電磁學(xué)(梁燦彬)第一章 靜電場(chǎng)的基本規(guī)律

1、2010級(jí)物理學(xué)專業(yè),Electromagnetism Teaching materials,第一章 靜電場(chǎng)的基本規(guī)律,前言（Preface,本章首先介紹了電荷的基本概念，從實(shí)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)，給出了庫侖定律和疊加原理；從庫侖定律和疊加原理出發(fā)，引入電場(chǎng)強(qiáng)度定義，證明了靜電場(chǎng)的兩個(gè)基本定理高斯定理和環(huán)路定理；舉例說明了場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的計(jì)算方法,一、本章的基本內(nèi)容及研究思路,本章討論相對(duì)于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)靜電場(chǎng)。首先從靜電現(xiàn)象的觀察開始，認(rèn)識(shí)電荷和物質(zhì)的電結(jié)構(gòu)，從實(shí)驗(yàn)得到二個(gè)基本的規(guī)律庫侖定律和疊加原理。然后從庫侖力是怎樣作用的這一問題的討論，引入電場(chǎng)，定義描述電場(chǎng)屬性的兩個(gè)物理量電場(chǎng)強(qiáng)度和電位，

2、同時(shí)介紹描述電場(chǎng)的形象工具電場(chǎng)線和等位面。在理論體系方面，本章從庫侖定律和疊加原理出發(fā)，導(dǎo)出靜電場(chǎng)的兩個(gè)定理高斯定理和環(huán)路定理，進(jìn)而說明由已知電荷的分布求場(chǎng)強(qiáng)和電位的計(jì)算方法,二、本章的基本要求,1.確切理解庫侖定律和疊加原理； 2.正確理解電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)這二個(gè)基本概念，掌握計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)分布和電勢(shì)分布的幾種方法； 3.掌握電通量的概念及電通量的計(jì)算方法； 4.掌握反映靜電場(chǎng)性質(zhì)的二條基本定理高斯定理和環(huán)路定理，正確理解電場(chǎng)的性質(zhì)； 5.理解電場(chǎng)線的概念，掌握電場(chǎng)線的性質(zhì); 6.掌握?qǐng)鰪?qiáng)的三種計(jì)算方法：疊加法，高斯定理法，電勢(shì)梯度法和電勢(shì)的兩種計(jì)算方法： 場(chǎng)強(qiáng)積分法，電勢(shì)疊加法,1 靜電的基本現(xiàn)象和

3、基本規(guī)律,電荷（electric charge)的種類:正、負(fù)電荷。自然界中只有兩種電荷 原子內(nèi)部質(zhì)子帶正電荷，電子帶負(fù)電荷，中子不帶電，由于正負(fù)電荷電量相等，所以整個(gè)原子對(duì)外不顯電性,自然界一切物質(zhì)都是由原子（或分子）組成。原子是由帶負(fù)電的電子和帶正電的原子核組成。在正常情況下，兩種電量相等，物體呈中性。當(dāng)因某種原因（摩擦、加熱、化學(xué)變化等）失去或獲得一部分電子時(shí)，就成為具有吸引其他微小物體的性質(zhì)的帶電體,允許電荷通過的物體叫導(dǎo)體，不允許電荷通過的物體叫絕緣體或電介質(zhì)。導(dǎo)電性能介于導(dǎo)體和絕緣體之間的物體叫半導(dǎo)體。 物體具有不同的導(dǎo)電性，這可用物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)解釋,金屬之所以導(dǎo)電，是因?yàn)閮?nèi)部存在

4、許多自由電子，它們可以擺脫原子核的束縛而自由地在金屬內(nèi)部運(yùn)動(dòng)；酸、堿、鹽的水溶液（電解液）之所以導(dǎo)電，是因?yàn)閮?nèi)部存在許多能作宏觀運(yùn)動(dòng)的正、負(fù)離子；反之，在絕緣體內(nèi)部，由于電子受到原子核的束縛，基本上沒有自由電子，因而呈絕緣性質(zhì)；在半導(dǎo)體中導(dǎo)電的粒子（叫做載流子），除帶負(fù)電的電子外，還有帶正電的“空穴,2、電荷守恒定律,實(shí)驗(yàn)表明：在一個(gè)與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變。或者一個(gè)電孤立系統(tǒng)的總電荷是不變的。這個(gè)原理就是通常稱之的電荷守恒定律。所謂“電孤立”系統(tǒng)，指的就是一個(gè)沒有凈電量出入其邊界面的物質(zhì)系統(tǒng)。例如光子不帶電，故可以允許光線出、入該系統(tǒng)而不影響這

5、個(gè)原理,電荷守恒定律不管在宏觀領(lǐng)域還是在微觀領(lǐng)域都是成立的。在宏觀過程中，物體電荷改變，往往是由于電子的轉(zhuǎn)移而引起的，從一個(gè)物體轉(zhuǎn)換到另一個(gè)物體（這就是摩擦起電現(xiàn)象）；從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分（這就是靜電感應(yīng)現(xiàn)象）。在微觀領(lǐng)域中，譬如在核反應(yīng)和基本粒子的產(chǎn)生、湮沒過程,3、電荷的量子性,上述物質(zhì)結(jié)構(gòu)的圖象表明：在自然界中，任何帶電體的電荷量值總是以某一基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn)，這個(gè)基本單元就是一個(gè)質(zhì)子或一個(gè)電子所帶電量的絕對(duì)值e。 迄今我們所能測(cè)定的一切帶電粒子的電荷，都準(zhǔn)確地等于這個(gè)數(shù)值或其整數(shù)倍。 在基本粒子的夸克模型中，夸克被認(rèn)為帶有分?jǐn)?shù)電荷，但未被實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),這表明，量子現(xiàn)象不僅在微觀領(lǐng)

6、域存在，而且在宏觀領(lǐng)域也存在。事實(shí)證明，在許多宏觀領(lǐng)域都存在量子現(xiàn)象,2 庫侖定律 (Coulombs law,一）庫侖定律的建立,Franklin 首先發(fā)現(xiàn)金屬小杯內(nèi)的軟木小球完全不受杯上電荷的影響; 在Franklin的建議下，Priestel做了實(shí)驗(yàn) 提出問題,猜測(cè)答案,現(xiàn)象與萬有引力有相同規(guī)律 由牛頓力學(xué)可知：球殼對(duì)放置在殼外的物體有引力，而放置在球殼內(nèi)任何位置的物體受力為零。 類比：電力與距離平方成反比,設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn),1769年Robison首先用直接測(cè)量方法確定電力定律，得到兩個(gè)同號(hào)電荷的斥力,兩個(gè)異號(hào)電荷的引力比平方反比的方次要小些。（研究結(jié)果直到1801年發(fā)表才為世人所知,Cave

7、ndish實(shí)驗(yàn),1772年Cavendish遵循Priestel的思想設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證電力平方反比律，如果實(shí)驗(yàn)測(cè)定帶電的空腔導(dǎo)體的內(nèi)表面確實(shí)沒有電荷，就可以確定電力定律是遵從平方反比律的即,他測(cè)出不大于 0.02（未發(fā)表，100年以 后Maxwell整理他的大量手稿，才將此結(jié)果公諸于世,1785年Coulomb測(cè)出結(jié)果,精度與十三年前Cavendish的實(shí)驗(yàn)精度相當(dāng) 庫侖是扭稱專家; 電斥力扭稱實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)只有幾個(gè)，且不準(zhǔn)確（由于漏電）不是大量精確的實(shí)驗(yàn),與萬有引力類比得,二）庫侖定律的表述,在真空中，兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷q1和q2之間的相互作用力大小和q1 與q2的乘積成正比，和它們之間的距離r平方

8、成反比；作用力的方向沿著他們的聯(lián)線，同號(hào)電荷相斥，異號(hào)電荷相吸,討論,k是引進(jìn)單位制后引入的常數(shù),注意,上述公式并非都是大量實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，是在事實(shí)基礎(chǔ)上理性思維的結(jié)果。 如力的方向：分析點(diǎn)電荷受力：只能沿聯(lián)線，否則空間旋轉(zhuǎn)180就不對(duì)稱了,三）成立條件、適用范圍、精度,條件：靜止 真空 點(diǎn)電荷,點(diǎn)電荷,靜止：點(diǎn)電荷相對(duì)靜止，且相對(duì)于觀察者也靜止,理想模型（已學(xué)過的） 質(zhì)點(diǎn) 剛體 平衡態(tài)（熱學(xué),點(diǎn)電荷：忽略了帶電體形狀、大小以及電荷分布情況的電荷,真空條件,作用：為了除去其他電荷的影響，使兩個(gè)點(diǎn)電荷只受對(duì)方作用。 如果真空條件破壞會(huì)如何？不僅只有兩個(gè)電荷；總作用力比真空時(shí)復(fù)雜些，但由于力的獨(dú)立作用

9、原理，兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的力仍遵循庫侖定律 因此可以推廣到介質(zhì)、導(dǎo)體,適用范圍和精度,原子核尺度地球物理尺度 天體物理、空間物理,精度：Coulomb時(shí)代 1971年,3、補(bǔ)充電力疊加原理，利用庫侖定律原則上可解決靜電學(xué)中所有問題,1、庫侖定律只討論兩個(gè)靜止（相對(duì)觀察者和實(shí)驗(yàn)室參考系）的點(diǎn)電荷間的作用力,2、庫侖定律指出，兩靜止電荷間的作用力是有心力，它的大小與兩電荷間的距離服從平方反比律,說明,4）原來庫侖定律是 從兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷得到的實(shí)驗(yàn)定律，后來大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)表明，只要施力電荷靜止，即使受力電荷運(yùn)動(dòng)，庫侖定律仍然適用。因此庫侖定律的適用條件可以放寬為：施力電荷必須是靜止，受力電荷可以是靜止的，

10、也可以是運(yùn)動(dòng)的； （5）庫侖定律和萬有引力定律在數(shù)學(xué)形式上極為相似，不同的是，萬有引力總是引力，庫侖力可以是引力，也可以是斥力。注意這種相似和區(qū)別（是否有質(zhì)的統(tǒng)一性是一個(gè)謎,理論地位和現(xiàn)代含義,庫侖定律是靜電學(xué)的基礎(chǔ)，說明了 帶電體的相互作用問題 原子結(jié)構(gòu)，分子結(jié)構(gòu)，固體、液體的結(jié)構(gòu) 化學(xué)作用的微觀本質(zhì),都與電磁力有關(guān)，其中主要部分是庫侖力,物理定律建立的一般過程,觀察現(xiàn)象； 提出問題； 猜測(cè)答案； 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量； 歸納尋找關(guān)系、發(fā)現(xiàn)規(guī)律； 形成定理、定律（常常需要引進(jìn)新的物理量或模型，找出新的內(nèi)容，正確表述）； 考察成立條件、適用范圍、精度、理論地位及現(xiàn)代含義等,四）電量單位 MKSA制,1

11、庫侖：當(dāng)導(dǎo)線中通過1安培穩(wěn)恒電流時(shí)，一秒鐘內(nèi)通過導(dǎo)線某一給定截面的電量為 1C=1As 若F=1N, q1=q2=1C, r=1m 則 k=8.9880109Nm2/C2 9.00109Nm2/C2,五） 靜電力的疊加原理,庫侖定理解決了兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力問題，如果空間有兩個(gè)以上的點(diǎn)電荷，或者體積不是很小的帶電體，電荷之間的作用力又是怎樣呢？這就必須補(bǔ)充另一實(shí)驗(yàn)事實(shí)實(shí)驗(yàn)證明，有多個(gè)點(diǎn)電荷存在時(shí)，任意兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用是獨(dú)立的，不受其他電荷存在的影響，仍由庫侖定律決定。即：作用在每一個(gè)點(diǎn)電荷上的總靜電力等于其他各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用于該點(diǎn)電荷靜電力的矢量和，這就是靜電力的疊加原理，也叫獨(dú)立

12、作用原理,對(duì)于連續(xù)的帶電體，有,注意理解：無限細(xì)分無限求和，體會(huì)求和與積分的區(qū)別與關(guān)系,庫侖定律及靜電力的疊加原理是整個(gè)靜電學(xué)的基礎(chǔ)。 （1）利用庫侖定律的平方反比性質(zhì)及靜電力的疊加原理可以導(dǎo)出描述靜電場(chǎng)的重要定理之高斯定理； （2）利用庫侖定律的有心性及靜電力的疊加原理可以導(dǎo)出描述靜電場(chǎng)的另一個(gè)重要定理安培環(huán)路定理。 兩個(gè)定理合在一起完整的描述了靜電場(chǎng),3 靜電場(chǎng)（electrostatic field,1、場(chǎng)的概念,庫侖定律加上疊加原理，原則上可以求解任意帶電體之間的靜電力。這樣看來，人們對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的認(rèn)識(shí)似乎可以“到此止步”了，然而，電荷之間的作用是怎樣進(jìn)行的，庫侖定律沒有回答這個(gè)問題，正

13、是對(duì)這個(gè)問題的不同解釋以及由此而引起的長(zhǎng)期爭(zhēng)論，導(dǎo)致了場(chǎng)概念的建立和場(chǎng)理論的產(chǎn)生和發(fā)展，從此把人們引入一個(gè)新的極為重要的物質(zhì)世界領(lǐng)域，電荷之間的相互作用是怎樣進(jìn)行的？我們知道，當(dāng)我們推桌子時(shí)，通過手和桌子直接接觸，把力作用在桌子上。馬拉車時(shí)，通過繩子和車直接接觸，把力作用到車上,在這里，力都是存在于直接接觸的物體之間的，這種力的作用，叫接觸作用或近距作用。但是，電力（電荷之間的相互作用力）、磁力（如磁鐵對(duì)磁塊的吸引力）和重力等，都可以發(fā)生在兩個(gè)相隔一定距離的物體之間，而在兩個(gè)物體之間并不需要有任何由原子、分子組成的物質(zhì)作媒介。圍繞著這個(gè)問題，在歷史上曾有過長(zhǎng)期的爭(zhēng)論，一種觀點(diǎn)認(rèn)為這類力不需要任

14、何媒介，也不需要時(shí)間，就能夠由一個(gè)物體立即作用到相隔一定距離的另一個(gè)物體上，這種觀點(diǎn)叫超距作用觀點(diǎn)。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為這類力也是近距作用的，電力和磁力是通過一種充滿在空間的彈性媒介“以太”來傳遞的,近代物理學(xué)的發(fā)展證明，“超距作用”的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，電力和磁力的傳遞雖然很快（3108m.s-1），但并非不需要時(shí)間，而歷史上持“近距作用”的觀點(diǎn)的人所假定的那種“彈性以太”也是不存在。實(shí)際上，電力和磁力是通過電場(chǎng)和磁場(chǎng)來作用的。上述兩種觀點(diǎn)可圖解為,相對(duì)于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)叫做靜電場(chǎng)，電荷是電場(chǎng)的源，所以叫做場(chǎng)源，也叫源電荷,對(duì)于靜止電荷之間的相互作用，上述兩種觀點(diǎn)所作的解釋都是說得通的，所作的計(jì)

15、算結(jié)果也是一致的，但對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷兩種觀點(diǎn)的差別就暴露出來了，運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的電磁場(chǎng)可以脫離場(chǎng)源而獨(dú)立存在。正如湖面上投石激波，水波可以脫離波源而繼續(xù)存在、傳播一樣；變化的電磁場(chǎng)有“推遲效應(yīng)”，正如聽到鐘聲和擊鐘之間有時(shí)間間隔一樣，這些都是“超距作用”所無法說明的，而場(chǎng)的觀點(diǎn)卻能圓滿做出解釋，由場(chǎng)的觀點(diǎn)出發(fā)所作的計(jì)算也是與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致的。因此，場(chǎng)的觀點(diǎn)得到證實(shí),場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)，他不像實(shí)物那樣由電子、質(zhì)子和中子構(gòu)成，他一般不能憑人們的感官直接感覺到它的存在，因此它的物質(zhì)性初學(xué)者往往難以理解。 我們可以從它間接表現(xiàn)出來的物質(zhì)屬性而感覺到它的真實(shí)存在，因物質(zhì)的任何一種屬性，總是通過它和其他物質(zhì)的相互作

16、用表現(xiàn)出來的，電場(chǎng)的屬性也是通過它和其他物質(zhì)的作用表現(xiàn)出來的。把電荷q0放在電場(chǎng)中，就會(huì)受到電場(chǎng)力的作用，由此可見，電場(chǎng)對(duì)置于其中的電荷有“施力的本領(lǐng)”，有“力的屬性”。如果說電荷q0在電場(chǎng)力作用下從靜止開始運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力就會(huì)對(duì)電荷q0做功，如果不存在其他作用力，這個(gè)電荷的速度就會(huì)越來越大，這就說明，電場(chǎng)還有做功的本領(lǐng)，有“能的屬性”（電場(chǎng)具有能量,2、電場(chǎng)強(qiáng)度矢量（描述電場(chǎng)性質(zhì)或特征的量,電場(chǎng)的描述：電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，電場(chǎng)在空間要有分布，電場(chǎng)要有自身的性質(zhì)，我們自然想到要找一個(gè)合適的物理量來描述電場(chǎng)，這個(gè)物理量要能體現(xiàn)電場(chǎng)本身的性質(zhì)及場(chǎng)的空間分布情況。怎樣尋找這個(gè)物理量呢？我們可以通過電場(chǎng)對(duì)處在其

17、中的電荷有作用力的性質(zhì)來測(cè)量電場(chǎng)，從而找到描述電場(chǎng)自身特點(diǎn)的物理量-電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。 在數(shù)學(xué)上，電場(chǎng)強(qiáng)度是一個(gè)空間矢量點(diǎn)函數(shù),下面，我們首先研究靜電場(chǎng)的“力的屬性”。將引出電場(chǎng)強(qiáng)度概念來描述電場(chǎng)的這種屬性。 為了定量地描述電場(chǎng)，必須在電場(chǎng)中引入一電荷以測(cè)量電場(chǎng)對(duì)它的作用力。為了使測(cè)量精確，這電荷必須滿足以下一些要求。首先，要求這電荷的電量 充分小，因?yàn)橐脒@電荷是為了研究空間原來存在的電場(chǎng)的性質(zhì)，如果這電荷的電量 太大，它自己的影響就會(huì)顯著地改變?cè)械碾姾煞植?，從而改變了原來的電?chǎng)分布情況。其次，電荷的幾何線度也要充分小，即可以把它看做是點(diǎn)電荷，這樣才可以用它來確定空間各點(diǎn)的電場(chǎng)性質(zhì)。今后把滿足

18、這樣條件的電荷 叫做試探電荷,實(shí)驗(yàn)指出：檢驗(yàn)電荷q0放入電場(chǎng)不同地點(diǎn)時(shí)，q0 所受力的大小和方向逐點(diǎn)不同，但在電場(chǎng)中每一給定點(diǎn)處，q0 所受力的大小和方向都是完全一致的，如果在電場(chǎng)中某給定點(diǎn)處我們改變 q0 的量值，就發(fā)現(xiàn)，q0 所受力的方向仍然不變，但力的大小卻和 q0 成正比地改變，那麼能否用檢驗(yàn)電荷 q0 所受到的電場(chǎng)力來描述電場(chǎng)的“力的性質(zhì)”呢？不能！因?yàn)橛脕砻枋鲭妶?chǎng)性質(zhì)的物理量，只能由電場(chǎng)本身決定，而檢驗(yàn)電荷 q0 受到的電場(chǎng)力，不僅與電場(chǎng)有關(guān)，還與檢驗(yàn)電荷的電荷量的多少和正負(fù)有關(guān)。又因?yàn)樽饔迷?q0上的電場(chǎng)力總是與 q0 成正比，即F/ q0是一個(gè)與q0大小、正負(fù)無關(guān)的恒量。這說明

19、比值定義為該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，簡(jiǎn)稱為場(chǎng)強(qiáng)，用 表示,可見，電場(chǎng)強(qiáng)度是描述電場(chǎng)性質(zhì)的物理量，某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度是這樣一個(gè)矢量，它的大小等于單位檢驗(yàn)電荷在該點(diǎn)所受電場(chǎng)力的大小，它的方向就是正檢驗(yàn)電荷在該點(diǎn)所受電場(chǎng)力的方向。但應(yīng)注意，某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)是否存在電荷無關(guān)，因?yàn)樵擖c(diǎn)電荷僅起檢驗(yàn)作用！ 在國(guó)際單位制中，力的單位是N，電荷量的單位是C，所以場(chǎng)強(qiáng)的單位是N/C，場(chǎng)強(qiáng)的單位也可以寫成v/m，這兩種表示法是一樣的，在電工計(jì)算中常采用后一個(gè)單位,是矢量點(diǎn)函數(shù)，矢量的總體稱為矢量場(chǎng)，它是一種空間分布！“求某一帶電體激發(fā)的電場(chǎng)(的分布)”就是指求出場(chǎng)強(qiáng)與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系 。 從場(chǎng)的觀點(diǎn)來說，一個(gè)電荷對(duì)另一個(gè)電荷

20、的作用包含兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的過程，點(diǎn)電荷q1在周圍產(chǎn)生電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)對(duì)置于其中的另一點(diǎn)電荷q2施加電場(chǎng)力，由此可見，庫侖定律實(shí)質(zhì)上就是電荷間作用的兩個(gè)過程的綜合描述,3、電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算,1)點(diǎn)電荷Q 激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng),以點(diǎn)電荷Q 所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，取任意距O為r的點(diǎn)(任意一點(diǎn))P為場(chǎng)點(diǎn)，設(shè)想把一個(gè)試探電荷q放在P點(diǎn)，根據(jù)庫侖定律，q 所受的力為,根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的定義式，得到P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為,2) 場(chǎng)強(qiáng)迭加原理,若電場(chǎng)是由點(diǎn)電荷系 共同激發(fā)的，由電場(chǎng)力疊加原理，檢驗(yàn)電荷 在場(chǎng)點(diǎn) p 所受電場(chǎng)力等于各個(gè)場(chǎng)源點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)作用于 的電場(chǎng)力的矢量和。即,由電場(chǎng)強(qiáng)度定義， P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng),上式表明，點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)

21、等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。這個(gè)結(jié)論稱為場(chǎng)強(qiáng)疊加原理,3)電荷連續(xù)分布情況,圖例,點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式是最基本而又是最重要的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算式。 如果電荷的分布是連續(xù)的，即不能認(rèn)為是點(diǎn)電荷，根據(jù)不同的情況，把電荷看成在一定體積內(nèi)連續(xù)分布、在一定曲面上連續(xù)分布、在一定曲線上連續(xù)分布。在這些情況下，首先將電荷的分布看成由許多較小的電荷元dQ所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為:(點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式,但微元對(duì)微元,體現(xiàn)無限細(xì)分思想,由此連續(xù)分布總的電荷在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為 （積分體現(xiàn)無限求和,要注意矢量積分的復(fù)雜性,為了方便討論，對(duì)于連續(xù)分布的電荷，需要引入電荷的體密度、面密度、線密度概念,電荷體分布,電荷面分布,電荷線

22、分布,4) 連續(xù)分布的電荷的電場(chǎng)計(jì)算,例1 在真空中，一均勻帶電直導(dǎo)線MN，其長(zhǎng)度為l，帶電量為q，求在導(dǎo)線一旁距離為a的P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),Solution,a).建立坐標(biāo)系，取xoy坐標(biāo)系，電場(chǎng) 與z無關(guān),由圖可見,從而,b).電荷元dq在P點(diǎn)的場(chǎng),即,解得,例3 求均勻帶電園盤軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，已知園盤半徑為R，電荷面密度為,例3 求均勻帶電球面內(nèi)、外一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度（設(shè)面電荷密度為 ，半徑為,1.3.6;1.3.7;1.3.8,4 高斯定理 (Gauss theorem,已知:電場(chǎng)強(qiáng)度的定義，部分帶電體的電場(chǎng)的分布的計(jì)算; 電場(chǎng)的性質(zhì)? 一個(gè)側(cè)面:高斯定理,基礎(chǔ):庫侖定律和靜電力的疊加原理; 一

23、個(gè)通量定理,靜電場(chǎng)的一個(gè)重要定理,一、電通量,通量:描述矢量場(chǎng)性質(zhì) 流體力學(xué)中的流量,如圖，在流速場(chǎng)中（在流體中，速度v是一個(gè)矢量函數(shù)，整個(gè)流體是一個(gè)速度場(chǎng)） ，取一微小面元s,n為面元s的法線方向的單位矢量,單位時(shí)間內(nèi)流過S的流體體積叫做S的通量，S很小，認(rèn)為其上各點(diǎn)的流速v處處相等。單位時(shí)間內(nèi)通過S的流體體積，在數(shù)值上等于以S為底以v為母線的柱體體積，即,將上面通量的定義推廣到任意矢量場(chǎng) ，則,稱為矢量 對(duì)面元 的通量,電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的通量稱為電通量。設(shè)電場(chǎng)中某一點(diǎn)p的場(chǎng)強(qiáng)為E，包含P點(diǎn)取一面元 ，n為面元法線方向的單位矢， 為E 和n 之間的夾角。定義：面元 上的電通量為,即場(chǎng)強(qiáng) 與面元

24、在場(chǎng)強(qiáng)方向的投影的乘積就是面元 上的電通量,2）電通量是場(chǎng)強(qiáng) 在曲面上的積分量，它不僅與場(chǎng)強(qiáng)有關(guān)，還與曲面的大小、方向有關(guān)，因此，它不是點(diǎn)函數(shù)，只能說某曲面的電通量，不能講某點(diǎn)的電通量,3）對(duì)有限曲面S，則面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小和方向一般是不同的，這時(shí)可以把此曲面分成無限多個(gè)面元ds,整個(gè)曲面S的電通量 就是所有面上的電通量的代數(shù)和，即面積分為,對(duì)封閉曲面，其電通量為,表示沿整個(gè)閉合曲面積分。注意一個(gè)曲面的法線式兩有正、反兩種取法，對(duì)于非閉合曲面來講，法線矢量的正方向可任意選??；但對(duì)于閉合曲面來講，它把空間劃分為內(nèi)外兩部分，其法線矢量的兩種取向就有了特定的意義，通常規(guī)定外法線矢量為正,電通量比較抽象

25、 功的定義也很難理解，但有了功能關(guān)系后，功原來就是機(jī)械能轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化的一種量度，定義為力和位移在力方向的投影的乘積，能夠?qū)C(jī)械能的轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化作出定量的描述。 電通量的概念也一樣，學(xué)了高斯定理后就會(huì)明白，這樣定義能夠描述場(chǎng)和場(chǎng)源的某種關(guān)系，揭示靜電場(chǎng)的一個(gè)重要規(guī)律,關(guān)于立體角,平面角:一個(gè)園，其半徑為r，弧長(zhǎng)為 那么平面角為,整個(gè)圓周所張的角,對(duì)于兩個(gè)同心圓，半徑不同，弧長(zhǎng)也不同，但可對(duì)應(yīng)同一個(gè)平面角，即,與半徑r的選擇無關(guān),注：立體角的概念：面元dS對(duì)一點(diǎn)(球心)所包圍的一個(gè)范圍,可以想像成為一個(gè)錐體的頂角,稱為立體角,仿照度量平面角的方法,有,閉合面S對(duì)其內(nèi)任一點(diǎn)所張的立體角等于以該點(diǎn)為球心的

26、球面所張的立體角，即,二、 高斯定理,實(shí)際地計(jì)算電場(chǎng)中任一曲面，尤其是閉合曲面的電通量？1839年，德國(guó)科學(xué)家高斯在這方面作了重要工作.高斯定理：靜電場(chǎng)中任意閉合曲面s的電通量e，等于該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和qi除以0，與閉合面外的電荷無關(guān)。這里s通常是一個(gè)假象的閉合曲面，習(xí)慣上叫高斯面。其數(shù)學(xué)形式為,靜電場(chǎng)的基本方程之一,定理的證明:根據(jù)庫侖定律和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理,從特殊到一般,1) 點(diǎn)電荷在球面S的球心,當(dāng)點(diǎn)電荷q0時(shí)，球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向與該點(diǎn)所在面元法線方向相反，整個(gè)球面的電通量為負(fù)，上式仍然成立。 結(jié)果的重要性: 電通量e與球面半徑r無關(guān),2) 點(diǎn)電荷偏離球心:以點(diǎn)電荷為中心，取一個(gè)球面

27、，根據(jù)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布和立體角即可證明,3) 點(diǎn)電荷在任意閉合曲面內(nèi),4)點(diǎn)電荷在閉合曲面外：正的通量等于負(fù)的通量，總通量為零,5)曲面內(nèi)外均有多個(gè)電荷,證畢,高斯定理物理內(nèi)容深刻，重要，逐漸體會(huì)。 幾點(diǎn)討論： a) Gauss定理與庫侖定律不是兩個(gè)獨(dú)立的物理定律，只是用不同的方式表達(dá)同一定律，Gauss定理取決于相互作用平方反比的性質(zhì)，還取決于作用的迭加性質(zhì)，它揭示了場(chǎng)與場(chǎng)源間的聯(lián)系，是庫侖定律的逆定律。 b) 高斯定理只告訴我們，閉合面的總通量?jī)H由面內(nèi)的電荷決定的，并沒有說面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)僅由面內(nèi)的電荷產(chǎn)生。場(chǎng)強(qiáng)仍應(yīng)理解為所有電荷（包括閉合面外的電荷）的總場(chǎng)強(qiáng)，要注意區(qū)別 的通量和 本身,c

28、) 是代數(shù)和，當(dāng) 時(shí)并不意味著閉合面內(nèi)一定沒有負(fù)電荷，也不意味著閉合面上一定沒有負(fù)的通量，但是閉合面的總通量必然為正。反之，當(dāng) 時(shí)，并不意味著閉合面內(nèi)一定沒有正電荷，也不意味著閉合面上一定沒有正的通量，但是閉合面的總通量必然為負(fù)。所以要注意區(qū)別閉合面上的部分通量和總通量。 d) 當(dāng) 時(shí)，并不說明閉合面內(nèi)一定沒有電荷，而可能是有等量異號(hào)的電荷，同時(shí)，它只能說明閉合面的總通量為零，而并非面上的場(chǎng)強(qiáng)處處為零,高斯定理的應(yīng)用舉例,定理具有普適性,但能夠直接運(yùn)用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)的情形，電場(chǎng)的分布必須具有一定的對(duì)稱性,例1 求無限長(zhǎng)均勻帶電導(dǎo)線（電荷線密度為）的場(chǎng)強(qiáng)。 分析：場(chǎng)的分布有怎樣的對(duì)稱性？高斯面

29、怎樣作？(作題時(shí)必須說明,下同,通過Gauss面的通量為,Use Gauss theorem,we yield,寫成矢量形式為,例2 求無限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)，電荷面密度為,分析：場(chǎng)的分布具有怎樣的對(duì)稱性？高斯面怎樣作,通過Gauss面的通量為,由Gauss theorem可得,寫成矢量形式，即為,思考：兩帶等量異號(hào)電荷相互平行的無限大平面之間的場(chǎng)強(qiáng)為 ，外部場(chǎng)強(qiáng)為,0,例3 求均勻帶電球面內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布，球面半徑為R，所帶電量為q,類似分析,可見，利用高斯定理的關(guān)鍵在于對(duì)稱性分析，其次是高斯面的選取，一般做法：高斯面的各個(gè)部分或者與 平行，或者與 垂直；與 垂直的那部分高斯面上，各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)

30、應(yīng)相等。 利用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)， 只體現(xiàn)這個(gè)定理重要性的一個(gè)方面，更重要的意義在于它是靜電場(chǎng)兩個(gè)基本定理之一,5. 電場(chǎng)線（line of electric field) 一、Line of electric field 電場(chǎng)線是為了形象地描繪電場(chǎng)而引進(jìn)的，它是空間的一組曲線。為了使電場(chǎng)線既能表示場(chǎng)強(qiáng)的方向，又能表示場(chǎng)強(qiáng)的大小，我們規(guī)定： （1）曲線上各點(diǎn)的切線方向就是該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度 的方向這樣就把電場(chǎng)線與場(chǎng)強(qiáng)的方向聯(lián)系起來了； （2）曲線的疏密程度跟該處的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，或者說通過垂直于場(chǎng)強(qiáng)的單位面積的電場(chǎng)線數(shù)目等于 這樣又把電場(chǎng)線和場(chǎng)強(qiáng)的大小聯(lián)系起來了,二、電場(chǎng)線的性質(zhì),從各種帶電體的電場(chǎng)線的

31、共同特征，可以歸納出靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線有如下一些性質(zhì)： 性質(zhì)一:電場(chǎng)線發(fā)自正電荷（或無限遠(yuǎn)），終止負(fù)電荷（或無限遠(yuǎn)），在無電荷處不中斷。 性質(zhì)二:電場(chǎng)線不能構(gòu)成閉合曲線。 性質(zhì)三：任何兩條電場(chǎng)線不相交。 注意:電場(chǎng)線是人們?yōu)榱诵蜗蟮乇硎境鲭妶?chǎng)的強(qiáng)弱和方向而引入的，它不是電場(chǎng)中實(shí)際存在的線，更不要認(rèn)為電場(chǎng)線是電荷在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，這是因?yàn)殡妶?chǎng)線的切線方向是電荷受力的方向不是運(yùn)動(dòng)速度的方向,電場(chǎng)線的第一個(gè)性質(zhì)，實(shí)際上是高斯定理的必然 結(jié)果，也可以說是高斯定理的 幾何表述，說明電荷是靜電場(chǎng)的源；第二個(gè)性質(zhì)實(shí)際上是靜電場(chǎng)的另一個(gè)重要定理環(huán)路定理的必然結(jié)果，也可以說是環(huán)路定理的幾何表述，說明靜電場(chǎng)力做功和

32、路徑無關(guān)。理論上可以證明，靜電場(chǎng)是由高斯定理和環(huán)路定理共同確定的，在一定的邊界條件下，已知電荷分布產(chǎn)生的電場(chǎng)是唯一的。 因此，電場(chǎng)線的兩個(gè)性質(zhì)實(shí)際上是靜電場(chǎng)性質(zhì)和 規(guī)律的反映。現(xiàn)階段用靜電場(chǎng)兩個(gè)基本定理作定量討論存在一定困難，但我們可以用電場(chǎng)線，對(duì)某些問題作定性的討論，得出定性的結(jié)果,6 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,前幾節(jié)我們從庫侖定律出發(fā)，研究電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力，定義了電場(chǎng)強(qiáng)度這一重要概念，證明了高斯定理，本節(jié)開始，我們要從另一個(gè)角度，即從電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力作功的角度來研究靜電場(chǎng)，將引出電位這一重要概念，并得到靜電場(chǎng)的另一重要定理。其基礎(chǔ)仍是庫侖定律,1、靜電場(chǎng)力作功與路徑無關(guān) a) 單個(gè)點(diǎn)電荷

33、產(chǎn)生的場(chǎng) 在點(diǎn)電荷Q的電場(chǎng)中,試探電荷q由a移到b,在此過程中，電場(chǎng)力要作功,由于各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不一樣，所以是一個(gè)變力作功的問題,需要對(duì)各段的元功進(jìn)行積分,設(shè)由c到d這一段位移為 ,它與場(chǎng)強(qiáng) 的夾角為,這一段元功為,因?yàn)閹靵隽閺较蛄?所以元位移 在電場(chǎng)力方向的投影為,所以,這結(jié)果表明，當(dāng)Q和q確定后,確定后，電場(chǎng)力所作的功只取決于運(yùn)動(dòng)電荷的始末位置而與路徑無關(guān),b)多個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng),根據(jù)場(chǎng)的疊加原理， .故總電場(chǎng)力為,總功為,展開后得到,由此可見，當(dāng)點(diǎn)電荷 q 在任意靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力所作的功只取決于運(yùn)動(dòng)的始末位置與路徑無關(guān),c) 連續(xù)分布的帶電體產(chǎn)生的場(chǎng) 可以把連續(xù)分布的帶電體看成由無數(shù)

34、多個(gè)點(diǎn)電荷組成，因而上述結(jié)論也是成立的,當(dāng)點(diǎn)電荷 q 在靜電場(chǎng)中沿任意閉合路徑L繞行一周，電場(chǎng)力做功的數(shù)值應(yīng)該為,2、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,在環(huán)路L上任取兩點(diǎn)A和B把L分成兩部分L1和L2，于是,由靜電場(chǎng)力作功與路徑無關(guān)這一性質(zhì)可知,所以總功,即,該式表明：電場(chǎng)力沿閉合路徑一周對(duì)單位正電荷所作的功為零，或者說場(chǎng)強(qiáng)沿任意一個(gè)閉合路徑的線積分等于零。這個(gè)結(jié)論反映了靜電場(chǎng)特性的又一重要性質(zhì)，稱之為靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,靜電場(chǎng)的環(huán)路定理是場(chǎng)力作功與路徑無關(guān)的必然結(jié)果，其兩者在物理意義上是等價(jià)的,由 可得電場(chǎng)線的一條重要性質(zhì)：“電場(chǎng)線不能構(gòu)成閉合曲線”，為了證明之，假有一條電場(chǎng)線是閉合曲線，沿這條曲線計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的

35、線積分 ，由于 的方向處處和 的方向一致，將得到 ， 這與環(huán)路定理矛盾，所以電場(chǎng)線不能閉合,3、電位和電位差,我們以“電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)”的性質(zhì)為基礎(chǔ)，以功能原理為依據(jù)，討論電場(chǎng)力做功和電位能變化的關(guān)系，再此基礎(chǔ)上定義電位的概念，說明電位的意義，最后介紹電位的計(jì)算方法。 （1） 電位能 電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)，靜電場(chǎng)與重力場(chǎng)相似，也是保守場(chǎng)，也可以引入電位能的概念,分析：當(dāng)檢驗(yàn)電荷 從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，電場(chǎng)力要做功，而功是能量轉(zhuǎn)化的量度，這說明 從a點(diǎn)移到b點(diǎn)有能量變化。不管 從a點(diǎn)沿哪一條路徑移到b點(diǎn)，電場(chǎng)力對(duì)電荷 做的功都是相同的，這說明電荷 在ab兩點(diǎn)的能量差是一定的，其值由這兩點(diǎn)的位置決定

36、。這種由電荷在電場(chǎng)中的位置決定的能量，叫做電位能。顯然，電位能是電荷 和電場(chǎng)共同具有的。檢驗(yàn)電荷在ab兩點(diǎn)的電位能，分別用 表示,當(dāng)電場(chǎng)力要做正功時(shí),由功能原理,當(dāng)電場(chǎng)力要做負(fù)功時(shí),電位能和重力位能一樣 ，也是一個(gè)相對(duì)量。只有先規(guī)定電荷在某一參考點(diǎn)的電位能為零，才能確定電荷在其他位置的電位能，如果選b為參考點(diǎn)，即,電位能可正、可負(fù)，電位能的單位為焦耳。 說明一點(diǎn)：電荷q在靜電場(chǎng)中之所以有電位能，是因?yàn)閝與場(chǎng)源電荷之間有電力作用的結(jié)果。故電位能并非屬于電荷q，而是屬于q與場(chǎng)源電荷所組成的系統(tǒng)。習(xí)慣上，說q在某點(diǎn)的電位能，這是因?yàn)樵谒懻摰膯栴}中，場(chǎng)源電荷的位置不動(dòng)，系統(tǒng)的能量有變化時(shí)，只是可動(dòng)的試探電荷q的位置變化的結(jié)果。 電位能的概念屬于帶電體系,它反映了電場(chǎng)本身在a點(diǎn)的性質(zhì)，因此我們定義：電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)的電位能與它的電荷量的比值，叫做該點(diǎn)的電位,2）電位,它是反映電場(chǎng)本身“能的屬性”的物理量，與場(chǎng)中是否存在電荷無關(guān)。 要注意，電位和電位能是兩個(gè)不同的概念，不能混為一談,由此可見，場(chǎng)中任一點(diǎn)總的電位等于各電荷在該點(diǎn)電位的總和（因?yàn)殡娢皇菢?biāo)量，總和是