《運籌學(xué)》復(fù)習(xí)參考資料

1、.第一部分 線性規(guī)劃問題的求解重要算法：圖解法、單純形迭代、大M法單純形迭代、對偶問題、表上作業(yè)法（找初始可行解：西北角法，最小元素法；最優(yōu)性檢驗：閉回路法，位勢法；）、目標(biāo)規(guī)劃：圖解法、整數(shù)規(guī)劃：分支定界法（次重點），匈牙利法（重點）、第二部分 動態(tài)規(guī)劃問題的求解重要算法：圖上標(biāo)號法第三部分 網(wǎng)絡(luò)分析問題的求解重要算法：破圈法、TP標(biāo)號法、尋求網(wǎng)絡(luò)最大流的標(biāo)號法第一部分 線性規(guī)劃問題的求解一、兩個變量的線性規(guī)劃問題的圖解法：概念準(zhǔn)備：定義：滿足所有約束條件的解為可行解；可行解的全體稱為可行（解）域。定義：達(dá)到目標(biāo)的可行解為最優(yōu)解。圖解法：圖解法采用直角坐標(biāo)求解：x1橫軸；x2豎軸。1、將約束

2、條件（取等號）用直線繪出；2、確定可行解域；3、繪出目標(biāo)函數(shù)的圖形（等值線），確定它向最優(yōu)解的移動方向；注：求極大值沿價值系數(shù)向量的正向移動；求極小值沿價值系數(shù)向量的反向移動。4、確定最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)值。參考例題：（只要求下面這些有唯一最優(yōu)解的類型）例1：某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品均需在A、B、C三種不同的設(shè)備上加工，每種產(chǎn)品在不同設(shè)備上加工所需的工時不同，這些產(chǎn)品銷售后所能獲得利潤以及這三種加工設(shè)備因各種條件限制所能使用的有效加工總時數(shù)如下表所示：品產(chǎn)耗消備設(shè) A B C利潤（萬元）甲乙3 5 99 5 37030有效總工時540 450 720問：該廠應(yīng)如何組織生產(chǎn)，即生產(chǎn)多少甲、

3、乙產(chǎn)品使得該廠的總利潤為最大？（此題也可用“單純形法”或化“對偶問題”用大M法求解）解：設(shè)x1、x2為生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量。 max z = 70x1+30x2 s.t. 、 可行解域為oabcd0，最優(yōu)解為b點。由方程組 解出x1=75，x2=15X*=（75，15）Tmax z =Z*= 7075+3015=5700例2：用圖解法求解 max z = 6x1+4x2 s.t. 、 可行解域為oabcd0，最優(yōu)解為b點。由方程組 解出x1=2，x2=6X*=（2，6）Tmax z = 62+46=36例3：用圖解法求解 min z =3x1+x2s.t. 、解：可行解域為bcdefb，最優(yōu)解

4、為b點。由方程組 解出x1=4，x2=X*=（4，）Tmin z =34+=11二、標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問題的單純形解法：一般思路：1、用簡單易行的方法獲得初始基本可行解；2、對上述解進(jìn)行檢驗，檢驗其是否為最優(yōu)解，若是，停止迭代，否則轉(zhuǎn)入3；3、根據(jù)L規(guī)則確定改進(jìn)解的方向；4、根據(jù)可能改進(jìn)的方向進(jìn)行迭代得到新的解；5、根據(jù)檢驗規(guī)則對新解進(jìn)行檢驗，若是最優(yōu)解，則停止迭代，否則轉(zhuǎn)入3，直至最優(yōu)解。具體做法（可化歸標(biāo)準(zhǔn)型的情況）：設(shè)已知max z = c1x1+ c2x2+ cnxns.t.對第i個方程加入松弛變量xn+i，i =1，2，m，得到列表計算，格式、算法如下：CBXBbc1c2cn+mLx1x

5、2xn+mcn+1xn+1b1a11a12a1 n+mc n+2xn+2b2a21a22a2 n++mxn+mbnam1am2am n+mz1z2zn+m12n+m注： zj =cn+1 a1j+ cn+2 a2j + cn+m amj=，（j=1，2，n+m）j =cjzj ,當(dāng)j 0時，當(dāng)前解最優(yōu)。注：由maxj確定所對應(yīng)的行的變量為“入基變量”；由L=確定所對應(yīng)的行的變量為“出基變量”，行、列交叉處為主元素，迭代時要求將主元素變?yōu)?，此列其余元素變?yōu)?。例1：用單純形法求解（本題即是本資料P2“圖解法”例1的單純形解法；也可化“對偶問題”求解）max z =70x1+30x2s.

6、t.解：加入松弛變量x3，x4，x5，得到等效的標(biāo)準(zhǔn)模型：max z =70x1+30x2+0 x3+0 x4+0 x5s.t.列表計算如下：CBXBb7030000Lx1x2x3x4x50x354039100540/3 =1800x445055010450/5 =900x5720（9）3001720/9 =800000070300000x33000810- 1/3300/8 =37.50x4500（10/3）01 - 5/950/10/3 =1570x1801 1/300 1/980/1/3 =2407070/30070/9020/30070/90x318000112/5130x215010

7、 3/10- 1/670x175100- 1/10 1/6570070300220/3000-220/3X*=（75，15，180，0，0）Tmax z =7075+3015=5700例2：用單純形法求解max z =7x1+12x2s.t.解：加入松弛變量x3，x4，x5，得到等效的標(biāo)準(zhǔn)模型：max z =7x1+12x2+0 x3+0 x4+0 x5s.t.列表計算如下：CBXBb712000Lx1x2x3x4x50x336094100360/4 =900x420045010200/5 =400x53003（10）001300/10 =30000007120000x324078/10010

8、- 2/5240/78/10 =2400/780x450（5/2）001- 1/250/5/2 =2012x2303/10100 1/1030/3/10 =10018/512006/517/50006/50x38400178/2529/257x1201002/5- 1/512x224010 3/254/28428712034/2511/3500034/2511/35X*=（20，24，84，0，0）Tmax z =720+1224=428三、非標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問題的解法：1、一般地，對于約束條件組：若為“”，則加松弛變量，使方程成為“”；若為“”，則減松弛變量，使方程成為“”。我們在前面標(biāo)準(zhǔn)型中

9、是規(guī)定目標(biāo)函數(shù)求極大值。如果在實際問題中遇到的是求極小值，則為非標(biāo)準(zhǔn)型。可作如下處理：由目標(biāo)函數(shù)min z=變成等價的目標(biāo)函數(shù)max（z）=令z=z/，min z=max z/2、等式約束大M法：通過加人工變量的方法，構(gòu)造人造基，從而產(chǎn)生初始可行基。人工變量的價值系數(shù)為M，M是很大的正數(shù)，從原理上理解又稱為“懲罰系數(shù)”。（課本P29）類型一：目標(biāo)函數(shù)仍為max z，約束條件組與。例1：max z =3x1+5x2s.t.解：加入松弛變量x3，x4，得到等效的標(biāo)準(zhǔn)模型：max z =3x1+5x2s.t.其中第三個約束條件雖然是等式，但因無初始解，所以增加一個人工變量x5，得到： max z =

10、3x1+5x2Mx5s.t. 單純形表求解過程如下：CBXBb3500MLx1x2x3x4x50x34（1）01004/1 =40x41202010Mx5183200118/3 =63M2M00M3M352M0003x14101000x4120201012/2 =6Mx560（2）3016/2 =332M33M0M0533M003x14101004/1 =40x4600（3）116/3 =25x23013/201/23/(2/3) =9/2359/205/2009/20M5/2305x121001/31/3x320011/31/3x260101/20363503/210003/2M1X*=（2

11、，6，2，0）Tmax z =32+56=36類型二：目標(biāo)函數(shù)min z，約束條件組與。例2：用單純形法求解min z =4x1+3x2s.t.解：減去松弛變量x3，x4，并化為等效的標(biāo)準(zhǔn)模型：max z/ =4x13x2s.t.增加人工變量x5、x6，得到：max z/ =4x13x2Mx5Mx6s.t單純形表求解過程如下：CBXBb400MMLx1x2x3x4x5x6Mx5162（4）101016/4=4Mx61232010112/2=65M6MMMMM5M46M3MM003x241/211/401/404/1/2=8Mx64（2）01/211/214/2=22M3/233/4M/2MM/

12、23/4M2M5/20M/23/4M3/43M/203x23013/81/43/81/44x12101/41/21/41/217431/85/41/85/4001/85/4M1/8M5/4X*=（2，3，0，0）Tmin z =max z/ =（17）=17四、對偶問題的解法：什么是對偶問題？1、在資源一定的條件下，作出最大的貢獻(xiàn)；2、完成給定的工作，所消耗的資源最少。引例（與本資料P2例1 “圖解法”、P7例1 “單純形法”同）：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這些產(chǎn)品均需在A、B、C三種不同的設(shè)備上加工，每種產(chǎn)品在不同設(shè)備上加工時需要不同的工時，這些產(chǎn)品售后所能獲得的利潤值以及這三種加工設(shè)備因各

13、種條件下所能使用的有效總工時數(shù)如下表：品產(chǎn)耗消備設(shè) A B C利潤（萬元）甲乙3 5 99 5 37030有效總工時540 450 720問：該廠應(yīng)如何組織生產(chǎn)，即生產(chǎn)多少甲、乙產(chǎn)品使得該廠的總利潤為最大？解：原問題設(shè)x1、x2為生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量。max z = 70x1+30x2s.t.將這個原問題化為它的對偶問題設(shè)y1、y2、y2分別為設(shè)備A、B、C單位工時數(shù)的加工費。min w = 540y1+450y2+720y3s.t.用大M法，先化為等效的標(biāo)準(zhǔn)模型：max w/ =540y1450y2720y3s.t.增加人工變量y6、y7，得到：max z/ =540y1450y2720y3

14、My6My7s.t大M法單純形表求解過程如下：CBXBb54045072000MMLy1y2y3y4y5y6y7My670359101070/3My730（9）53010130/9=10/312M10M12MMMMM12M54010M45012M720MM00My660010/3（8）11/311/360/8=2.5540y110/315/91/301/901/910/3/1/3=10-300+10/3M-8M180MM/3+60MM/3600-150+10/3M8M-540MM/3600M/3+60720y315/205/1211/81/241/81/2415/2/5/12=18540y15

15、/61（5/12）01/241/81/241/85/6/5/12=2540572720135/2475/12135/275/201250135/2475/12135/2M75/2M720450y320/31011/61/61/61/6y2212/5101/103/101/103/1057003604507207515751518000751575M15M該對偶問題的最優(yōu)解是y*=（0，2，0，0）T最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值min w =（5700）=5700五、運輸規(guī)劃問題：運輸規(guī)劃問題的特殊解法“表上作業(yè)法”解題步驟：1、找出初始調(diào)運方案。即在(mn)產(chǎn)銷平衡表上給出m+n-1個數(shù)字格。（最小元素法）

16、2、（對空格）求檢驗數(shù)。判別是否達(dá)到最優(yōu)解。如已是最優(yōu)解，則停止計算，否則轉(zhuǎn)到下一步。（閉回路法）3、對方案進(jìn)行改善，找出新的調(diào)運方案。（根據(jù)檢驗結(jié)果選擇入基變量，用表上閉回路法調(diào)整即迭代計算，得新的基本可行解）4、重復(fù)2、3，再檢驗、再迭代，直到求得最優(yōu)調(diào)運方案。類型一：供求平衡的運輸規(guī)劃問題（又稱“供需平衡”、“產(chǎn)銷平衡”）引例：某鋼鐵公司有三個鐵礦和四個煉鐵廠，鐵礦的年產(chǎn)礦石量分別為100萬噸、80萬噸和50萬噸，煉鐵廠年需礦石量分別為50萬噸、70萬噸、80萬噸和30萬噸，這三個鐵礦與四個煉鐵廠的距離如下：礦鐵廠鐵離距煉 B1 B2 B3 B4A1A2A315 20 3 3070 8

17、14 2012 3 20 15問：該公司應(yīng)如何組織運輸，既滿足各煉鐵廠需要，又使總的運輸費用為最?。ò磭?公里計）？解：用“表上作業(yè)法”求解。1 用最低費用法（最小元素法）求此問題的初始基礎(chǔ)可行解：地產(chǎn)用費地銷B1B2B3B4產(chǎn)量SiA1152067330651002080A270814442080302030A312533203325105050銷量dj50708030 230230初始方案：B2203030B1B3A22080B1B3A1B250A3Z=1520+380+7030+820+2030+350=3550（噸.公里）2 的初始可行解進(jìn)行迭代（表上閉回路法），求最優(yōu)解：地產(chǎn)用費地銷

18、B1B2B3B4產(chǎn)量SiA1152014330121002080A27053814920805030A312320202510503020銷量dj50708030 230230用表上閉回路法調(diào)整后，從上表可看出，所有檢驗數(shù)=0，已得最優(yōu)解。最優(yōu)方案：3020B1B2A35030B2B4A22080B1B3A1Z=1520+380+850+2030+1230+320=1960（噸.公里）解法分析：如何求檢驗數(shù)并由此確定入基變量？有數(shù)字的空格稱為“基格”、打的空格稱為“空格”，標(biāo)號為偶數(shù)的頂點稱為偶點、標(biāo)號為奇數(shù)的頂點稱為奇點，出發(fā)點算0故為偶點。找出所有空格的閉回路后計算它們的檢驗數(shù)，必須0，才

19、得到最優(yōu)解。否則，應(yīng)選所有中正的最大者對應(yīng)的變量xj為入基變量進(jìn)行迭代（調(diào)整）。檢驗后調(diào)整運輸方案的辦法是：在空格的閉回路中所有的偶點均加上奇點中的最小運量，所有的奇點均減去奇點中的最小運量。重復(fù)以上兩步，再檢驗、再調(diào)整，直到求得最優(yōu)運輸方案。求下面運輸問題的最小值解：12341311310721923437410593656解：由最小元素法得到初始解：v1=2v2=9v3=3v4=101934u1=01311310743u2=-121923431u3=-53741059633656則：，最小值為-6，非基變量為，閉回路，最大調(diào)整量為1，得新解：，重新計算位勢及影響系數(shù)，得下表：v1=8v2=

20、9v3=3v4=101234u1=01311310752u2=-721923431u3=-53741059633656，最小值為-5，非基變量為，閉回路，最大調(diào)整為2，得新解：重新計算位勢及影響系數(shù)，得下表：v1=3v2=4v3=3v4=51234u1=01311310725u2=-221923413u3=03741059633656，此時，故當(dāng)前解為最優(yōu)解。最優(yōu)解值為：。六、目標(biāo)規(guī)劃問題已知目標(biāo)規(guī)劃問題min z= p1 d1- + p2d2- + p3（5d3- + 3d4- ） + p4 d1+x1 +2x2 + d1- - d1+ =6x1 +2x2 + d2- - d2+ =9x1

21、-2x2 + d3- - d3+ =4x2 + d4- - d4+ =2x1 ，x20，di- , di+0 (i=1,2,3,4)分別用圖解法和單純形法求解x2d2+54d2-d4+d3-d1+3Ad4-d1-2d3+B10 2 4 6 8 x1七（1）、整數(shù)規(guī)劃問題（分枝定界法）：用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃七（2）、工作指派問題：工作指派問題的數(shù)學(xué)模型假定有n項工作需要完成，恰好有n個人每人可去完成其中一項工作，效果要好。工作指派問題的特殊解法“匈牙利法”（考?。┙忸}步驟：1、使系數(shù)矩陣（效率矩陣）各行、各列出現(xiàn)零元素。作法：行約簡系數(shù)矩陣各行元素減去所在行的最小元素，列約簡再從所得矩陣的各

22、列減去所在列最小元素。2、試求最優(yōu)解。如能找出n個位于不同行不同列的零元素，令對應(yīng)的xij= 1，其余xij = 0，得最優(yōu)解，結(jié)束；否則下一步。作法：由獨立0元素的行（列）開始，獨立0元素處畫（ ）標(biāo)記 ，在有（ ）的行列中劃去（也可打*）其它0元素；再在剩余的0元素中重復(fù)此做法，直至不能標(biāo)記（ ）為止。3、作能覆蓋所有0元素的最少數(shù)直線集合。作法： 對沒有（ ）的行打號；對已打號的行中所有0元素的所在列打號；再對打有號的列中0元素的所在行打號；重復(fù)、直到得不出新的打號的行(列)為止；對沒有打號的行畫一橫線，對打號的列畫一縱線，這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)。未被直線覆蓋的最小元素為ci

23、j,在未被直線覆蓋處減去cij,在直線交叉處加上cij。4、重復(fù)2、3，直到求得最優(yōu)解。類型一：求極小值的匈牙利法：（重點掌握這種基本問題）例1：有甲、乙、丙、丁四個人，要派去完成A、B、C、D四項工作，他們完成的工時如下表：人務(wù)時工任 A B C D甲乙丙丁6 12 13 410 3 12 147 14 13 168 8 12 10試問：應(yīng)如何分配任務(wù)可使總工時為最少？解：用“匈牙利法”求解。已知條件可用系數(shù)矩陣（效率矩陣）表示為：行約簡列約簡（cij）= ABCD標(biāo)號甲乙丙丁 使總工時為最少的分配任務(wù)方案為：甲D，乙B，丙A，丁C此時總工時數(shù)W=4+3+7+12=26例2：求效率矩陣的最優(yōu)

24、解。列約簡行約簡解： 標(biāo)號 所畫（）0元素少于n，未得到最優(yōu)解，需要繼續(xù)變換矩陣（求能覆蓋所有0元素的最少數(shù)直線集合）：未被直線覆蓋的最小元素為cij=1,在未被直線覆蓋處減去1,在直線交叉處加上1。標(biāo)號 得最優(yōu)解：類型二：求極大值的匈牙利法：min z=max（z）（cij）（Mcij）=（bij），（cij）中最大的元素為Mmax z=第二部分 動態(tài)規(guī)劃只要求掌握動態(tài)規(guī)劃的最短路問題用“圖上標(biāo)號法”解決：具體解題步驟請參看教材（這是本套資料少見的與教材完全相同的算法類型之一，務(wù)必看書掌握）只有完全理解了這種作法（思路：逆向追蹤）才有可能做題，考試時數(shù)字無論如何變化都能作出正確求解！第二部分到此結(jié)束第三部分 網(wǎng)絡(luò)分析一、求最小生成樹（最小支撐樹、最小樹）問題：破圈法任取一個圈，從圈中去掉一條權(quán)最大的邊（如果有兩條或兩條以上的邊都是權(quán)最大的邊，則任意去掉其中一條）。在余下的圖中，重復(fù)這個步驟，直到得到一個不含圈的圖為止，這時的圖便是最小樹。參考例題：例：求下圖的最小生成樹：67941510v2v1v