第五屆卡西歐杯全國高中青年教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動教案-《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》

1、2010年第五屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評比活動精品教案2010年第五屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評選活動交流材料人教版全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）第二冊橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計云南省玉溪市第一中學(xué) 姚艷萍2010年第五屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評比活動精品教案橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo)1知識目標(biāo)：掌握橢圓的定義，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2能力目標(biāo)：通過引導(dǎo)學(xué)生親自動手嘗試畫橢圓，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的形成過程進(jìn)而歸納出橢圓的定義 , 培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、合作學(xué)習(xí)能力以及運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題的能力3情感目標(biāo)（1）通過橢圓定義的獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.（2）通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推

2、導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡意識并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡潔美”.（3）通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動與他人合作交流的意識.二、重點、難點重點：掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的基本思想難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡三教學(xué)方法：探究式教學(xué)法，即教師通過問題誘導(dǎo)啟發(fā)討論探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察歸納抽象總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力四教具準(zhǔn)備：多媒體課件和自制教具：呼啦圈，繪圖板、圖釘、細(xì)繩五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識橢圓材料1：對橢圓的感性認(rèn)識.通過演示課前準(zhǔn)備的生活中有關(guān)橢圓的實物和圖片，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識橢圓.材料2：“嫦娥一號”模擬軌道圖2

3、007年10月24日，我國第一顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號”發(fā)射成功 , 開始了舉世矚目的太空之旅，流傳了幾千年的飛天神話，變成了現(xiàn)實 ，這標(biāo)志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階，這是中國人的驕傲請問： “嫦娥一號” 繞地球飛行的運(yùn)行軌道是什么？（課件演示軌道圖）引入課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（設(shè)計意圖：利用多媒體，展示學(xué)生常見的橢圓形狀的物品，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識橢圓：通過“嫦娥一號”的軌道錄像，讓學(xué)生感受現(xiàn)實，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)愛國思想.）（二）動手實驗，親身體會1教師演示，引出研究思路教師將一圓形的呼啦圈朝一方向用力壓或拉，變成一橢圓形狀的呼啦圈，以說明圓和橢圓的密切關(guān)系，點明可以像學(xué)習(xí)圓一樣來學(xué)習(xí)

4、橢圓思考：在上一章圓的學(xué)習(xí)中我們知道：平面內(nèi)到一定點的距離為定長的點的軌跡是圓.那么，到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡又是什么呢？（設(shè)計意圖：對于生活中、數(shù)學(xué)中的圓，學(xué)生已經(jīng)有一定的認(rèn)識和研究，但對橢圓，學(xué)生只停留在直觀感受，基于它倆的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用上一章所學(xué)，來研究橢圓）2學(xué)生分組試驗(1)取一條細(xì)繩；(2)把細(xì)繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點、；(3)用鉛筆尖（）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動觀察畫出的圖形是什么？（教師巡視指導(dǎo)，展示學(xué)生成果）3.分析實驗，得出規(guī)律(1)在畫出一個橢圓的過程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動的？(2)在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？(3)

5、在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系？(4)改變繩子長度與兩定點距離的大小，軌跡又是什么？學(xué)生總結(jié)規(guī)律： 軌跡為橢圓； 軌跡為線段 ； 軌跡不存在（設(shè)計意圖：在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義，而是設(shè)計一個實驗，一來是為了給學(xué)生一個動手實驗的機(jī)會，讓學(xué)生體會橢圓上點的運(yùn)動規(guī)律；二是通過實踐思考，為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備）（三）總結(jié)歸納，形成概念定義：平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓（在歸納橢圓定義的過程中，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況，不斷引導(dǎo)他們逐步加深理解并完善橢圓的定義，在引導(dǎo)中突出體現(xiàn)“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.）問：

6、橢圓定義還可以用集合語言如何表示？.（設(shè)計意圖：通過學(xué)生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學(xué)生全程參與概念的探究過程，加深理解，提高概括能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力.）（四）合理建系，推導(dǎo)方程1.復(fù)習(xí)求曲線的方程的基本步驟：建系；設(shè)點；列式；化簡；（5）證明（可省略）（由學(xué)生回答，不正確的教師給予糾正）2.如何選取坐標(biāo)系？【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生可能會建系如下幾種情況：方案一：把F1、F2建在x軸上，以F1F2的中點為原點；方案二：把F1、F2建在x軸上，以F1為原點；方案三：把F1、F2建在x軸上，以F1F2與x軸的左交點為原點；方案四：把F1、F2建在y軸上，以F1F2的中點為原點；教師折橢圓，學(xué)

7、生觀察橢圓的幾何特征（對稱性），如何建系能使方程更簡潔？學(xué)生討論，經(jīng)過比較確定方案一.（設(shè)計意圖：積極鼓勵學(xué)生用不同建系方法，讓他們充分暴露自然思維，通過比較，得出最簡潔的方案，而不是被動地接受教材或老師強(qiáng)加給的方法）3推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程選取建系方案,讓學(xué)生動手，嘗試推導(dǎo).按方案一：以過、的直線為軸，線段的垂直平分或線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)，點為橢圓上任意一點，則 （稱此式為幾何條件）， 得（實現(xiàn)集合條件代數(shù)化），（想一想：下面怎樣化簡？）（）教師為突破難點，進(jìn)行引導(dǎo)設(shè)問：我們怎么化簡帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？化簡，得 （2）的引入由橢圓的定義可知，,讓點運(yùn)動到軸正

8、半軸上（如圖2），由學(xué)生觀察圖形直觀獲得，的幾何意義，進(jìn)而自然引進(jìn)，此時設(shè)，于是得， 兩邊同時除以，得到方程：（稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）（3）建立焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 要建立焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又不想重復(fù)上述繁瑣的化簡過程，如何做？方法1：按步驟列出方程，利用兩方程結(jié)構(gòu)的異同（結(jié)構(gòu)相同，只是字母，交換了位置），直接得到方程方法2：（視情況決定講與否(預(yù)設(shè))）借助于化歸思想，抓住圖1（前面方程推導(dǎo)時用過）與圖3的聯(lián)系(關(guān)于直線對稱)即可化未知為已知，將已知的焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為焦點在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需將圖1沿直線翻折即可轉(zhuǎn)化成圖3； 圖1 圖3 (4)教師應(yīng)用多媒體，

9、把其它建系得出的方程展示給學(xué)生，相比之下，其它的建系方式得到的方程不夠簡潔.（設(shè)計意圖：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的導(dǎo)出，先放手給學(xué)生嘗試，教師協(xié)從指導(dǎo)再展示學(xué)生結(jié)果；教師對照圖形，加以引導(dǎo)，讓學(xué)生明白方程中字母的幾何意義，對方程的理解有很大的作用；利用類比對稱，化歸的思想得出焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免重復(fù)的繁雜計算）4歸納概括，掌握特征（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式：它們都是二元二次方程，左邊是兩個分式的平方和，右邊是1；（2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù) , , 的關(guān)系：；（3）橢圓焦點的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定.（五）嘗試應(yīng)用，范例教學(xué)例1 下列哪些是橢圓的方程，如果是，判斷它的焦點在哪個坐標(biāo)軸上？并指明

10、、，寫出焦點坐標(biāo)注意：分母哪個大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上，反之亦然（設(shè)計意圖：進(jìn)一步鞏固對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式的掌握.）例2寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個焦點的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于10.變式一：將上題焦點改為、，結(jié)果如何？變式二：將上題改為兩個焦點的距離為8 ，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10 ，結(jié)果如何？（學(xué)生直接搶答）例3 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個焦點的坐標(biāo)分別是、，并且經(jīng)過點P（先和學(xué)生一起簡單分析條件中蘊(yùn)涵的信息，再由學(xué)生自己動手完成教師巡視，投影學(xué)生答案學(xué)生討論總結(jié)）解題思路1：先根據(jù)已知條件設(shè)出焦點在軸上的橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將橢圓上點的坐標(biāo)代入此方程，并結(jié)合、間的關(guān)系求出、的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(設(shè)計意圖：學(xué)會用待定系數(shù)法球橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.)解題思路2：利用橢圓定義（橢圓上的點到兩個焦點、的距離之和為常數(shù)2）求出值