用裂項相消法證明不等式

1、用裂項相消法證明不等式33. 等差數(shù)列各項均為正整數(shù)，前項和為，等比數(shù)列中，且，是公比為64的等比數(shù)列 （1）求與； （2）證明：解：設(shè)公差為d，由題意易知d0，且dN*，則通項=3 +（n1）d，前n項和。再設(shè)公比為q，則通項由可得 又為公比為64的等比數(shù)列， 聯(lián)立、及d0，且dN*可解得q = 8，d = 2通項= 2n + 1 ，nN*通項，nN*（2）由（1）知，nN*，nN*35.數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意，總有成等差數(shù)列.()求數(shù)列的通項公式；()設(shè)數(shù)列的前項和為 ，且，求證:對任意實數(shù)（是常數(shù)，2.71828）和任意正整數(shù)，總有 2；() 正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最

2、大項. （）解：由已知：對于，總有 成立 （n 2） -得均為正數(shù)， （n 2） 數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 又n=1時， 解得=1.() （）證明：對任意實數(shù)和任意正整數(shù)n，總有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 時，是遞減數(shù)列. 令當在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).由.n2 時, 是遞減數(shù)列.即是遞減數(shù)列.又 , 數(shù)列中的最大項為. 36. 已知數(shù)列的首項，前項和為，且、（n 2）分別是直線上的點A、B、C的橫坐標，設(shè)， 判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； 設(shè)，證明：解：由題意得 （n2），又，數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列。 則（）由及得， 則 37. 已知函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)（）若

3、數(shù)列滿足：，（），求數(shù)列的通項；（）若數(shù)列滿足：，（）.當時，數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，請求出數(shù)列的通項；若不是，請說明理由；.當時， 求證：解：（）， ，即 ， 數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即 （）（），當時，假設(shè)，則由數(shù)學歸納法，得出數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，是等差數(shù)列，其通項為 （）， 當時，假設(shè)，則 由數(shù)學歸納法，得出數(shù)列 又，即 ， 41.數(shù)列：滿足() 設(shè)，求證是等比數(shù)列；() 求數(shù)列的通項公式; （）設(shè),數(shù)列的前項和為,求證: 解：()由得，即， 是以為公比的等比數(shù)列 () 又即 ，故（）又42. 已知數(shù)列中，其前項和滿足.令.（）求數(shù)列的通項公式；（）若，求證：（）；（）令（），求同

4、時滿足下列兩個條件的所有的值：對于任意正整數(shù)，都有；對于任意的，均存在，使得時，.解：（）由題意知即檢驗知、時，結(jié)論也成立，故.（）由于故.（）（）當時，由（）知：，即條件滿足；又，.取等于不超過的最大整數(shù)，則當時，.9（）當時，.由（）知存在，當時，故存在，當時，不滿足條件. （）當時，.取，若存在，當時，則.矛盾. 故不存在，當時，.不滿足條件.綜上所述：只有時滿足條件，故.43. 已知數(shù)列滿足（1）求；（2）已知存在實數(shù)，使為公差為的等差數(shù)列，求的值；（3）記，數(shù)列的前項和為，求證：.解：（1），由數(shù)列的遞推公式得，（2）=數(shù)列為公差是的等差數(shù)列.由題意，令，得（3）由（2）知，所以此時

5、=， =44.已知數(shù)列,（）求數(shù)列的通項公式（）當時,求證:（）若函數(shù)滿足： 求證：解： (1) ,兩邊加得: , 是以2為公比, 為首項的等比數(shù)列.由兩邊減得: 是以為公比, 為首項的等比數(shù)列.-得: 所以,所求通項為5分(2) 當為偶數(shù)時,當為奇數(shù)時,又為偶數(shù)由(1)知, （3）證明：又 45.已知數(shù)集序列1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19,其中第n個集合有n個元素，每一個集合都由連續(xù)正奇數(shù)組成，并且每一個集合中的最大數(shù)與后一個集合最小數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，() 求第n個集合中最小數(shù)an的表達式； （）求第n個集合中各數(shù)之和Sn的表達式； （）令f(n)= ，求證：2解: () 設(shè)第n個集合中最小數(shù)an , 則第個集合中最小數(shù) , 又第個集合