電子技術(shù)基礎(chǔ)數(shù)字部分2

1、 2.1邏輯代數(shù)基本規(guī)則 2.2邏輯函數(shù)的化簡 2.3卡諾圖2.1邏輯代數(shù)基本規(guī)則邏輯函數(shù)表達(dá)式的書寫及基本運(yùn)算法則先做括號內(nèi)的邏輯運(yùn)算對某變量取“非”，可以不加括號例如：A + 5 C + D 不必寫成：G4 + B), (C + D)在表達(dá)式中，若即有“與”運(yùn)算，又有“或”運(yùn)算, 則按先“與”后“或”的原則，省去括號 例如：+可寫成：AB + CD 但(4 + B).(C + Q) 則不能省括號基本定律一加邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式結(jié)合律 (A+B)+C=A+(B+C)交換律 A+B=B+A分配律 A(B+C)=AB+AC (AB)C=A(BC) AB=BA A+BC=(A+B)(A+C)

2、A+0=A A+ 1 = 1 A 0 = 0 A- 1 =Ac=A (還原律)基本定律一乘基本定律非 A + A = A（重疊律）AA二A （重疊律） A+X= 1 （互補(bǔ)律）AK=O （互補(bǔ)律）邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式反演律（摩根定律）_ A B C 二 A+B+C+ 二AB C A+AB=A A(A+B)=A A+AB=A+B (A+B)(A+C)=A+BC其他彎恒等式_ AB+AC+BC=AB+AC AB+AC+BCD=AB+AC(若兩個乘積項(xiàng)中分別包含了A、A兩個 因子，而這兩項(xiàng)的其余因子組成第三 個乘積項(xiàng)時，則第三個乘積項(xiàng)可消去)(兩乘積項(xiàng)相加時，若一項(xiàng)取反后是另一項(xiàng)的因子，則此因

3、子多余，可消去)邏輯代數(shù)基本定律和恒等式的證明真值表-例：摩根定律的證明ABABA+BA BABA+ B00110+0 =110 0 =1101100+1=000 1 =1110011+0 =001 0 =1111001+1 =001 1 =00多項(xiàng)式摩根定律的證明 &+0 = AB + C = ABC O)C = (A+B) C = A+B+C依次類推，可以證明摩根定律對于任意項(xiàng) 都成立邏輯代數(shù)基本定律和恒等式的證明用其他更基本的定律證明吸收率： A+AB=A(1+B)=A-1=A A+AB=(A+A)(A+B)分配率A+BC=(A+B)(A+C)=A+B-恒等式： AB+AC+BC=AB+

4、AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1 +C)+AC(1 +B)=AB+AC邏輯代數(shù)的基本規(guī)則代入規(guī)則反演規(guī)則對偶規(guī)則代入規(guī)則在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)的某變量都用一個函數(shù)代替，則等式依然成立多變量摩根定律的證明：A+(B+C)=A-(B7C)A-B-CA-B-C=A+(B-C)=A+B+C反演規(guī)則觀察摩根定律 ABC- - = A+B+C+ A+B+C+ 二A B C 將邏輯函數(shù)L中的與換成或，或換成與；再將原變 量變換為非變量；并將1換成0，0換成1；那么 所得的邏輯函數(shù)式就是非函數(shù)L反演規(guī)則須注意兩點(diǎn)： 保持原來的運(yùn)算順序，即仍需遵守原式“先 括號、然后

5、乘、最后加的運(yùn)算順序。 對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變，即不屬 于單個變量上的反號應(yīng)保留不變。例：求L的非函數(shù)L = AB+CD + OL =(A + B)(C + D)1 = (A+ B)(C + D)反演規(guī)則例求L= A+ BC + D+K的非函數(shù)LL = A ( (B + C) (DE)反演規(guī)則摩根定律=反演規(guī)則AB = AB的補(bǔ)=入+ E對偶規(guī)則把L中的與換成或，或換成與，1換成0, 0換成 1,那么就得到L的對偶式L當(dāng)某個邏輯恒等式成立時，則其對偶式也成立仍需注意保持原式中先與后或的順序可通過證明對偶式相等來證明原式相等，因?yàn)橛行┣闆r下證明 對偶式相等更容易例：_A+AB=A+B_對

6、偶式：A(A+B)=AB例：A+BC=(A+B)(A+C)對偶式：A(B+C)=AB+AC15對偶規(guī)則證明對偶規(guī)則-設(shè)F,G為兩個邏輯函數(shù)，并有F=G _-對等式F=G兩邊分別求反，我們有：戸=石根據(jù)反演規(guī)則，在戸和X中，原函數(shù)中的原變量已改為反變量， 反變量改為了原變量；同時“與”換成了 “或”，“或”換成了 “與” ,1換成了0, 0換成了 1。-利用代入規(guī)則：對戸，廠中的新變量再以它們的反變量 代入（實(shí)際上恢復(fù)原F，G中的變量），得到F，, G，, 并且F，對偶規(guī)則證明舉例A+AB = A+BA(A + B) = ABA+AB = A+BA+AB = A (AB) =A (A+B)(1)

7、AZB = AB(2)A(A + B) = AB2.2邏輯函數(shù)化簡同或門電路: L=AB+ABLAB L=A*AB+B*AB A I丿(AB(A+B) AB-AB 叮=AB+AB)AB L=AB+ABAB由以上例子可知，對于一個特定的邏輯問 題，其真值表是唯一的，而邏輯表達(dá)式可以 有多種形式，實(shí)現(xiàn)其功能的電路也是多種多 樣。若兩個邏輯函數(shù)相等，F(xiàn)=G。則它們應(yīng)有 相同的真值表；反過來，若F和G的真值表相 同，則必有F=Go在相等的意義下，邏輯表達(dá)式和實(shí)現(xiàn)電路 可以是多種多樣，但邏輯功能完全相同。一個特定的邏輯問題實(shí)現(xiàn)的電路是多樣的可以通過函數(shù)表達(dá)式的變換避免使用某種器件而改用其他器件-例：某實(shí)

8、驗(yàn)室用兩個燈顯示三臺設(shè)備的故障情況，當(dāng)一 臺設(shè)備有故障時黃燈亮；當(dāng)兩臺設(shè)備同時有故障時紅燈 亮；當(dāng)三臺設(shè)備同時有故障時黃、紅兩燈都亮。設(shè)設(shè)備 有故障為邏輯1,無故障為邏輯0；燈亮為邏輯1,燈滅為 邏輯0。設(shè)計(jì)該邏輯電路，限用下列器件：2個異或門、3 個兩輸入與非門厶=ABC + ABC + ABC + ABC=A(BC + BC) + A(BC + BC) =A(B C) + A(B C)=4(BC)L2 = ABC + ABC + ABC + ABC = A(BC + BC) + BC =A(B C) + BC = C) 龐BC A22L1=黃燈L2=紅燈邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法邏輯函數(shù)的表達(dá)式

9、不是唯一的，可以有多種形式， 并且能互相轉(zhuǎn)換邏輯表達(dá)式越簡單，邏輯關(guān)系越明顯，也就可以用 越少的電子器件例： L=AB+B+AB兩個非門，兩個與門，一個三收入或門=AB+B(1+A)=AB+B=A+B _一個或門 L=ABC+BC+ACD=AC+BC與或：L=AC+CD與非一與非：L=ACCD或_與非：L=(A+C)-(C+D) 或非一或：l=Z3+c7d 或_與：L=(A+C)(C+D) 與非一與：L=AC CD或非一或非：L=(A+C)+(C7D) 與一或非：L=AC+CD邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式多以與或形式給 出，用以化簡與或函數(shù)比較方便與或表達(dá)式易于從真值表中直接寫出最簡與或表達(dá)式

10、可以方便變換為與非與非表達(dá)式最簡與或表達(dá)式的特點(diǎn)： 與項(xiàng)（乘積項(xiàng)）的個數(shù)最少 每個乘積項(xiàng)中變量的個數(shù)最少 有了最簡與或表達(dá)式后，通過公式變換可得其他 形式，但直接將與或變?yōu)槠渌问綍r，不一定是 最簡代數(shù)法化簡-運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡 并項(xiàng)法 吸收法 消去法（消因子法） 消項(xiàng)法 配項(xiàng)法卡諾圖化簡并項(xiàng)法：利用A+A=1例：- L=ABC+ABC=AB(C+C)=AB- L=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A(BC+BC+BC+BC) =A(B+B)=A代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)一吸收法吸收法：利用吸收率A+AB=A 例：- L=AB+ABCD(E+F)=AB- L=AB+ABC+ABD

11、+AB(C+D)=AB_ L=A+A- BC - (A+BC+D)+BC =(A+BC)+(A+BC)(A+BC+D) =A+BC代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)一消去法消去法：利用吸收率之A+AB=A+B例：- L=AB+AC+BC=AB+(A+B)C =AB+ABC =AB+C- L=A+ACD+ABC=A+A(CD+BC)=A+CD+BC代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)一消項(xiàng)法消項(xiàng)法：利用恒等式AB+AC+BC=AB+AC 例:一 l=ac+ab+b7c=AB+=AC+BC-L=ABCD+AE+BE+CDE =(AB)CD+(A+B)E+CDE =(AB)CD+ABE+(CD)E =ABCD+ABE代數(shù)法化簡邏輯函

12、數(shù)一配項(xiàng)法配項(xiàng)法：利用A+A=AI3A+A=1 例： L=AB+AB+BC+BC=AB+BC+AC L=ABC+ABC+ABC =(ABC+ABC)+(ABC+ABC) =AB+BCL = AC + BC + B 萬+ A(B + C)ABDE=AC+ 3萬 + C萬 +(4()+ ABDE=(込+ BC + B 萬 + C 萬 +4=A+)+包A + BC + B D 2.1.3 2.1.4 2.1.7 2.1.8習(xí)題2.3卡諾圖最小項(xiàng)在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的 乘積項(xiàng)，n變量均以原變量或反變量形式在 m申由現(xiàn)一次，宜僅岀現(xiàn)一次，則稱m為該 組變量的最小項(xiàng) n變量邏輯函數(shù)的最小

13、項(xiàng)共211個黔項(xiàng)只有一種情況才能使得它的邏輯值3變量最小項(xiàng)真值表（P46表221）ABCABCABCABCABCABCABCABCABC0 0 0100000000 0 1010000000 1 0001000000 1 1000100001 0 0000010001 0 1000001001 1 0000000101 1 100000001對于任意一個最小項(xiàng)，只有一組變量取值使得它的值為仁 而在變量取其他各組值時，該最小項(xiàng)的值都是0不同的最小項(xiàng)，使它的值為1的那一組變量取值也不同 對于變量的任意組取值，任意兩個最小項(xiàng)的乘積為0 對于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)之和為1具有相鄰性的兩個最小項(xiàng)之

14、和可以合并成一項(xiàng)并消去一個 因子若兩個最小項(xiàng)僅有一個因子不同，相鄰性：例:則稱此兩個最小項(xiàng)具有ABCABCABC + ABC = (A + A)BC = BC用rrij表示最小項(xiàng)，i為最小項(xiàng)編號，用十進(jìn)制表示 使最小項(xiàng)為1的變量取值所代表的十進(jìn)制數(shù)即為編取小項(xiàng)變量取值表不付有ABcABC000in。ABC001叫ABC010m2ABC011m3ABC100m4ABC101m5ABC110ABC111m7邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式任何一個邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組 最小項(xiàng)之和，稱為最小項(xiàng)表達(dá)式利用A+瓦=1的基本運(yùn)算關(guān)系，將邏輯函數(shù)中 的每一項(xiàng)都化成包含所有變量的項(xiàng)例：L(A, B, C) =

15、AB + AC = AB(C + C) + AC(B + B)=ABC + ABC + ABC + ABC =/n7+m6+m3+/7i jL = (AB + AB + C)AB = AB + AB + C + AB= AB + AB AB C =坐 + (A + B)(A + B)C = AB + ABC + ABC = AB(C + C) + ABC + ABC = ABC + ABC + ABC + ABC(3,5，6,7 )卡諾圖卡諾(Maurice Karnaugh) : Bell實(shí)驗(yàn)室通訊工程師 “The Map Method for Synthesis of Combinatio

16、nal Logic Circuits，”Trans. AIEE. pt I, 72(9):593-599, November 1953.將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá),上 l r rrt r i r、ernes omj卡諾圖： 式中的各最小項(xiàng)相應(yīng)地填入 一個特定的方格圖內(nèi)，并使 具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在 幾何位置上也相鄰排列，此 方格圖稱為卡諾圖。XA BA B%叫A BA B叫叫兩側(cè)標(biāo)注的0和1表示使對應(yīng)小格內(nèi)最小項(xiàng)為1的變 量取值，即最小項(xiàng)編號00 01 11 10用0池玲！ 3忍2ABCABCABCABC祖4T al al m sT T TE亍耙6ABCABC,4BCJBC為保證邏輯相鄰的最小項(xiàng)

17、在幾何位置上相鄰，不能 按二進(jìn)制數(shù)順序排列，而是格雷碼順序00WABCD嗨ABCDABCDABCD網(wǎng)ABCDABCDABCD沁ABCDmnABCDm13 ABCDm15 ABCD酬14ABCD傀ABCD蝕ABCD觀11ABCD觀10ABCD01100011011110其實(shí)用0表示反變量，1表示原變量，即可對應(yīng)填入圖中女DABCD對應(yīng)0000,即ABCD對應(yīng)1111,即卩5循環(huán)相鄰性- (1)直觀相鄰性，只要 小方格在幾何位置上相 鄰(不管上下左右)， 它代表的最小項(xiàng)在邏輯 上一定是相鄰的。- (2)對邊相鄰性，即與 中心軸對稱的左右兩邊 和上下兩邊的小方格也 具有相鄰性。011110000AE

18、 CDVABCDAE：CDmiBCL014*ABCDABCO一顯BCD11喘12ABCD穡13ABCD 、 叨15ABCD聊14ABCD10傀ABCD叨9ABCD旳1ABCQ1 10 |用卡諾圖表示邏輯函數(shù)卡諾圖：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中的 各最小項(xiàng)相應(yīng)地填入一個特定的方格圖內(nèi)， 并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置 上也相鄰排列，此方格圖稱為卡諾圖邏輯相鄰性：若兩個最小項(xiàng)僅有一個因子不同, 則禰d倆個最小項(xiàng)具肴爭鄰徃 邏輯相鄰：ABCDABCD 邏輯不相鄰：ABCD-ABCD幾何位置相鄰：上下左右?guī)缀挝恢孟噜彛约?對邊相鄰用卡諾圖表示邏輯函數(shù)把邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形 式，在卡諾圖上與

19、這些最小項(xiàng)對 應(yīng)的位置上填1,其余位置填0任何一個邏輯函數(shù)都等于它的卡 諾圖中填入1的那些最小項(xiàng)之和例：L = ABCD + ABD + ACD + AB00011011=ABCD + AB(C + C)D + A(B + B)CD + AB(C + C)(D + D)=ABCD + ABCD + ABCD + ABCD +ABCD + ABCD + ABCD + A 萬C 萬 + ABC 萬/表達(dá)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，但是“與一或表達(dá)式”,可直接 填入47=ABL=ACD+ABD+AB+BCD卡諾圖的化簡原理I. 最小項(xiàng)的性質(zhì)II. A+A=A例：ABCD+ABCD=ACDABCD+ABCD=

20、ABDABCD+ABCD+ABCD+ABCD =AB(CD+CD)+AB(CD+CD) =ABC+ABC卡諾圖化簡的步驟 將邏輯函數(shù)寫成最小式表達(dá)式 按最小項(xiàng)表達(dá)式填卡諾圖 合并最小項(xiàng)，即將相鄰的1方格圈成一組，每組含2個方 格，對應(yīng)每個包圍圈寫成一個新的乘積項(xiàng)- 2個相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去1個取值不同的變量而合并為I項(xiàng)- 4個相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去2個取值不同的變量而合并為I項(xiàng)- 8個相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去3個取值不同的變量而合并為I項(xiàng)- 總之，勿個相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去n個取值不同的變量而合 并為1項(xiàng)，僅含公共因子 將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項(xiàng)相加函數(shù)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，但是“

21、與一或表達(dá)式”，步驟可以省略 有時也可由真值表直接填卡諾圖，步驟合為一步ABCLCOO00 0 100 1 00C 111I 0001 0 111 1 01I 111 00 01 11 10L=AC+AB+BC卡諾圖化簡的原則包圍圈內(nèi)的方格數(shù)必定是2個相鄰方格包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四 角相鄰?fù)环礁窨梢员徊煌陌鼑χ貜?fù)包圍，但 新增包圍圈中一定要有新的方格，否則該包 5）圈多余包圍圈內(nèi)的方格數(shù)要盡可能多，包圍圈的數(shù) 目要盡可能少ABCDLABcDL0000110001000101001000100101010011010110010011100101011110100110011100

22、0111011111與或表達(dá)式：L = CD + ABD + ABC + ABCD與非與非表達(dá)式：L = C 萬 + A 萬萬 + ABC + ABCDCI AB3 000111100010000111001110010100=0萬 ABD ABC ABCD當(dāng)卡諾圖中小方格被1占去卡諾圖包0法原理(1)依據(jù)：-包1法化簡成立-反演法則L = AB01001100卡諾圖包0法原理(2)的卡諾圖L = A + B反演法(摩根定律)L = A + B = AB卡諾圖的多種拓?fù)銪CD0000010100110101111011000111111111P53 例224L=M0+M2+M5+M7+M10+

23、M13+M15化簡后LBCD + BC萬+ BD二方萬+ BD具有無關(guān)項(xiàng)（任意項(xiàng)和約束項(xiàng)）的卡諾圖化簡任意項(xiàng)對應(yīng)于變量的某些取值下，函數(shù)值可以是 任意的，并不影響電路的功能任意項(xiàng)例：設(shè)計(jì)一個邏輯電路, 能夠判斷1位十進(jìn)制是 奇數(shù)還是偶數(shù)，當(dāng)十進(jìn) 制為奇數(shù)時，電路輸出 為1,當(dāng)十進(jìn)制為偶數(shù) 時，輸出為0對應(yīng)十進(jìn)制數(shù)輸入變量輸出LABCD000000100011200100300111401000501011601100701111810000910011廠1010X1011X任意項(xiàng)V1100X1101X1110X1111X60-約束項(xiàng)例：有三個變量A、B、C,它們分別表不一 臺電動機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)

24、和停止命令，A=1表 示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。因?yàn)?電動機(jī)任何時候只能執(zhí)行其中的一個命令， 所以不允許兩個變量同時為1,即A、B、C的 取隹只能是001、010或100,的一種，通常 可寫成：ABC + ABC + ABC + ABC + ABC = 0無關(guān)項(xiàng)或任意項(xiàng)、約束項(xiàng)任意項(xiàng)：對應(yīng)于變量的某些取值下，函數(shù)值 可以是任意的，并不影響電路的功能約束項(xiàng)：輸入變量的取值不是任意的，限制 某些輸入變量的取值不能出現(xiàn)，即他們對應(yīng) 的最小項(xiàng)恒等于0,這些恒等于0的最小項(xiàng)稱 為約束項(xiàng)把約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱為邏輯函數(shù)式中的無 關(guān)項(xiàng)無關(guān)項(xiàng)在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用因?yàn)檩斎胱兞渴谷我忭?xiàng)為1時，函數(shù)值

25、是0還是1無 所謂，所以可以把任意項(xiàng)寫入邏輯函數(shù)式，也可以 不寫同樣，既可把約束項(xiàng)寫進(jìn)函數(shù)式，也可以把它從函 數(shù)式中刪掉，因?yàn)锳+O=AL + (ABC + ABC + ABC + ABC + ABC) = L無關(guān)項(xiàng)在卡諾圖中對應(yīng)位置既可填1,也可填0。因 此在圖中填X,表示1, 0均可，究竟為1為0,應(yīng)以 得到的相鄰最小項(xiàng)矩形組合最大，而矩形組合數(shù)目 最少為原則任意項(xiàng)在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用對應(yīng)十進(jìn)制數(shù)輸入變量A B C D輸出L00 0 0 0010 0 0 1120 0 10030 0 11140 10 0050 10 1160 110070 1111810 0 0091 0 0 1110 10X10 11X任意項(xiàng)110 0X110 1X1110X1111XL = AD + BCDL = D約束項(xiàng)在化簡邏輯