高中數(shù)學二項分布及其應用知識點+練習

1、 二項分布及其應用知識框架條件概率事件的獨立性獨立重復實驗二項分布高考要求二項分布及其應用要求層次重難點條件概率A了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題事件的獨立性An次獨立重復試驗與二項分布B例題精講板塊一：條件概率（一） 知識內(nèi)容條件概率對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示把由事件與的交（或積），記做（或）（二）典例分析： 【例1】 在10個球中有6個紅球，4個白球（各不相同），不放回的依次摸出2個球，在第1次摸出紅球的條件下，第2次也摸出紅球的概率是（ ）A B C D【例

2、2】 某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率是，刮風的概率是，既刮風又下雨的概率是，設“刮風”，“下雨”，求【例3】 設某種動物活到歲以上的概率為，活到歲以上的概率為，求現(xiàn)齡為歲的這種動物能活到歲以上的概率【例4】 把一枚硬幣拋擲兩次，事件“第一次出現(xiàn)正面”，事件“第二次出現(xiàn)反面”，則【例5】 拋擲一顆骰子兩次，在第一次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的條件下，則第二次擲得向上一面點數(shù)也是偶數(shù)的概率為 【例6】 設某批產(chǎn)品有是廢品，而合格品中的是一等品，任取一件產(chǎn)品是一等品的概率是【例7】 擲兩枚均勻的骰子，記“點數(shù)不同”，“至少有一個是點”，求與【例8】 甲、乙兩班共有70名同學，其中女同學40名設甲班有

3、30名同學，而女生15名，問在碰到甲班同學時，正好碰到一名女同學的概率?【例9】 從個整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的數(shù)是不大于的數(shù)，求它是2或3的倍數(shù)的概率【例10】 袋中裝有個白球，個黑球，一次取出個球，發(fā)現(xiàn)都是同一種顏色的，問這種顏色是黑色的概率是多少?【例11】 一袋中裝有10個球，其中3個黑球，7個白球，先后兩次從袋中各取一球（不放回）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率；已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的是白球的概率【例12】 有兩箱同類零件，第一箱內(nèi)裝50件，其中10件是一等品；第二箱內(nèi)裝30件，其中18件是一

4、等品現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機取出兩個零件（取出的零件均不放回），試求：先取出的零件是一等品的概率；在先取出的零件是一等品的條件下后取出的仍然是一等品的概率（保留三位有效數(shù)字）【例13】 設有來自三個地區(qū)的各名、名和名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份和5份隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份，求先抽到的一份是女生表的概率己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生的概率板塊二：事件的獨立性（一） 知識內(nèi)容事件的獨立性如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，即，這時，我們稱兩個事件，相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件如果事件，相互獨立，那么這個事件都發(fā)

5、生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立（二）典例分析： 【例14】 判斷下列各對事件是否是相互獨立事件容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出個，取出的是白球”與“從剩下的個球中任意取出個，取出的還是白球”一筐內(nèi)有6個蘋果和3個梨，“從中任意取出個，取出的是蘋果”與“把取出的蘋果放回筐子，再從筐子中任意取出個，取出的是梨”甲組名男生、名女生；乙組名男生、名女生，今從甲、乙兩組中各選名同學參加演講比賽，“從甲組中選出名男生”與“從乙組中選出1名女生”【例15】 從甲口袋摸出一個紅球的概率是，從乙口袋中摸出一個紅球的概率是，則是

6、（ ）A個球不都是紅球的概率 B個球都是紅球的概率C至少有一個紅球的概率 D個球中恰好有個紅球的概率【例16】 獵人在距離處射擊一只野兔，其命中率為如果第一次射擊未命中，則獵人進行第二次射擊，但距離為；如果第二次又未命中，則獵人進行第三次射擊，但在射擊瞬間距離野兔為已知獵人命中率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率【例17】 如圖，開關電路中，某段時間內(nèi)，開關開或關的概率均為，且是相互獨立的，求這段時間內(nèi)燈亮的概率【例18】 甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概

7、率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率【例19】 椐統(tǒng)計，某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)為的概率分別為， 求該企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴不超過次的概率； 假設一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率【例20】 某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、，且各輪問題能否正確回答互不影響 求該選手進入第四輪才被淘汰的概率； 求該選手至多進入第三輪考核的概率【例21】 甲、乙二人進行一次圍

8、棋比賽，約定先勝局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束假設在一局中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立已知前局中，甲、乙各勝局 求再賽局結束這次比賽的概率； 求甲獲得這次比賽勝利的概率【例22】 紡織廠某車間內(nèi)有三臺機器，這三臺機器在一天內(nèi)不需工人維護的概率：第一臺為，第二臺為，第三臺為，問一天內(nèi)： 臺機器都要維護的概率是多少？ 其中恰有一臺要維護的概率是多少？ 至少一臺需要維護的概率是多少？【例23】 為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分為基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程三類這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的，現(xiàn)有名工人獨立地從中任選一個項目參與建設求： 他們選擇的

9、項目所屬類別互不相同的概率； 至少有人選擇的項目屬于民生工程的概率【例24】 甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：兩個人都譯出密碼的概率；兩個人都譯不出密碼的概率；恰有個人譯出密碼的概率；至多個人譯出密碼的概率；至少個人譯出密碼的概率【例25】 從位同學（其中女，男）中，隨機選出位參加測驗，每位女同學能通過測驗的概率均為，每位男同學能通過測驗的概率均為，試求：選出的3位同學中至少有一位男同學的概率；10位同學中的女同學甲和乙及男同學丙同時被抽到，且三人中恰有二人通過測驗的概率【例26】 甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未

10、命中的概率為求乙投球的命中率；求甲投球2次，至少命中1次的概率；若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率【例27】 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個設有紅綠燈的路口，每個信號燈彼此獨立工作，且紅綠燈信號顯示時間相等以表示該汽車首次遇到紅燈時已通過的路口個數(shù)，求的分布列以及該汽車首次遇到紅燈時至少通過兩個路口的概率【例28】 甲、乙二射擊運動員分別對一目標射擊次，甲射中的概率為，乙射中的概率為，求： 人都射中的概率？ 人中有人射中的概率？ 人至少有1人射中的概率？人至多有人射中的概率？【例29】 （07福建）甲、乙兩名跳高運動員一次試跳米高度成功的概率分別是，且每次試跳成功與否相互之間沒有

11、影響，求：甲試跳三次，第三次才成功的概率；甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率【例30】 、兩籃球隊進行比賽，規(guī)定若一隊勝場則此隊獲勝且比賽結束（七局四勝制），、兩隊在每場比賽中獲勝的概率均為，為比賽需要的場數(shù)，求的分布列及比賽至少要進行6場的概率【例31】 已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直

12、到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗求依方案甲、乙分別所需化驗次數(shù)的分布列以及方案甲所需化驗次數(shù)不少于方案乙所需化驗次數(shù)的概率【例32】 為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為P）和所需費用如下表：預防措施甲乙丙丁P費用（萬元）90603010預防方案可單獨采用一種預防措施或聯(lián)合采用幾種預防措施，在總費用不超過120萬元的前提下，請確定一個預防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大【例33】 某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試

13、通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響 分別求該應聘者用方案一和方案二時考試通過的概率； 試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大?。ㄕf明理由）板塊三：獨立重復試驗與二項分布（一） 知識內(nèi)容1獨立重復試驗如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結果及，并且事件發(fā)生的概率相同在相同的條件下，重復地做次試驗，各次試驗的結果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)榇为毩⒅貜驮囼灤为毩⒅貜驮囼炛校录『冒l(fā)生次的概率為2二項分布若將事件發(fā)生的次數(shù)設為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復試驗中，事件恰好

14、發(fā)生次的概率是，其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二項展開式各對應項的值，所以稱這樣的離散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作（二）典例分析： 【例1】 某人參加一次考試，道題中解對道則為及格，已知他的解題正確率為，則他能及格的概率為_（保留到小數(shù)點后兩位小數(shù)）【例2】 某籃球運動員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進3個球的概率 （用數(shù)值表示）【例3】 接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為，現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為 （精確到）【例4】 甲乙兩人進行圍棋比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為，則甲以31

15、的比分獲勝的概率為（ ）A B C D【例5】 一臺型號的自動機床在一小時內(nèi)不需要人照看的概為，有四臺這種型號的自動機床各自獨立工作，則在一小時內(nèi)至多有臺機床需要工人照看的概率是（ ）A B C D 【例6】 某商場經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用一次性付款的概率是，經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場獲得利潤元；若顧客采用分期付款，商場獲得利潤元 求位購買該商品的顧客中至少有位采用一次性付款的概率； 求位位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過元的概率【例7】 某萬國家具城進行促銷活動，促銷方案是：顧客每消費元，便可獲得獎券一張，每張獎券中獎的

16、概率為，若中獎，則家具城返還顧客現(xiàn)金元某顧客消費了元，得到3張獎券求家具城恰好返還該顧客現(xiàn)金元的概率；求家具城至少返還該顧客現(xiàn)金元的概率【例8】 某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響求移栽的4株大樹中：至少有1株成活的概率；兩種大樹各成活1株的概率【例9】 一個口袋中裝有個紅球（且）和個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球顏色不同則為中獎試用表示一次摸獎中獎的概率；若，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率；記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為當取多少時，最大？【例10】 已知隨機變量服從二項分布，則等于

17、【例11】 已知隨機變量服從二項分布，則等于（ ）A B C D【例12】 從一批由9件正品、3件次品組成的產(chǎn)品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到兩次次品的概率（結果保留位有效數(shù)字）【例13】 袋子和中裝有若干個均勻的紅球和白球，從中摸出一個紅球的概率是，從中摸出一個紅球的概率為從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止求恰好摸5次停止的概率；記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布若兩個袋子中的球數(shù)之比為，將中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求的值【例14】 設在4次獨立重復試驗中，事件發(fā)生的概率相同，若已知事件至少發(fā)生一次的概率等于，求事件在一

18、次試驗中發(fā)生的概率【例15】 我艦用魚雷打擊來犯的敵艦，至少有枚魚雷擊中敵艦時，敵艦才被擊沉如果每枚魚雷的命中率都是，當我艦上的個魚雷發(fā)射器同是向敵艦各發(fā)射枚魚雷后，求敵艦被擊沉的概率（結果保留位有效數(shù)字）【例16】 某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中的任意連續(xù)取出2件，求次品數(shù)的概率分布列及至少有一件次品的概率【例17】 某公司擬資助三位大學生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請兩位專家，獨立地對每位大學生的創(chuàng)業(yè)方案進行評審假設評審結果為“支持”或“不支持”的概率都是若某人獲得兩個“支持”，則給予萬元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個“支持”，則給予萬元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助求： 該公司的資

19、助總額為零的概率； 該公司的資助總額超過萬元的概率【例18】 射擊運動員李強射擊一次擊中目標的概率是，他射擊次，恰好次擊中目標的概率是多少？【例19】 設飛機有兩個發(fā)動機，飛機有四個發(fā)動機，如有半數(shù)或半數(shù)以上的發(fā)動機沒有故障，就能夠安全飛行，現(xiàn)設各個發(fā)動機發(fā)生故障的概率是的函數(shù)，其中為發(fā)動機啟動后所經(jīng)歷的時間，為正的常數(shù)，試討論飛機與飛機哪一個安全？（這里不考慮其它故障）【例20】 假設飛機的每一臺發(fā)動機在飛行中的故障率都是，且各發(fā)動機互不影響如果至少的發(fā)動機能正常運行，飛機就可以順利地飛行問對于多大的而言，四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機更安全？【例21】 一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中

20、有6個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是設為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列；設為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列；求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率【例22】 一個質地不均勻的硬幣拋擲次，正面向上恰為次的可能性不為，而且與正面向上恰為次的概率相同令既約分數(shù)為硬幣在次拋擲中有次正面向上的概率，求【例23】 某氣象站天氣預報的準確率為，計算（結果保留到小數(shù)點后面第2位）5次預報中恰有次準確的概率；次預報中至少有次準確的概率；5次預報中恰有次準確，且其中第次預報準確的概率；【例24】 某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第層可以?？咳粼撾娞菰诘?/p>

21、層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，求至少有兩位乘客在20層下的概率【例25】 10個球中有一個紅球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第次才取得次紅球的概率【例26】 某車間為保證設備正常工作，要配備適量的維修工設各臺設備發(fā)生的故障是相互獨立的，且每臺設備發(fā)生故障的概率都是試求：若由一個人負責維修20臺，求設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率；若由3個人共同負責維修80臺設備，求設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率，并進行比較說明哪種效率高【例27】 是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效若在一個

22、試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為觀察3個試驗組，求至少有1個甲類組的概率（結果保留四位有效數(shù)字）【例28】 已知甲投籃的命中率是，乙投籃的命中率是，兩人每次投籃都不受影響，求投籃3次甲勝乙的概率（保留兩位有效數(shù)字）【變式】 若甲、乙投籃的命中率都是，求投籃次甲勝乙的概率（）【例29】 省工商局于某年3月份，對全省流通領域的飲料進行了質量監(jiān)督抽查，結果顯示，某種剛進入市場的飲料的合格率為，現(xiàn)有甲，乙，丙人聚會，選用瓶飲料，并限定每人喝瓶，求：甲喝瓶合格的飲料的概率；甲，乙，丙人中只有人喝瓶不合格的飲料的概率

23、（精確到）【例30】 在一次考試中出了六道是非題，正確的記“”號，不正確的記“”號若某考生隨手記上六個符號，試求：全部是正確的概率；正確解答不少于4道的概率；至少答對道題的概率【例31】 某大學的校乒乓球隊與數(shù)學系乒乓球隊舉行對抗賽，校隊的實力比系隊強，當一個校隊隊員與系隊隊員比賽時，校隊隊員獲勝的概率為現(xiàn)在校、系雙方商量對抗賽的方式，提出了三種方案：雙方各出人；雙方各出人；雙方各出人三種方案中場次比賽中得勝人數(shù)多的一方為勝利問：對系隊來說，哪一種方案最有利？板塊四：二項分布的期望與方差（一） 知識內(nèi)容二項分布的均值與方差：若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，（二）典例分析： 【例32

24、】 一盒子內(nèi)裝有個乒乓球，其中個舊的，個新的，每次取一球，取后放回，取次，則取到新球的個數(shù)的期望值是【例33】 同時拋擲枚均勻硬幣次，設枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學期望是（ ）A B C D【例34】 已知，則與的值分別為（ ）A和 B和 C和 D和【例35】 某服務部門有個服務對象，每個服務對象是否需要服務是獨立的，若每個服務對象一天中需要服務的可能性是，則該部門一天中平均需要服務的對象個數(shù)是（ ）A B C D【例36】 已知隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，則它的期望_，方差_【例37】 已知隨機變量服從二項分布，且，則二項分布的參數(shù)，的值分別為_、_【例38】 一

25、個袋子里裝有大小相同的個紅球和個黃球，從中同時取出個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是_（用數(shù)字作答）【例39】 已知，求與【例40】 同時拋擲枚均勻硬幣次，設枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學期望是（ ）A B C D【例41】 甲、乙、丙人投籃，投進的概率分別是 現(xiàn)3人各投籃1次，求3人都沒有投進的概率； 用表示乙投籃3次的進球數(shù)，求隨機變量的概率分布及數(shù)學期望【例42】 拋擲兩個骰子，當至少有一個點或點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功 求一次試驗中成功的概率； 求在次試驗中成功次數(shù)的分布列及的數(shù)學期望與方差【例43】 某尋呼臺共有客戶人，若尋呼臺準備了份小禮品，邀請客戶在指定時間

26、來領取假設任一客戶去領獎的概率為問：尋呼臺能否向每一位顧客都發(fā)出獎邀請？若能使每一位領獎人都得到禮品，尋呼臺至少應準備多少禮品？【例44】 某批數(shù)量較大的商品的次品率是，從中任意地連續(xù)取出件，為所含次品的個數(shù)，求【例45】 某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有，參加過計算機培訓的有，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓的人數(shù)，求的分布和期望【例46】 設進入某商場的每一

27、位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的記表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布及期望【例47】 某班級有人，設一年天中，恰有班上的（）個人過生日的天數(shù)為，求的期望值以及至少有兩人過生日的天數(shù)的期望值【例48】 購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得元的賠償金假定在一年度內(nèi)有人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金元的概率為求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率；設保險公司開辦該項險種業(yè)務除賠償金外的成本為元，為保證盈利的期望不小于，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）【例49】 某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查（簡稱安檢）若安檢不合格，則必須進行整改若整改后復查仍不合格，則強行關閉設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是，整改后安檢合格的概率是，計算（結果精確到）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；平均有多少家煤礦必須整改；至少關閉一家煤礦的概率【例50】 設一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，機器發(fā)生故障時全天停止工作