《信號(hào)與系統(tǒng)》-第三章-泛函分析初步

1、信號(hào)與系統(tǒng) 第三章：泛函分析初步第三章：泛函分析初步（參閱教材Ch6）(Fundamentals on functional)3.1 線性空間l 定義（線性空間，Linear space）：設(shè)（為非空集合），滿足下列兩個(gè)條件：第一. 中的元對“+”構(gòu)成交換群，即，有：）（加法封閉性）（結(jié)合律），使（存在唯一零元），使（存在唯一逆元/負(fù)元）（交換律）（滿足前2條，構(gòu)成半群；滿足前4條，構(gòu)成群；滿足5條，構(gòu)成加法交換群，又稱為Abel加群，簡稱Abel群。）第二. (復(fù)數(shù)域/實(shí)數(shù)域)，對數(shù)乘封閉，即有：）則稱是數(shù)域上的線性空間。若，則為實(shí)線性空間；若，則為復(fù)線性空間。 注：1）加法封閉數(shù)乘封閉，有

2、。 2）（上所有連續(xù)函數(shù)的全體）是線性空間。 3）為由張成（生成）的線性空間。 所生成的線性空間中的元是的線性組合。l 定義（數(shù)域，Number field）：P是包括0、1的集合，對四則運(yùn)算封閉，則稱P為一個(gè)數(shù)域。l 定義（線性算子，Linear operator）：線性空間上的算子L為線性算子（3-1）l 推論：零狀態(tài)線性系統(tǒng)系統(tǒng)算子為線性算子。3.2 線性子空間l 定義（線性子空間，Linear subspace）：設(shè)，是的線性子空間對，有。l 定義（直和，Direct sum）：設(shè)是的子空間，若對，可唯一表示成，其中，則稱是的直和，記為：。3.3 距離空間（度量空間）l 定義（距離空間

3、，Metric space）：設(shè)，稱為距離空間，指在中定義了映射：（含0正實(shí)數(shù)），滿足以下三條公理： ），且（正定性）（可交換性）（三角不等式）稱為上的距離，為度量空間。l 定義（收斂，Convergence）：度量空間中的點(diǎn)列收斂于 (W ) ! 是的極限當(dāng) 趨于W上的點(diǎn)x0l 定理：在中，每個(gè)收斂點(diǎn)列有唯一的極限點(diǎn)。證明：設(shè)，對當(dāng)n max n1, n2時(shí)，有即。證畢。l 定義（柯西序列Cauchy Sequence）：設(shè)是中的點(diǎn)列，若對，使，則稱是中的柯西序列。 序列趨于越來越靠近注：中任意收斂序列是柯西序列，但中的柯西序列未必收斂到中。例：是上Cauchy列，W =(0,1，則。但是，

4、序列收斂于0 W。即該序列不是W =(0,1上的收斂序列。l 定義（完備度量空間，Complete Metric Space）：稱為完備度量空間，指其中所有柯西序列都收斂。l 幾點(diǎn)說明：第一. 極限運(yùn)算在完備時(shí)可行，不完備則不能求極限。第二. 度量空間（W, ）不要求W是線性空間！第三. 如何完備化，是一個(gè)問題。3.4 巴拿赫（Banach）空間1. 賦范線性空間：l 定義（賦范線性空間，Normed linear space）：設(shè)是線性空間，若對，$滿足三條公理： ），且（正定性）（正齊性）（三角不等式）稱為的范數(shù)（Norm）；定義了范數(shù)的線性空間稱為賦范線性空間，記為：?？梢姡堑綌?shù)域的映

5、射，記作：注1：賦范空間與距離空間的差別在于第二條公理，這是顯然的，因?yàn)榍罢呤强臻g上一個(gè)元素“大小”的度量，后者是空間上兩個(gè)元素之間“差距”的度量。注2：賦范空間可以導(dǎo)出度量空間，但反之不然。說明如下：在中，可定義：，即從。在中，若，則?？上?，有反例如下：l 范數(shù)舉例：（長度概念的推廣廣義長度） 例1：對于，n維實(shí)數(shù)空間，稱為的p范數(shù)。（3-2）特別地，當(dāng)p=2時(shí)，（3-3）為2范數(shù)，稱為歐氏范數(shù)。無窮范數(shù)不在（3-2）之列，另定義如下：（3-4） 例2：離散時(shí)間（信號(hào)）序列空間l，無窮維向量，p次方可和（3-5），稱為的p范數(shù)。（3-6）特別地，定義無窮范數(shù)： （上確界，supremum）（

6、3-7） 例3：連續(xù)時(shí)間信號(hào)空間，無窮維。對于，若，可定義，p次方可積（3-8），稱為的p范數(shù)。（3-9）特別地，定義無窮范數(shù)：，上確界（3-10）分析可知，不完備。由Lebesgue積分存在性可知，是p次方L可積的連續(xù)函數(shù)集，且完備，此函數(shù)空間記為。完備的定義參見下面定義。l 定義（勒貝格函數(shù)空間，）：設(shè)為任意可測集，是上可測函數(shù)，則在上Lebesgue可積（）的所有函數(shù)構(gòu)成的集合稱為勒貝格函數(shù)空間，記為。并稱為的p范數(shù)（p-norm）。l 定義（完備性）：設(shè)為任意可測集，是上的序列，滿足，即存在，使得，這種情況稱為的完備性，亦稱具有完備性。l 離散序列空間的Minkovski不等式：設(shè)，則

7、：（3-11）等號(hào)成立條件為：。l 連續(xù)函數(shù)空間的Minkovski不等式：l 定理（空間包含定理）：低次方可和的離散序列必高次方可和，即（3-12）其中。證明：，因?yàn)樗裕沟卯?dāng)nN時(shí)，恒有：因而， 所以：。l 定義（強(qiáng)收斂）：在中，收斂于，指：，稱為強(qiáng)收斂，也稱為依范數(shù)收斂（Convergence in Norm）。l 定義（弱收斂，如第一章的廣義極限）：依泛函收斂。注：強(qiáng)收斂弱收斂。2. Banach空間：l 定義（Banach空間）：完備的稱為Banach空間。l 例1： 是Banach空間。l 例2：不是Banach空間，因?yàn)榇嬖?Ca, b上的函數(shù)x(t)，其p次方R不可積，如p=

8、1的情況。l 例3：是Banach空間，即對于，均滿足其p次方L可積。換言之，是在上p次方L可積（即存在）的連續(xù)函數(shù)全體，是完備的賦范線性空間，Banach空間。l Holder不等式：若，則（3-13）l Banach空間包含定理：若 ，則（3-14）即：高次方可積的連續(xù)函數(shù)必低次方可積。證明：當(dāng)p=q時(shí)，定理顯然成立。當(dāng)時(shí)，構(gòu)造，即， 對，依Holder不等式有 即： 即： 因此，即。3.5 Hilbert空間 Hilbert第六問題：任何物理學(xué)理論、物理定律、實(shí)驗(yàn)結(jié)論，都可以從一組數(shù)學(xué)公理出發(fā)演繹得到。體現(xiàn)一種對統(tǒng)一的追求。 泛函分析：屬于基于公理的分析體系，不在于計(jì)算，而著眼于概念演繹

9、，更普適、更一般、更深刻地理解、解釋數(shù)學(xué)物理問題。1. 內(nèi)積空間：l 定義（內(nèi)積）：設(shè)為實(shí)或復(fù)線性空間，若對（數(shù)域），均有一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，記為，滿足： ），且（自內(nèi)積正定性）（共軛交換性）（齊次性）（加法分配性） 則稱為與的內(nèi)積。l 定義（內(nèi)積空間）：定義了內(nèi)積的空間為內(nèi)積空間。注：1. 2.（實(shí)/復(fù)數(shù)域），是集合到數(shù)域的映射；若為數(shù)的集合，則其實(shí)就是通常意義的二元函數(shù)。3. ）和）可合并：。l 關(guān)于內(nèi)積的例子： ，（3-15） （約定了內(nèi)積的n維復(fù)線性空間，又稱為酉空間，Unitary S），（3-16）H表示共軛轉(zhuǎn)置。 ，連續(xù)函數(shù)空間（3-17） n維平方可積復(fù)連續(xù)函數(shù)空間（3-1

10、8），則（3-19）2. Hilbert空間：l 定義歐氏范數(shù)，則內(nèi)積(線性)空間亦為賦范線性空間。l 定義（Hilbert空間）：依內(nèi)積導(dǎo)出的歐氏范數(shù)完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。換言之：若內(nèi)積空間作為導(dǎo)出范數(shù)下的一個(gè)賦范線性空間是完備的，則稱之為Hilbert空間。l Cauchy-Schwarz不等式：為內(nèi)積空間，有（3-20）證明： 取，有： 說明：1) 在Holder不等式中，取，就成為Cauchy-Schwarz不等式。 2) 在空間中，有Cauchy-Schwarz不等式：（3-21）3) 在空間中，有Cauchy-Schwarz不等式：（3-22）3. 線性泛函：l 定

11、義（算子Operator）：為線性空間，算子：或。其中，為定義域，為值域。圖3-1 算子的映射作用l 定義（數(shù)域Number Field）：包括0、1且對四則運(yùn)算封閉的集合。l 定義（泛函Functional）：值域是實(shí)復(fù)數(shù)域的算子稱為泛函。注：定積分，距離，范數(shù)，內(nèi)積，函數(shù)（第三種定義），（普通）函數(shù)均為泛函。l 定義（線性算子）：為線性空間，若對，（3-23）則為線性算子。l 定義（線性泛函）：線性算子的值域?yàn)閷?shí)復(fù)數(shù)集。注：1）距離、范數(shù)是泛函，但非線性泛函； 2）連續(xù)線性算子：圖3-2 連續(xù)線性泛函的映射作用 3）對線性算子：有界連續(xù)；定義（有界線性算子）：設(shè)算子T：XY（L，S）$ M

12、 0，使|TX|y M |X|x 成立，則稱T 為有界線性算子。 4）內(nèi)積為連續(xù)線性泛函； 5）積分算子，上連續(xù)。3.6完備規(guī)范正交集上廣義傅里葉展開1. 正交Orthogonal：l 定義（正交）：在內(nèi)積空間中，若，滿足，則稱與正交，記為：。其中為常數(shù)，是Kronecker符號(hào)：（3-24）l 定義（正交（子）集）：中任意兩個(gè)元正交。l 定義（集合正交）：若，對，有，則稱集合與集合正交，記為：。l 定義（正交補(bǔ)）：，的正交補(bǔ)，顯然：。l 定義（規(guī)范正交完備集）： 1）（完備性）； 2）（規(guī)范正交）。即正交集中每個(gè)元的范數(shù)均為1。l 定理：Hilbert空間存在規(guī)范正交完備集。l 定理：是Hilbert空間，是的正交子集。2正交投影Orthogonal Projection：l 定義（正交投影）：是Hilbert空間，若，使，則稱是在上的正交投影或投影，記為：。注：與的距離最小，指是中距最近的點(diǎn)。正交投影使均方誤差最小化，即用正交投影來近似，逼近的程度最佳。圖3-3 正交投影示意圖3. 廣義傅里葉展開：l 定義：設(shè)是Hilbert空間