數(shù)，p 表示模型自回歸部分的最大滯后值，q表示移動平均部分的最大滯后值。Ljung和Box認為(2.70)式定義的Q統(tǒng)計量的分布與c2( K - p - q)分布存在差異（相應值偏?。谑翘岢鲂拚腝統(tǒng)計量。 Q = T (T+2) (2.71)其中rk ，K，p，q的定義如(2.70)式。修正的Q統(tǒng)計量(2.71) 近似服從 c2( K - p - q) 分布。且它的近似性比原Q統(tǒng)計量的近似性更好。（EViews中給出的Q統(tǒng)計量就是按(2.71)式定義的。）用殘差序列計算Q統(tǒng)計量的值。顯然若殘差序列不是白噪聲，殘差序列中必含有其他成份，自相關(guān)系數(shù)不等于零。則Q值將很大

35、，反之Q值將很小。判別規(guī)則是： 若Q c2a ( K - p - q) ，則拒絕H0。其中a 表示檢驗水平。4. 時間序列模型預測下面以ARMA (1, 1) 模型為例具體介紹預測方法。其他形式時間序列模型的預測方法與此類似。設對時間序列樣本xt, t = 1, 2, , T，所擬合的模型是 xt = f1 xt-1 + ut + q1 ut-1 (2.72)則理論上T + 1期xt的值應按下式計算 xT+1 = f1 xT + uT+1 + q1 uT (2.73)用估計的參數(shù), 和分別代替上式中的 f1, q1和uT 。 上式中的uT+1是未知的，但知E(uT+1) = 0，所以取uT+1

36、 = 0。xT 是已知的（樣本值）。對xT+1的預測按下式進行 = xT + (2.74)由(2.73)式，理論上xT+2的預測式是 xT+2 = f1 xT+1 + uT+2 + q1 uT+1仍取uT+1 = 0，uT+2 = 0，則xT+2的實際預測式是 = (2.75)其中是上一步得到的預測值，與此類推xT+3的預測式是 = (2.76)由上可見，隨著預測期的加長，預測式 (2.73) 中移動平均項逐步淡出預測模型，預測式變成了純自回歸形式。若上面所用的xt 是一個差分變量，設 D yt = xt ，則得到的預測值相當于D, (t = T +1, T +2 , )。因為 yt = yt

37、-1 + D yt所以原序列 T+1期預測值應按下式計算 = yT + D (2.77)對于t T +1，預測式是 =+D , t = T +2, T +3, (2.78)其中是相應上一步的預測結(jié)果。用EViews計算相關(guān)圖和偏相關(guān)圖。附錄：對(2.36)式（自相關(guān)函數(shù)通解表達式）的證明對于AR(p) 過程 xt = f 1 xt -1 + f 2 xt -2 + f p xt - p + ut (1)它的自相關(guān)函數(shù)滿足下式，rk = f1 rk -1 + f2 rk -2 + + fp rk p, k 0 (2) （見計量經(jīng)濟分析第77頁）即有(1 - f1 L - f2 L2 - - fp Lp ) rk = 0 (3)則（2）式的自相關(guān)函數(shù)有如下形式通解， rk = A1 G1k + A2 G2k + + Ap Gpk. (4)其中Ai, i = 1, p 為待定系數(shù)。Gi-1, i = 1, 2, , p 是（3）式特征方程(1 - f1 L - f2 L2 - - fp Lp ) = 0 的根。 證明（1）：首先以AR(2) 過程為例xt = f 1 xt -