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文檔簡介
1、.新人教版八年級下冊 勾股定理的探究 制作人:李佳頤課標(biāo)目標(biāo):1.了解勾股定理的文化價值,歷史背景。激發(fā)學(xué)生興趣。2.讓學(xué)生體驗勾股定理探索的過程。3.在證明過程中讓學(xué)生了解到數(shù)形結(jié)合(幾何與代數(shù)相結(jié)合),割補拼接圖形,作輔助線,等巧妙的數(shù)學(xué)證明方法,培養(yǎng)學(xué)生動手實踐和獨立思考能力(通過作圖剪拼證明圖形)首先我要問一個問題,你們相信外星生物嗎?不管你們信不信,反正我是信了。 科學(xué)家們更是對尋找外星智慧生命非常感興趣。他們經(jīng)常想,能用什么方式給他們聯(lián)系,給他們打個招呼呢,讓他們知道我們的存在??墒俏淖指Z言什么的他們不懂啊。 這時候數(shù)學(xué)家說話了,用數(shù)學(xué)圖形。圖形也許能看懂,早在1820年,德國著
2、名數(shù)學(xué)家高斯曾提出,可在西伯利亞的森林里伐出一片直角三角形的空地,然后在這片空地里種上麥子以三角形的三條邊為邊,種上三片正方形的松樹林,如果有外星人路過地球附近,看到這個巨大的數(shù)學(xué)圖形,便會知道:這個星球上有智慧生命。 我國數(shù)學(xué)家華羅庚也曾提出:若要溝通兩個不同星球的信息交往,最好利用太空飛船帶上這個圖形,并發(fā)射太空中去。那么這是一個什么樣的圖形。(圖一)這個圖形其實是包含了一個歷史很悠久的數(shù)學(xué)定理,這就是著名的勾股定理。勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊長分別是a,b,斜邊是c,那么a2+b2=c2 為什么說他歷史很悠久呢,勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠,被稱為“幾何學(xué)的基石”。世界上
3、的幾個文明古國都已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它并做了廣泛深入的研究。 比如傳說這個2500年前,一個數(shù)學(xué)家他叫畢達(dá)哥拉斯,他去朋友家吃飯,邊吃他就邊看那個地板,可能是他這個朋友太無聊了,還不如這個地板有意思,于是他看著看著,竟然讓他看出了規(guī)律。發(fā)現(xiàn)了這個定理。所以你們沒事的時候也可以到處看看,去吃飯應(yīng)酬什么的無聊沒意思了,說不定也能看出什么地板定理天花板定理什么的。我們來看看讓他發(fā)現(xiàn)這個定理的地板到底有多么的有趣呢?(圖二) 能從這么一堆等腰直角三角形中發(fā)現(xiàn)一個世界著名的定理,我也是醉了。所以說,同一樣?xùn)|西在不同人眼里能創(chuàng)造的價值不同,就好像同樣是蘋果在牛頓眼里是萬有引力,在喬布斯眼里是智能手機,在我們的眼里她
4、是飯后水果。思考兩個問題1.你能找出上圖中正方形A、B、C面積之間的關(guān)系嗎?(思考解答)2.下圖中正方形A、B、C所圍直角三角形三邊上的正方形面積之間有什么特殊關(guān)系?(思考解答) 這就是畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)。西方的人都認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯定理是他們的畢達(dá)哥拉斯第一個證明出來的。傳說畢達(dá)哥拉斯證明這個定理之后,殺了一百頭牛來慶祝,所以他又叫“百牛定理”。為什么叫傳說呢,因為沒有人能夠真正確定到底是不是他發(fā)現(xiàn)了勾股定理,就算是他發(fā)現(xiàn)的,也有人說他的道德信仰使他根本不會殺生更別說殺一百頭牛了,所以說什么的都有我們也只能當(dāng)成是一個傳說??偠灾@個定理后來是在歐幾里得的幾何原本中被證明出來。在歐洲中世紀(jì)它又被戲
5、稱為“驢橋定理”,因為那時數(shù)學(xué)水平較低,很多人學(xué)習(xí)勾股定理時被卡住,難以理解和接受。所以勾股定理被戲稱為“驢橋”,意謂笨蛋的難關(guān)。埃及稱為埃及三角形。 西方人認(rèn)定這是我們畢老發(fā)現(xiàn)的,畢老不是畢姥爺啊,這時候中國人不服氣了,誰說你們先發(fā)現(xiàn)的。我們早就發(fā)現(xiàn)了。如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話,那么在公元前1100年左右的西周時期,周公與商高的對話則可以確定那個時候就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)勾股定理了。商高說“句廣三,股修四,徑隅五”。這里的“句”念作“勾”指的是直角三角形的短邊,后來寫法也演變成現(xiàn)在的“勾”?!肮伞敝傅氖侵苯侨切蔚拈L邊。古人用直角三角形來測量,將長的直角邊樹立起來以后,像腿一樣。所以叫
6、做“股”,也就是腿的意思?!皬健敝傅氖切边?。就是勾3股4弦5,所以我們稱它為勾股定理,也叫它商高定理。周髀算經(jīng)中有記載。所以我們比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。但是相傳最早的還是古代巴比倫人,他們的泥板記載上就有勾股定理的印記如何證明它:勾股定理是數(shù)學(xué)上證明方法最多的定理,已經(jīng)發(fā)表的便有400多種,近500種。我們只列舉比較經(jīng)典的幾種,通過掌握他們來學(xué)習(xí)幾種常見的數(shù)學(xué)方法首先我們來看一個圖(上圖四)方法一:弦圖勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,加差實,亦成弦實。這就是我國最早對勾股定理進行的證明,三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽,他在周髀算經(jīng)內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋。這是我們古代
7、數(shù)學(xué)的驕傲所以2002年,在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會就是用這個“弦圖”作為會標(biāo)。趙爽的這個證明可謂別具匠心,數(shù)形結(jié)合,極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系,既具嚴(yán)密性,又具直觀性,為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有所發(fā)展。趙爽的這個證明可謂別具匠心,數(shù)形結(jié)合,極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系,既具嚴(yán)密性,又具直觀性,為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有所發(fā)展。
8、方法二:圖形拼接方法三:(圖六)方法四:劉徽“青朱出入圖”同一時代的數(shù)學(xué)家劉徽,也是沿用這種方法給出“青朱出入圖”,將青、朱兩塊移出,拼入,便很簡單地證明了勾股定理。方法五:總統(tǒng)證法美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德也證明過這個定理??偨y(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢?難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者?答案是否定的。事情的經(jīng)過是這樣的;在1876年一個周末的傍晚,在散步的時候,突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上,有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁从捎诤闷嫘尿?qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去,問兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形,頭也不抬地說:“請問先生,如果直角三角形的兩條直角邊分
9、別為3和4,那么斜邊長為多少呢?”伽菲爾德答到:“是5呀?!毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7,那么這個直角三角形的斜邊長又是多少?”伽菲爾德不加思索地回答到:“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?!毙∧泻⒂终f道:“先生,你能說出其中的道理嗎?”伽菲爾德一時語塞,無法解釋了,心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步,一直有個問題困擾著很不舒服。不能被個小孩考到啊是吧。就立即回家,潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算,終于弄清楚了其中的道理,并給出了簡潔的證明方法。他是這樣分析的,如圖所示:(圖八)1876年4月1日,伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這一
10、證法。1881年,伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來,人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明,就把這一證法稱為“總統(tǒng)?!弊C法。方法六:歐幾里得的方法 提示:畫垂直線構(gòu)造相似三角形。設(shè)ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點劃一直線至對邊,使其垂直于對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二,其面積分別與其余兩個正方形相等。在定理的證明中,我們需要如下四個輔助定理:(1)如果兩個三角形有兩組對應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS定理)(2)三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。(3)任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。(4)任意一個矩形的面積等于其二邊長的
11、乘積(據(jù)輔助定理3)。證明的思路為:把上方的兩個正方形,透過等高同底的三角形,以其面積關(guān)系,轉(zhuǎn)換成下方兩個同等面積的長方形。其證明如下:1.設(shè)ABC為一直角三角形,其直角為CAB。2.其邊為BC、AB、和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。3.畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交于KL4.分別連接CF、AD,形成兩個三角形BCF、BDA。5.CAB和BAG都是直角,因此C、A和G都是共線的,同理可證B、A和H共線。6.CBD和FBA皆為直角,所以ABD等于FBC。7.因為AB和BD分別等于FB和BC,所以ABD必須相等于FBC。8.因為A與K和L在同一直線上,所以四方形BDLK必須二倍面積于ABD9.因為C、A和G在同一直線上,所以正方形BAGF必須二倍面積于FBC10.因此四邊形BDLK必須有相同的面積B
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