分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

1、分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理（一）教學(xué)設(shè)計(jì)柳州地區(qū)民族高級(jí)中學(xué)覃艷莉相關(guān)教材：人民教育出版社的全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修)數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下B） 一、教學(xué)內(nèi)容解析： .教學(xué)內(nèi)容： 分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理，這兩個(gè)原理也是本次課的教學(xué)重點(diǎn)。 .概念解析： 分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理都是計(jì)算完成一件事共有多少種不同方法數(shù)的原理，也叫加法原理和乘法原理。其區(qū)別在于：運(yùn)用加法原理的前提條件是完成一件事有n類辦法，選擇任何一類辦法中任何一種方法都可以獨(dú)立完成此事，就是說(shuō)，完成這件事的各種方法是相互獨(dú)立的，所以總方法數(shù)為各類方法數(shù)之和；運(yùn)用乘法原理的前提條件是完成一件事需n個(gè)步驟，只有依次完成所有步驟后才

2、能完成這件事，就是說(shuō)，完成這件事的各個(gè)步驟是相互依存的，所以總方法數(shù)為各步驟方法數(shù)之積。 3.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的地位和作用： 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是人們?cè)诖罅繉?shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出來(lái)的基本規(guī)律，體現(xiàn)了解決問(wèn)題時(shí)將其分解的兩種常用方法，即分類解決或分步解決。這不僅是今后推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)，而且這種解決問(wèn)題的思想與方法貫穿于本章的始終。 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置： 1.知識(shí)與技能目標(biāo)：理解并掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。 2.過(guò)程和方法目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)情境，將一些實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)分類或分步的計(jì)數(shù)問(wèn)題，使學(xué)生的建構(gòu)思維能力得到提升；在總結(jié)時(shí)用到特殊到一般的

3、思想；在解題時(shí)通過(guò)類比，舉一反三，使學(xué)生對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有一個(gè)更深刻的理解。 3.情感與態(tài)度目標(biāo)：通過(guò)學(xué)生小組活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中面對(duì)復(fù)雜的事務(wù)和現(xiàn)象，能夠作出正確的分析，準(zhǔn)確的判斷，進(jìn)而拿出完善的處理方案，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的內(nèi)在聯(lián)系及不可分割性。讓學(xué)生感受到親切、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，在活動(dòng)中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識(shí)和能力。 三、學(xué)生學(xué)情分析： 1.認(rèn)知基礎(chǔ)分析： 學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過(guò)用列舉法或樹(shù)狀圖來(lái)解決一些計(jì)數(shù)問(wèn)題，已經(jīng)具備了一定的歸納、類比能力，也能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，這些形成了學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”。 2.可能學(xué)習(xí)障礙分析： 正確使

4、用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的前提是要學(xué)生清楚兩個(gè)計(jì)數(shù)原理使用的條件：分類用加法原理，分步用乘法原理，單純這點(diǎn)學(xué)生是容易理解的。加法和乘法在小學(xué)就會(huì)，那么，在中學(xué)再學(xué)它與以往有什么不同?不同在于小學(xué)階段重在運(yùn)算結(jié)果的追求，而忽視了其過(guò)程中包含的深層次思想；兩個(gè)原理恰恰深刻反映了人類計(jì)數(shù)最基本的“大事化小”，即“分解”的思想。更具體地說(shuō)就是把完成一件事的方法數(shù)分成類或分成步去數(shù)。學(xué)生往往在判斷是分類還是分步去完成一件事會(huì)有一定的障礙，部分學(xué)生對(duì)乘法原理的運(yùn)算結(jié)果難以理解。因此，把本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：（1）如何判斷完成一件事是分類或分步完成；（2）理解分步計(jì)數(shù)原理中的運(yùn)算方法，即總方法數(shù)為各步驟方法數(shù)之積。

5、.突破難點(diǎn)分析： 要準(zhǔn)確的判斷是分類還是分步去完成一件事，首先得明確這是一件什么事，該怎樣去完成。在分析的過(guò)程中，便會(huì)發(fā)現(xiàn)有些事可以按某些方法獨(dú)立完成，有些事需要多個(gè)步驟才能完成。能獨(dú)立完成的就用分類，需多個(gè)步驟完成的就用分步。為此，設(shè)計(jì)了兩個(gè)小組活動(dòng)來(lái)讓學(xué)生體會(huì)。 對(duì)于分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)算結(jié)果，可利用樹(shù)狀圖并結(jié)合小學(xué)對(duì)乘法的理解來(lái)突破。 四、教學(xué)策略分析： 本節(jié)課的課本引例、例題同學(xué)們通過(guò)預(yù)習(xí)大多都能看懂。為了貼近學(xué)生實(shí)際生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，在創(chuàng)設(shè)情境和例題的選用上，選擇了學(xué)生所熟悉的校園生活事例。 本節(jié)課采用了老師引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生分小組合作學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行教學(xué)。利用多媒體顯示問(wèn)題情境，讓學(xué)生

6、通過(guò)小組活動(dòng)，具體地分析比較，進(jìn)而歸納總結(jié)，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過(guò)程，既關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又促使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上獲取知識(shí)，提高思維能力，保持高水平的思維活動(dòng)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。 學(xué)生在小組合作交流中，對(duì)問(wèn)題的理解可以得到互補(bǔ)完善。從學(xué)生回答問(wèn)題和學(xué)生間的相互評(píng)價(jià)中，使老師更多地了解學(xué)生的理解程度。 五、教學(xué)過(guò)程： .創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題 同學(xué)們，下學(xué)期我們就要搬到第一教學(xué)樓去學(xué)習(xí)了，大家觀察過(guò)第一教學(xué)樓共有多少處樓梯嗎？（4個(gè)） 假設(shè)我們班的教室在二樓，那么從一樓到二樓共有多少種不同的走法呢？（請(qǐng)一同學(xué)回答） 假設(shè)我們班的教室在六樓，那么從一樓到六樓共有多少種不同的走法呢？（讓學(xué)生

7、充分討論，在解決問(wèn)題的過(guò)程中產(chǎn)生困惑，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。） 這些問(wèn)題實(shí)際上都是一些計(jì)數(shù)問(wèn)題，都是計(jì)算完成一件事共有多少種不同的方法數(shù)。我們今天將要學(xué)習(xí)的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理就是為了解決這類問(wèn)題的。 計(jì)算完成一件事共有多少種不同方法，我們應(yīng)該怎樣做呢？（啟發(fā)學(xué)生思考）這就好比我要你去完成一件事，你首先想到的是什么？（這是一件什么事？）然后想到的又是什么呢？（怎樣去完成？）在分析的過(guò)程中我們才知道怎樣完成這件事，其次才是計(jì)算完成它的所有方法數(shù)。 今天，我們的學(xué)習(xí)將從這兩方面去展開(kāi)。 設(shè)計(jì)目的:選擇學(xué)生身邊的素材作為新課引入的實(shí)例,利用簡(jiǎn)單的熟悉的問(wèn)題情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積級(jí)性,讓學(xué)生在迫切

8、要求下去探究。 .逐層探索，構(gòu)建新知 在剛才的第一問(wèn)中，我們要完成什么事？要怎樣去完成？ 從一樓到二樓：（任選一個(gè)樓梯口上）一步到位，直接完成。 在第二問(wèn)中呢，我們要完成什么事？又怎樣去完成？（先到二樓，再到三樓，） 從一樓到六樓：不能直接完成，需要分步完成。 第一步：從一樓到二樓；第二步：從二樓到三樓；第三步：從三樓到四樓；第四步：從四樓到五樓；第五步：從五樓到六樓。 比較兩件事的完成過(guò)程，你能發(fā)現(xiàn)它們的不同之處嗎？ 完成一件事：一步到位，直接完成；不能直接完成，需要分步完成。 學(xué)習(xí)小組活動(dòng)一：議一議，如何完成以下這些事情。 （學(xué)生在各自的學(xué)習(xí)小組內(nèi)討論之后，由小組代表發(fā)言。） 設(shè)計(jì)目的:讓

9、學(xué)生感知完成一件事，可以分類去解決，或者分步去解決。 情境、節(jié)目主持候選人中有名男同學(xué)，名女同學(xué)， （） 若從中任選一人主持節(jié)目；（可以選一名男同學(xué)或選一名女同學(xué)，都直接完成。在你的選法中，從同學(xué)的性別來(lái)分，可分為兩類，一類是選男同學(xué)，一類是選女同學(xué)，不管選男還是選女，它們都可以獨(dú)立地完成這件事。） （） 若從中任選一個(gè)男同學(xué)和一個(gè)女同學(xué)共同主持節(jié)目。（不能直接完成，需分兩步。第一步選一個(gè)男同學(xué)，第二步選一個(gè)女同學(xué)。不管選男同學(xué)還是選女同學(xué)，若少一步則不能完成這件事，這兩步的關(guān)系是相互依存的。） 情境、書(shū)架上有本不同的語(yǔ)文書(shū)，本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，本不同的英語(yǔ)書(shū)， （） 從書(shū)架上任取一本書(shū)； （）

10、從中任選三本不同科目的書(shū)。 在完成的過(guò)程中，我們還發(fā)現(xiàn)，能直接完成的往往也可以按某一標(biāo)準(zhǔn)分類去完成；不能直接完成的則需要分步去完成。 什么時(shí)候可分類完成，什么時(shí)候需分步完成呢？ 能獨(dú)立完成的就用分類，需多個(gè)步驟完成的就用分步。 學(xué)習(xí)小組活動(dòng)二：算一算，完成以下這些事情分別有多少種不同的方法。 設(shè)計(jì)目的:讓學(xué)生用已有的知識(shí)去計(jì)算，在與同學(xué)的交流中完善其方法，找到其中的規(guī)律。 分類完成： （） 節(jié)目主持候選人中有名男同學(xué)，名女同學(xué)，若從中選一人主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？ 第一類：選一男有4種選法；第二類：選一女有8種選法，共種 （） 書(shū)架上有本不同的語(yǔ)文書(shū)，本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，本不同的英語(yǔ)書(shū)，從

11、書(shū)架上任取一本書(shū)，共有多少種不同的選法？ 第一類：選一語(yǔ)有40種選法；第二類：選一數(shù)有30種選法；第三類：選一英有20種選法，共種 分步完成： （） 節(jié)目主持候選人中有名男同學(xué)，名女同學(xué)，若從中選一個(gè)男同學(xué)和一個(gè)女同學(xué)共同主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？ 男1配一女有8種選法，共4個(gè)男；女1配一男有4種選法，共8個(gè)女；（樹(shù)狀圖） 第一步：選一男有4種選法；第二步：選一女有8種選法。 （） （） 書(shū)架上有本不同的語(yǔ)文書(shū)，本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，本不同的英語(yǔ)書(shū)，從中任選三本不同科目的書(shū)，共有多少種不同的選法？ 分析：完成第一步和第二步（選定一本語(yǔ)文書(shū)和一本數(shù)學(xué)書(shū)）共有種方法，再選英語(yǔ)書(shū)時(shí)，前面的每一種方法

12、都對(duì)應(yīng)種選法，所以共有種選法。 .比較歸納，深化概念 學(xué)習(xí)小組活動(dòng)三：想一想：分類完成的計(jì)數(shù)問(wèn)題如何計(jì)算？ 分步完成的計(jì)數(shù)問(wèn)題如何計(jì)算？ 設(shè)計(jì)目的:學(xué)生通過(guò)具體事例的分析、計(jì)算，找到規(guī)律，用自己的語(yǔ)言表述出來(lái)，鍛煉了學(xué)生的概括能力。 分類解決：完成這件事的所有方法數(shù)為各類辦法的方法數(shù)之和。 分步解決：完成這件事的所有方法數(shù)為各步方法數(shù)之積。 （由兩位同學(xué)作總結(jié)發(fā)言）這也就是我們今天要學(xué)習(xí)的分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容。（電腦顯示，學(xué)生朗讀） 分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事情，有n類辦法，在第類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法在第n類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同

13、的方法。 分步計(jì)數(shù)原理：完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第步有種不同的方法，做第步有種不同的方法做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有 種不同的方法。 分類計(jì)數(shù)原理又稱加法原理，分步計(jì)數(shù)原理又稱乘法原理，你能說(shuō)說(shuō)它們命名的理由嗎？（一個(gè)結(jié)果用各類方法數(shù)相加，一個(gè)結(jié)果用各步方法數(shù)相乘） 什么時(shí)候用加法原理，什么時(shí)候用乘法原理呢？ 再次強(qiáng)調(diào)加法原理中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事，而乘法原理中的各步中的方法不能獨(dú)立完成這件事。 .學(xué)以致用，培養(yǎng)能力 我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，我們又該如何運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一開(kāi)始提出的爬樓梯問(wèn)題呢？ 從一樓到二樓：分類完成，共四類，每類種走法，所以共4種不同的走法。

14、 從一樓到六樓：分步完成，共五步，每步都有種走法，所以共有種不同的走法。 設(shè)計(jì)目的:前后呼應(yīng)，用已學(xué)知識(shí)解決提出的問(wèn)題，達(dá)到學(xué)以致用的目的。 .總結(jié)反思，提高認(rèn)識(shí) 通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們?cè)谥R(shí)方面有什么樣的收獲？ （1）知識(shí)積累：分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理。 同學(xué)們?cè)倩叵胍幌?，我們是怎樣得到這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的？ （2）思維體驗(yàn)：通過(guò)了一些具體的問(wèn)題分別歸納出了分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)計(jì)數(shù)原理，由特殊到一般是重要思維方式之一。 師：完成什么事，怎樣算完成？分類或分步？一定要分清！獨(dú)立就分類，分類則相加。分步必相依，分步則相乘。 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理體現(xiàn)了解決問(wèn)題時(shí)將其分解的兩種常用方法，即分類解決或分步解決。這不僅是今后推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)，而且這種解決問(wèn)題的思想與方法貫穿于本章的始終。 .布置作業(yè)，拓展知識(shí) 練習(xí)：一個(gè)口袋里有5封信，另