常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)

1、第八節(jié)常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì),一、為何要設(shè)計(jì)模擬低通濾波器,首先將要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的指標(biāo)，轉(zhuǎn)變成模擬低通原型濾波器的指標(biāo)后，設(shè)計(jì)“模擬低通原型”濾波器。 模擬濾波器的設(shè)計(jì)(逼近)不屬于本課程的范圍，但由于沒學(xué)過,在此介紹常用的二種模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)。 1、Butterworth巴特渥斯濾波器 2、Chebyshev切比雪夫?yàn)V波器 它們都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)，它們?yōu)V波器各有特點(diǎn),典型模擬濾波器的特點(diǎn),1、Butterworth巴特渥斯濾波器 它具有單調(diào)下降的幅頻特性；即最平幅度。 2、Chebyshev切比雪夫?yàn)V波器 在通帶或阻帶等波紋，可提高選擇性。 3.Bessel

2、貝塞爾濾波器 在通帶內(nèi)有較好的線性相位特性。 4.Ellipse橢圓濾波器 其選擇性相對前三種是最好的,二、模擬濾波器設(shè)計(jì)思想,根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)要求，求出相應(yīng)的模擬系統(tǒng)函數(shù). 使其逼近某個(gè)理想濾波器的特性。(濾波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群時(shí)延特性)，在此我們采用幅度平方函數(shù)特性來設(shè)計(jì),三、根據(jù)幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)1、求濾波器的幅度平方函數(shù),設(shè) 計(jì) 模 擬 濾 波 器 經(jīng) 常 要 借 助 其 幅 度 平 方 函 數(shù) 其中:Ha(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 假 設(shè)p1, z1為Ha(s) 的一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)，則-p1, -z1必為Ha(-s)的一個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)，Ha(s)、Ha

3、(-s)的零極點(diǎn)成象限對稱分布。所以必然有如下形式,z1 -p1,z1 p1,2、根據(jù)幅度平方函數(shù)設(shè)計(jì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的步驟,我 們 知 道， 實(shí) 際 濾 波 器 都 是 穩(wěn) 定 的， 因 此 其 極 點(diǎn) 一 定 位 于S 平 面 左 半 平 面， 這 樣 可 根 據(jù) 幅 度 平 方 函 數(shù) 通 過 如 下 步 驟 分 配 零、 極 點(diǎn) 來 設(shè) 計(jì) 出 模 擬 濾 波 器 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 。 (1)由 來 確 定 象 限 對 稱的 S 平 面 函 數(shù)。 (2)將 因 式 分 解， 得 到 各 零 點(diǎn) 和 極 點(diǎn)。 (3) 按 照 與Ha(s) 的 低 頻 特 性 或 高 頻 特 性 的

4、 對 比 就 可 確 定 出 增 益 常 數(shù),1)由 來 確 定 象 限 對 稱的 S 平 面 函 數(shù),將 代入 中即得到s平面函數(shù),2)將 因 式 分 解， 得 到 各 零 點(diǎn) 和 極 點(diǎn),將左半平面的極點(diǎn)歸于Ha(s)。 如無特殊要求，可取 的對稱零點(diǎn)的任一半作為 Ha(s) 的零點(diǎn)。 如要求是最小相位延時(shí)濾波器，則應(yīng)取左半平面零點(diǎn)作為Ha(s) 的零點(diǎn)。且 軸上的零點(diǎn)或極點(diǎn)都是偶次的，其中一半屬于Ha(s),3) 按 照 與Ha(s) 的 低 頻 特 性 或 高 頻 特 性 , 確 定 出 增 益 常 數(shù),由 的條件，代入可求得增益常數(shù),例子,根據(jù)以下幅度平方函數(shù) 確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s,

5、四、Butterworth巴特渥斯低通濾波器1、幅度平方函數(shù),Butterworth 低 通 濾 波 器 具 有 通 帶 最 平 幅 度逼近 特 性， 是 一 全 極 點(diǎn) 型 濾 波 器，且極點(diǎn)均勻分布上c的圓上，并且與虛軸對稱。 其最主要特點(diǎn)：在通帶內(nèi)，幅頻最平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅 度 平 方 函 數(shù)為 其 中N 為 整 數(shù)， 表 示 濾 波 器 的 階 次，c 定 義 為 截 止 頻 率， 為 振 幅 響 應(yīng) 衰 減 到 - 3dB 處 的 頻 率,2、Butterworth濾波器的極點(diǎn)分布,由 可知Butterworth的零點(diǎn)全部在S=處，它是全極點(diǎn)型濾波器，且分布在半徑為

6、c 的圓上,呈象限對稱分布。 為了得到穩(wěn)定的濾波器，s左半平面的極點(diǎn)必須分配給Ha(s)，s右半平面的極點(diǎn)分配給Ha(-s)。 取其分布在左平面的極點(diǎn), 設(shè)計(jì)出巴特沃斯低通濾波器,3、Butterworth的幅度響應(yīng)及極點(diǎn)分布,其中左半平面構(gòu)成Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 極點(diǎn)不會落在S平面上的虛軸上,4、Butterworth濾波器階數(shù)N與幅度響應(yīng)的關(guān)系,當(dāng)N增大時(shí)，濾波器的特性曲線變得陡峭，則更接近理想矩形幅度特性,5、3dB帶寬,6、Butterworth濾波器的特點(diǎn)（總結(jié),1)當(dāng)=0時(shí)， 即=0處無衰減。 (2)當(dāng)=c時(shí),在止帶內(nèi)的逼近是單調(diào)變化的，不管N為多少，所有幅頻特性

7、曲線都經(jīng)過-3dB點(diǎn)，或說衰減3dB,這就是3dB不變性,或,通帶最大衰減,3) 在c的通帶內(nèi),前(2N-1)階導(dǎo)數(shù)為零，因而Butterworth又稱最平幅度特性濾波器。 隨著由0變到c ，|Ha(j)|2單調(diào)減小，N越大，減小越慢，也就是通帶內(nèi)特性越平坦,有最大平坦的幅度特性，即N階Butterworth低通濾波器在=0處,4) 在c，即在過渡帶及阻帶中，|Ha(j)|2 也隨增加而單調(diào)減小，但是/c 1，故比通帶內(nèi)衰減的速度要快得多，N越大，衰減速度越大。 當(dāng)=s ，即頻率為阻帶截止頻率時(shí)，衰減為,5)濾波器的特性完全由其階數(shù)N決定。N越大，則通帶內(nèi)在更大范圍內(nèi)更接近于1，在止帶內(nèi)迅速地

8、接近于零，因而幅頻特性更接近于理想的矩形頻率特性,2為阻帶最小衰減,7、歸一化的Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù),在一般設(shè)計(jì)中，都先把c 設(shè)為1rad/s，這樣使頻率得到歸一化。歸一化的Butterworth濾波器的極點(diǎn)分布以及相應(yīng)系數(shù)都有現(xiàn)成表可查。 即若令,8、Butterworth濾波器設(shè)計(jì)步驟,1) 根 據(jù) 設(shè) 計(jì) 規(guī) 定， 確 定c 和N。 (2) 由 確 定Ha(s)Ha(-s) 的 極 點(diǎn)。 (3) Sk 的 前N個(gè)值(k=1,2,.,N) ， 即 Re(Sk)0部 分 的極點(diǎn)，構(gòu)成Ha(s). (4)常 數(shù)K0 可 由A() 和Ha(s) 的 低 頻 或 高 頻 特 性

9、對 比 確 定,9、例子,導(dǎo)出Butterworth低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)c=1rad/s，N =3。 解：方法一：根據(jù)幅度平方函數(shù),方法二,方法二：由于c=1rad/s,查表得,10、Butterworth濾波器的階數(shù)N 設(shè)計(jì)公式,1)已知c 、 s和As求Butterworth DF階數(shù)N,2）已知c 、 s和=p的衰減Ap 求Butterworth DF階數(shù)N,3）已知p 、 s和=p的衰減Ap 和As 求Butterworth DF階數(shù)N,例子1,試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通Butterworth濾波器,取N=3階，根據(jù)N=3，查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù),例子2,設(shè)低通DF的3dB帶寬頻率wc=0.

10、2, 止帶頻率ws=0.4,在 w=ws處的止帶衰減20lg|H(ejws)|=-15dB,試用脈沖響應(yīng)不變法（沖激不變法）設(shè)計(jì)一個(gè)Butterworth低通DF。(設(shè)采樣頻率fs=20kHz） 解：設(shè)計(jì)分為4步。 （1）將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。 因?yàn)椋篺s=20kHz,則采樣間隔為T=1/fs=1/20kHz,對于沖激不變法，頻率變換是線性的,2)設(shè)計(jì)Ha(s) 將上述設(shè)計(jì)指標(biāo)代入 求出N階數(shù),x(n,0.534,0.533,1.241,1.599,y(n,0.534,1.241,0.533,1.001,0.306,y(n,x(n,并聯(lián)型,級聯(lián)型,例子3,試用雙線性

11、變換法設(shè)計(jì)Butterworth低通DF。 已知低通DF的3dB帶寬頻率，止帶起始頻率，在處的止帶衰減 解：（1）將DF的設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。 對雙線性變換法 根據(jù)3dB帶寬頻率,1.試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通Butterworth（BW）型濾波器，要求截止頻率fp=5kHz,通帶最大衰減Ap=3dB,阻帶起始頻率fs=10kHz,阻帶衰減As=30dB,作業(yè),五、切貝雪夫低通濾波器Chebyshev1、引入原因,Butterworth濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率而單調(diào)變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會有富裕量，也就是會超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)。 更有效

12、的方法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻在通帶與阻帶內(nèi)，這時(shí)就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來完成,2、Chebyshev濾波器的種類,在一個(gè)頻帶中，通帶或阻帶具有這種等紋特性可分為： （1）Chebyshev I型：在通帶中是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的； （2）Chebyshev II型：在通帶中是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的； 由應(yīng)用的要求，決定采用哪種型式的Chebyshev濾波器,1）Chebyshev I型幅頻特性和零極點(diǎn)圖（N=3,N=3Chebyshev I型 ，下面我們僅講此類型,2）Cheby

13、shev II型幅頻特性和零極點(diǎn)圖（N=3,N=3Chebyshev II型，其設(shè)計(jì)思想同Chebyshev I型，在此課程中我們就不作介紹,3、Chebyshev I型幅度平方函數(shù),Chebyshev I型模擬濾波器的振幅平方函數(shù)為,4、CN(x):N階Chebyshev多項(xiàng)式(1)函數(shù),Chebyshev 多項(xiàng)式,2）Chebyshev多項(xiàng)式圖形,0,1,1,1,1,x,C4(x,C5(x,CN(x,5、通帶等波紋振蕩,6、確定通帶內(nèi)波紋值,7、確定階數(shù)N（1）N階特性,階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大和最小值個(gè)數(shù)的總和。 可由幅頻特性中看出N階數(shù)。且當(dāng)： N=奇數(shù)，則=0處有一最大值， N=偶數(shù)，則

14、=0處有一最小值,N=3和N=5,N=4和N=6,2）N階公式,由止帶起始點(diǎn)s處的關(guān)系求出Chebyshev的階數(shù),8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)(1)求極點(diǎn)-1,8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)(1)求極點(diǎn)-2,8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)(1)求極點(diǎn)-3,ChebyshevI型濾波器的極點(diǎn)，是一組分布在以bc為長軸，以ac處為短軸的橢園上的點(diǎn),9、Chebyshev I型濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù),若N=偶數(shù)時(shí)，當(dāng)s=0時(shí)，即=0,式中，k為歸一化系數(shù)。 若N=奇數(shù)時(shí)，當(dāng)s=0時(shí)，即=0,則歸一化后的Chebyshev濾波器系統(tǒng)函數(shù)為,10、Chebyshev DF設(shè)計(jì)步驟,首 先 要

15、先 確 定，N 和c 。 計(jì) 算a，b。 確 定 Ha(s)Ha(-s)的 極 點(diǎn)。 取Re(Si)0 的 極 點(diǎn)， 得 到Ha(s)。 k 可 由 A() 和Ha(s) 低 頻 或 高 頻 特 性 對 比 確 定,例1,設(shè)N=4，確定Chebyshev I型，極點(diǎn)位置。 解：N=4，則有8個(gè)極點(diǎn)，我們要求在S左半平面上為穩(wěn)定系統(tǒng)的四個(gè)極點(diǎn),j,看出：對于N=4，只須求出一點(diǎn)，即可求出其它共軛。 畫極點(diǎn)：過小園交點(diǎn)畫垂直線；過大園交點(diǎn)畫水平線,由上可知，大半平面上,第1極點(diǎn),第2極點(diǎn),第3極點(diǎn),第4極點(diǎn),2)等間隔角 均分，各點(diǎn)是虛軸對稱的，且一定不落在虛軸上，N為奇數(shù)時(shí)，有落在實(shí)軸上的點(diǎn)；N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上也沒有。 (3)幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)