線性規(guī)劃在管理中的應用

1、線性規(guī)劃在管理中的應用,線性規(guī)劃問題的建模過程,1. 理解要解決的問題，了解解題的目標和條件； 2. 定義決策變量（x1 ，x2 ， ，xn），每一組值表示一個方案； 3. 用決策變量的線性函數形式寫出目標函數，確定最大化或最小化目標； 4. 用一組決策變量的等式或不等式表示解決問題過程中必須遵循的約束條件,人力資源分配的問題（1,例1某晝夜服務的公交線路每天各時間段內所需司機和乘務人員數如下： 設司機和乘務人員分別在各時間段一開始時上班，并連續(xù)工作八小時，問該公交線路怎樣安排司機和乘務人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機和乘務人員,人力資源分配的問題（1,解：設 xi 表示第 i 班次時開

2、始上班的司機和乘務人員數，這樣我們建立如下的數學模型： 目標函數： min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 約束條件： s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1, x2, x3, x4, x5, x6 0 最優(yōu)解：x1 = 50，x2 = 20，x3 = 50，x4 = 0，x5 = 20，x6 = 10，共 150 人,人力資源分配的問題（2,例2一家中型的百貨商場，它對售貨員的需求經過統(tǒng)計分析如下表所示。為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，

3、并要求休息的兩天是連續(xù)的。問應該如何安排售貨人員的作息，既滿足工作需要，又使配備的售貨人員的人數最少,人力資源分配的問題（2,解：設 xi ( i = 1, 2, , 7) 表示星期一至日開始休息的人數，這樣我們建立如下的數學模型。 目標函數： min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 約束條件： s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19

4、 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 0 最優(yōu)解：x1 = 12，x2 = 0，x3 = 11，x4 = 5，x5 = 0， x6 = 8， x7 = 0，共 36 人,生產計劃的問題（1,例3某公司面臨一個是外包協(xié)作還是自行生產的問題。該公司生產甲、乙、丙三種產品，都需要經過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產，但產品丙必須本廠鑄造才能保證質量。數據如表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產品各生產多少件？甲、乙兩種產品的鑄造

5、中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應多少件,生產計劃的問題（1,解：設 x1, x2, x3 分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產品的件數，x4, x5 分別為由外協(xié)鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩種產品的件數。 求 xi 的利潤：利潤 = 售價 - 各成本之和 產品甲全部自制的利潤 23-(3+2+3)=15 產品甲鑄造外協(xié)、其余自制的利潤 23-(5+2+3)=13 產品乙全部自制的利潤 18-(5+1+2)=10 產品乙鑄造外協(xié)、其余自制的利潤 18-(6+1+2)=9 產品丙的利潤 16-(4+3+2)=7 可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利潤分別為 15、10

6、、7、13、9 元,生產計劃的問題（1,通過以上分析,可建立如下的線性規(guī)劃模型: 目標函數： max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 約束條件： 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1, x2, x3, x4, x5 0 最優(yōu)解： x1 = 1600， x2 = x3 = x4 = 0，x5 = 600,生產計劃的問題（2,例4永久機械廠生產、三種產品，均要經過A、B兩道工序加工。設有兩種規(guī)格的設備A1、A2能完成

7、A 工序；有三種規(guī)格的設備B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何規(guī)格的設備上加工； 可在任意規(guī)格的A設備上加工，但對B工序，只能在B1設備上加工；只能在A2與B2設備上加工。數據如表。問：為使該廠獲得最大利潤，應如何制定產品加工方案,生產計劃的問題（2,解：設 xijk 表示第 i 種產品，在第 j 種工序上的第 k 種設備上加工的數量。 約束條件為： s.t. 5x111 + 10 x211 6000 （ 設備 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 設備 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 設備 B1 ） 4x122 + 11x3

8、22 7000 （ 設備 B2 ） 7x123 4000 （ 設備 B3 ） x111+ x112 = x121 + x122 + x123 （產品在A、B工序加工的數量相等） x211+ x212 = x221 （產品在A、B工序加工的數量相等） x312 = x322 （產品在A、B工序加工的數量相等） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,生產計劃的問題（2,目標函數為計算利潤最大化，利潤的計算公式為： 利潤 = （銷售單價 - 原料單價）* 產品件數之和 -（每臺時的 設備費用 * 設備實際使用的總臺時數）之和。 這樣得到目標函數： max (1

9、.25 0.25)(x111+x112) + (2 0.35)x221 + (2.8 0.5)x312 300/6000(5x111+10 x211) 321/10000(7x112+9x212+12x312) 250/4000(6x121+8x221) 783/7000(4x122+11x322) 200/4000(7x123) 經整理可得： max 0.75x111 + 0.7753x112 + 1.15x211 + 1.3611x212 + 1.9148x312 0.375x121 0.5x221 0.4475x122 1.2304x322 0.35x123 解得：x111 = 1200

10、，x112 = 230.049，x211 = 0，x212 = 500，x312 = 324.138，x121 = 0， x221 = 500， x122 = 858.6206，x322 = 324.138， x123 = 571.4286,生產計劃的問題（2,另解：設 yijk 表示在第 j 種設備上完成工序A、在第 k 種設備上完成工序B的第 i 種產品的數量。 目標函數為： max (1.25 0.25) (y111 + y112 + y113 + y121 + y122 + y123) + (2 0.35) (y211 + y221) + (2.8 0.5) y322 300/6000

11、 5(y111 + y112 + y113) + 10 y211 321/10000 7(y121 + y122 + y123) + 9 y221 +12 y322 250/4000 6(y111 + y121) + 8(y211 + y221) 783/7000 4(y112 + y122) + 11 y322 200/4000 7(y113 + y123) 約束條件為： s.t. 5(y111 + y112 + y113) + 10 y211 6000 （ 設備 A1 ） 7(y121 + y122 + y123) + 9 y221 +12 y322 10000 （ 設備 A2 ） 6(y

12、111 + y121) + 8(y211 + y221) 4000 （ 設備 B1 ） 4(y112 + y122) + 11 y322 7000 （ 設備 B2 ） 7(y113 + y123) 4000 （ 設備 B3 ） yijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,套裁下料問題,例5某工廠要做100套鋼架，每套用長為 2.9m，2.1m，1.5m 的圓鋼各一根。已知原料每根長 7.4m，問：應如何下料，可使所用原料最省？ 解： 共可設計下列 5 種下料方案，見下表,設 x1, x2, x3, x4, x5 分別為上面 5 種方案下料的原材料根數,套裁下料

13、問題,最優(yōu)解：x1=30，x2=10，x3=0，x4=50，x5=0 約束條件中，用“=”還是“”,目標函數： min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 約束條件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 100 x1, x2, x3, x4, x5 0,配料問題（1,例6某工廠要用三種原料1、2、3混合調配出三種不同規(guī)格的產品甲、乙、丙，數據如下表。問：該廠應如何安排生產，使利潤收入為最大,解：設 xij 表示第 i 種（甲、乙、丙）產品中原料 j 的含量。 目標函數： 利潤最大，利潤 = 收入

14、 原料支出 約束條件： 規(guī)格要求 4 個；供應量限制 3 個,配料問題（1,目標函數： max 50 (x11+x12+x13 ) + 35 (x21+x22+x23) + 25 (x31+x32+x33) 65 (x11+x21+x31) 25 (x12+x22+x32) 35(x13+x23+x33) = 15x11 + 25x12 + 15x13 30 x21 + 10 x22 40 x31 10 x33 約束條件： 從第 1個表中有： x11 0.5(x11 + x12 + x13) x12 0.25(x11 + x12 + x13) x21 0.25(x21 + x22 + x23)

15、 x22 0.5(x21 + x22 + x23,從第 2 個表中有： x11 + x21 + x31 100 x12 + x22 + x32 100 x13 + x23 + x33 60,配料問題（1,線性規(guī)劃模型為： 目標函數：max z = 15x11+25x12+15x13 30 x21+10 x22 40 x31 10 x33 約束條件： s.t. 0.5 x11 0.5 x12 0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） 0.25x11+0.75x12 0.25x13 0 （原材料2不超過25%） 0.75x21 0.25x22 0.25x23 0 （原材料1不少于25%） 0.

16、5 x21+0.5 x22 0.5 x23 0 （原材料2不超過50%） x11 + x21 + x31 100 (供應量限制） x12 + x22 + x32 100 (供應量限制） x13 + x23 + x33 60 (供應量限制） xij 0，i = 1,2,3；j = 1,2,3 解得： x11 = 100，x21 = 50，x31 = 50,配料問題（2,例7. 汽油混合問題。一種汽油的特性可用兩種指標描述，用“辛烷數”來定量描述其點火特性，用“蒸汽壓力”來定量描述其揮發(fā)性。某煉油廠有1、2、3、4種標準汽油，其特性和庫存量列于下表中，將這四種標準汽油混合，可得到標號為1，2的兩種

17、飛機汽油，這兩種汽油的性能指標及產量需求也列于下表中。問應如何根據庫存情況適量混合各種標準汽油，既滿足飛機汽油的性能指標，又使2號汽油滿足需求，并使得1號汽油產量最高,配料問題（2,解：設xij為飛機汽油 i 中所用標準汽油 j 的數量(L)。 目標函數為飛機汽油1的總產量：x11+ x12+ x13+ x14 庫存量約束為： x11+ x21 380000 x12+ x22 265200 x13+ x23 408100 x14+ x24 130100 產量約束為飛機汽油2的產量： x21+ x22+ x23+ x24 250000,配料問題（2,物理上的分壓定律： 得到有關蒸汽壓力的約束條件

18、： 即 同理有： 同理，得到有關辛烷數的約束條件,配料問題（2,線性規(guī)劃模型,投資問題（1,例8某部門現有資金200萬元，今后五年內考慮給以下的項目投資： 項目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當年末能收回本利110%； 項目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過30萬元； 項目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不能超過80萬元； 項目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過100萬元。 據測定每萬元每次投資的風險指數如下表： 問： （1）應如何確定這些項目的每年投資

19、額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？ （2）應如何確定這些項目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬元的基礎上使得其投資總的風險系數為最小,投資問題（1,注意兩個問題： 連續(xù)投資 閑置資金 決策變量： 設 xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投資于A (j=1)、B (j=2)、C (j=3)、D (j=4)項目的金額。這樣我們建立如下的決策變量： Ax11x21x31x41x51 Bx12x22x32x42 Cx33 Dx24,投資問題（1,約束條件： 第一年：A當年末可收回投資，故第一年年初應把全部資金投出去，于是 x11+ x12 = 200；

20、第二年：B次年末才可收回投資，故第二年年初有資金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年初有資金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：年初有資金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第五年：年初有資金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投資限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 非負條件： xij 0 ( i =

21、15，j = 14) 目標函數：max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24,投資問題（2,決策變量：同上 目標函數： min f = x11+x21+x31+x41+x51 + 3(x12+x22+x32+x42) + 4x33 + 5.5x24 約束條件： 問題（1）中的條件 “第五年末擁有資金本利在330萬元”的條件： 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330,投資問題（2,決策變量： 設 xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投資于A (j=1)、B (j=2)、C (j=3)、D (j=4)項目的金額。 設s