(極坐標與直角坐標方程)

1、直角坐標系與極坐標系,目標在哪,在以為X軸 以為Y軸， 坐標是,以立新街為X軸 以大橋東路為Y軸,請問：去融安 二中怎么走,以立新街為X軸 以大橋東路為Y軸,腦子 進水了,以立新街為X軸 以大橋東路為Y軸,精神病,從這向北向 東南方向 3000米,請問：去融安 二中怎么走,請分析上面這句話，他告訴了問路人什么,從這向東南走3000米,出發(fā)點,方向,距離,在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想,極坐標系的建立,在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點,引一條射線OX，叫做極軸,再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向

2、,這樣就建立了一個極坐標系,O,極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定,對于平面上任意一點M，用 表示線段OM的長度，用 表示從OX到OM 的角度， 叫做點M的極徑， 叫做點M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標,特別強調(diào)：表示線段OM的長度，即點M到極點O的距離；表示從OX到OM的角度，即以O(shè)X（極軸）為始邊，OM 為終邊的角,題組一:說出下圖中各點的極坐標,平面上一點的極坐標是否唯一？ 若不唯一，那有多少種表示方法？ 坐標不唯一是由誰引起的？ 不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式,特別規(guī)定： 當M在極點時，它的極坐標=0，可以取任意值,想一想,點的極坐標的表達式的研究,如圖：OM的長度為4,請說出點

3、M的極坐標的其他表達式,思考：這些極坐標之間有何異同,思考：這些極角有何關(guān)系,這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角,本題點M的極坐標統(tǒng)一表達式,極徑相同，不同的是極角,題組二:在極坐標系里描出下列各點,極坐標系下點與它的極坐標的對應(yīng)情況,1給定（,）,就可以在極坐標平面內(nèi)確定唯一的一點M,2給定平面上一點M，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應(yīng),原因在于：極角有無數(shù)個,一般地,若(,)是一點的極坐標,則(,+2k)、都可以作為它的極坐標,如果限定0,02或 ,那么除極點外,平面內(nèi)的點和極坐標就可以一一對應(yīng)了,2.在極坐標系中,與(,)關(guān)于極軸對稱的點是(,A.(,) B.(, )

4、C.(,) D.(,A,B,題組三 1. 在極坐標系中，與點 (3, )重合的點是(,A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3,極坐標和直角坐標的互化,在直角坐標系中, 以原點作為極點, x軸的正半軸作為極軸, 并且兩種坐標系中取相 同的長度單位,點M的直角坐標為,設(shè)點M的極坐標為(,極坐標與直角坐標的互化關(guān)系式,設(shè)點M的直角坐標是 (x, y) 極坐標是 (,x=cos, y=sin,互化公式的三個前提條件： 1. 極點與直角坐標系的原點重合; 2. 極軸與直角坐標系的x軸的正半軸 重合; 3. 兩種坐標系的單位長度相同,例1. 將點M的極坐標 化成直角坐標,已知下列點

5、的極坐標，求它們的直 角坐標,例2. 將點M的直角坐標 化成極坐標,練習: 已知點的直角坐標, 求它們 的極坐標,直線的極坐標方程,思考：在平面直角坐標系中,1、過點(3,0)且與x軸垂直的直線方程為 ;過點(3,3)且與x軸垂直的直線方程為,x=3,x=3,2、過點（a,b）且垂直于x軸的直線方程為_,x=a,特點：所有點的橫坐標都是一樣，縱坐標可以取任意值,答：與直角坐標系里的情況一樣，求曲線的極坐標方程就是找出曲線上動點的坐標與之間的關(guān)系，然后列出方程(,)=0 ，再化簡并討論,怎樣求曲線的極坐標方程,例題1：求過極點，傾角為 的射線的極坐標方程,分析,如圖，所求的射線上任一點的極角都是

6、 ，其,極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求,直線的極坐標方程為,1、求過極點，傾角為 的射線的極坐標方程,易得,思考,2、求過極點，傾角為 的直線的極坐標方程,和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪,為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實數(shù)。則上面的直線的極坐標方程可以表示為,或,例題2:求過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標方程,解：如圖，設(shè)點,為直線L上除點A外的任意一點，連接OM,在 中有,即,可以驗證，點A的坐標也滿足上式,求直線的極坐標方程步驟,1、據(jù)題意畫出草圖,2、設(shè)點 是直線上任意一

7、點,3、連接MO,4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方程,并化簡,5、檢驗并確認所得的方程即為所求,練習：設(shè)點A的極坐標為A ,直線 過點A且與極軸所成的角為 ,求直線 的極坐標方程,解：如圖，設(shè)點,為直線 上異于的點,連接OM,在 中有,即,顯然A點也滿足上方程,例題3設(shè)點P的極坐標為 ，直線 過點P且與極軸所成的角為 ,求直線 的極坐標方程,則 由點P的極坐標知,由正弦定理得,顯然點P的坐標也是它的解,直線的幾種極坐標方程,1、過極點,2、過某個定點，且垂直于極軸,3、過某個定點，且與極軸成一定的角度,圓的極坐標方程,探究,如圖，半徑為a的圓的圓心坐標為(a,0)(a0)，你能用一個等式表示圓上

8、任意一點的極坐標(,)滿足的條件,x,C(a,0,O,A,2acos,例1已知圓O的半徑為r，建立怎樣的坐標系，可以使圓的極坐標方程更簡單,=r,練習1,求下列圓的極坐標方程 （）中心在極點，半徑為； （）中心在（， ），半徑為； （）中心在（，2），半徑為,2,2acos,2asin,極坐標方程分別是cos和 sin的兩個圓的圓心距是多少,練習2,參數(shù)方程的概念,參數(shù)方程的概念,物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成,1）沿ox作初速為100m/x的勻速直線運動； （2）沿oy反方向作自由落體運動,一般的，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即 并且對

9、于t 的每一個允值， 由方程組 所確定的點M(x,y)都在這條直線上，那么方程組 就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x，y 之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。 相對于參數(shù)方程來說，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程,圓的參數(shù)方程,練習: 如圖，已知點P是半徑是2的圓O上的一個動點，點Q是x軸上的定點，坐標為（6，0）.當點P在圓上運動時,線段PQ的中點M的軌跡是什么,解: 設(shè)點M的坐標是(x,y).因為圓O的參數(shù)方程為,所以 可設(shè)點P的坐標為(2cos , 2sin ).由線段中點坐標公式得點M的軌跡的參數(shù)方程為,參數(shù)方程和普通方程 的互化,1）普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù),如：直線L

10、 的普通方程是2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程,t為參數(shù),在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化為參數(shù)方程,為參數(shù),2）參數(shù)方程通過代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程,如：參數(shù)方程,消去參數(shù),可得圓的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2,可得普通方程：y=2x-4,通過代入消元法消去參數(shù)t,x0,注意：在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價的,例: 把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明 它們各表示什么曲線,例,橢圓 的參數(shù)方程為,練習:1.把下列參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為參數(shù)方程（口答,練習,1）當參數(shù)R時，化為普通方程是_. （2）當參數(shù)0，時，化為普通方程是_,1）(x-1)2+(y+3)2=4,4、在參數(shù)