新利息理論教案第3章

1、第3章：變額年金本課程第2章討論的都是等額支付的年金問題。本章將討論年金不相等的情 況。如果每次支付的金額沒有任何變化規(guī)律，那么只好分別計(jì)算每次付款的現(xiàn)值 與終值，然后將其相加求得年金的現(xiàn)值與終值。但某些變額年金仍然是有規(guī)律可 循的，本節(jié)將討論這方面的年金。第3.1節(jié)：遞增年金本節(jié)內(nèi)容：3.1.1期末付遞增年金假設(shè)第一期末支付1元，第二期末支付2元，第n期末支付n元，那么 這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級數(shù)遞增的。一、年金現(xiàn)值 (la)n如果用(la)n表示其現(xiàn)值，則有(la)n v 云(1)公式推導(dǎo)過程: 上式兩邊同乘(1+i)(1 i)(la)ni用第二式減去第一式3v3nnv2v3v2i(la)n(

2、1v2v3n 1nv ) nvnnnvinv所以：(la)n(2)公式的另一種推導(dǎo)思路(略)、年金終值 (ls)nSn 1 (n 1)n &(ls)n (1 i)n(la)n 弋三、例題例1、一項(xiàng)20年期的遞增年金，在第1年末支付65元，第2年末支付70 元，第3年末支付75元，以此類推，最后一次支付發(fā)生在第 20年末，假設(shè)年實(shí) 際利率為6%求此項(xiàng)年金在時刻零的現(xiàn)值。解：最后一次支付的金額應(yīng)該為65 19 5 160元。將此年金分解成一項(xiàng)每年末支付60元的等額年金和一項(xiàng)第1年末支付5,每年遞增5元的遞增年金 這時：上述年金的現(xiàn)值為：60a20 5(Ia)20 1181.70例2、一項(xiàng)遞增年金，

3、第1年末支付300元，第2年末支付320元，第3年 末支付340元，以此類推，直到最后一次支付 600元，假設(shè)年實(shí)際利率為5% 試計(jì)算此項(xiàng)年金在最后一次支付時刻的終值。解：支付金額每次遞增20元，因?yàn)?00 300 15 20，所以一共支付了 16次。最后一次支付發(fā)生在第16年末。 將此年金分解成一項(xiàng)每年末支付280元的等額年金和一項(xiàng)第1年末支付20,每年遞增20元的遞增年金。這時：上述年金的終值為：280si同20(ls)幣10160.253.1.2期初付遞增年金假設(shè)第一期初支付1元，第二期初支付2元，第n期初支付n元，那么 這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級數(shù)遞增的。一、年金現(xiàn)值如果用(lO&m表示其年

4、金現(xiàn)值，則有(la&n (1 i)(la)n二、年金終值onnnv如果用(|S&n表示年金現(xiàn)值，則有i_S& ns- (n 1)(lS&n (1 i)(|s)n 才三、永續(xù)年金當(dāng)n趨于無窮大時：1 1 1 (lab d 1(1 1) doh 糸(1 1)2四、例題1、確定期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值，每次付款為1、2、3、。設(shè)實(shí)際利率為i=5%。丄解: (lah di1(1i =420本節(jié)重點(diǎn):年金現(xiàn)值(la)n的計(jì)算公式本節(jié)難點(diǎn):年金現(xiàn)值(la)n的公式推導(dǎo)第3.2節(jié)：遞減年金本節(jié)內(nèi)容：第n期末支付1元，那3.2.1期末付遞減年金 假設(shè)第一期末支付n元，第二期末支付n-1元，, 么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)

5、級數(shù)遞減的。、年金現(xiàn)值(Da)n如果用(Da)n表示其現(xiàn)值，則有所以： (Da)nn anin 1.vanl(Da)n nv (n 1)v2 (n 2)v3 . nn(1)公式推導(dǎo)過程： 上式兩邊同乘(1+i)(1 i)(Da)n| n (n 1)v (n 2)v2 用第二式減去第一式i(DaL n (v v2 v3 . vn)n(2)公式的另一種推導(dǎo)思路(略)、年金終值(Ds)n(Ds)n (1 i)n(Da)n叩 i)n %i第n期初支付1元，那3.2.2期初付遞減年金 假設(shè)第一期初支付n元，第二期初支付n-1元，, 么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級數(shù)遞減的。、公式1、如果用（Da&n表示其年金現(xiàn)值

6、，則有n an(DO&n (1 i)(Da)n 亍2如果用（DS&n表示年金現(xiàn)值，則有cn（1 i）n 6（DS&n （1d n說明：遞減年金不存在永續(xù)年金的情況。、例題本節(jié)重點(diǎn):年金現(xiàn)值 （Da） n和（Da&n的計(jì)算公式。本節(jié)難點(diǎn):年金現(xiàn)值 （Da）n公式的證明。第3.3節(jié)：付款金額按幾何級數(shù)變化的年金（復(fù)遞增年金） 本節(jié)內(nèi)容：3.3.1期末付復(fù)遞增年金假設(shè)第一年末付款1元，第二年末付款（1+r）元，第三年末付款(1 r)2元,第n年末付款（1亍1元，那么這項(xiàng)年金就是按幾何級數(shù)增長，其中 當(dāng)r0時，年金為遞增的，當(dāng)r0時，年金為遞增的，當(dāng)r0時，年金為遞減的。1、如果用&表示其年金現(xiàn)值，則

7、有A（1 i）1丹2、如果用S表示年金終值，則有& (1 i)(1 i)n (1 r)ni r3、關(guān)于永續(xù)年金1 H在A i r 中，當(dāng)ri，如果年利率現(xiàn)值1 (1)101000一丄丄i r =14459元本節(jié)重點(diǎn):(冷n1 ii r 。本節(jié)難點(diǎn):（冷n1 iA i r 的推導(dǎo)。第3.4節(jié)：每年支付m次的變額年金本節(jié)討論的年金屬于廣義變額年金。本節(jié)內(nèi)容：本部分內(nèi)容以期末付為例進(jìn)行分析本部分為確定年金中最復(fù)雜的情況，主要以下述年金為例說明假設(shè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期為n,每個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期支付款項(xiàng) m次，那么總的付款次數(shù)為 mn如果 每個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期支付款項(xiàng) m次，付款又是逐期遞增的，在第一個利息結(jié)轉(zhuǎn)周 期末

8、支付1/m元，在第二個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末支付 2/m元，在第n個利息結(jié)轉(zhuǎn) 周期末支付n/m元。下面分兩種情況討論：一、在同一個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)付款相同，但后一個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期比前一個利 息結(jié)轉(zhuǎn)周期每次多付1/m元。這樣在第一個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)每次付款 1/m元，在 第二個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)每次付款 2/m元，在第n個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)每次付款mn/m元。年金現(xiàn)值記為(Ia)n?？梢酝茖?dǎo)出計(jì)算公式。仁(la), a(1 2v 3v2 nvn1)年nvni(m)同里也可以推出終值的計(jì)算公式。2、例題為了保證在第一個利息結(jié)2/m元，在第n個利息二、在同一個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)付款也是逐期遞增。 轉(zhuǎn)周期末付款1/m元，在第二

9、個利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末付款1 22 2結(jié)轉(zhuǎn)周期末付款n/m元，假設(shè)第一次付款m元，第二次付款m元，第三次付mnm元。年金現(xiàn)值記為(l(m)a)；?？梢酝茖?dǎo)出322款m元，第mn次付款m計(jì)算公式。m(I (m)a).1、2、例題nvni (m)本節(jié)重點(diǎn)：遞增年金的計(jì)算公式本節(jié)難點(diǎn)：(l(m)a)nn nvi(m)的推導(dǎo)。第3.5節(jié)：連續(xù)支付的變額年金 本節(jié)內(nèi)容：3.5.1連續(xù)支付的變額年金一、連續(xù)支付的遞增年金1、現(xiàn)值（咼nnv2、終值冋3、永續(xù)年金現(xiàn)值、連續(xù)支付的遞減年金1、現(xiàn)值（Da）nn ann(1 i)n Sn2、終值（Ds）n3.5.2連續(xù)支付連續(xù)遞增的年金）nvni（m）推出（方）訐公式m

10、、由（I叫）n（Ia）n公式的直接推導(dǎo)3.5.3連續(xù)支付連續(xù)遞減的年金 （略）3.5.4 一般連續(xù)變額年金一、現(xiàn)值ntPV t expsds dt00二、終值nnFV t exp Sds dt0t本節(jié)重點(diǎn)：連續(xù)變額年金公式的推導(dǎo)本節(jié)難點(diǎn)：般連續(xù)變額年金現(xiàn)值的表示。第3.6節(jié)：年金問題的案例一、固定養(yǎng)老金計(jì)劃1. 一般情景責(zé)任：退休前時，每月初存入一定的金額，具體方式為，25-29歲，月付x1元；30-39歲，月付x2元；40-49歲，月付x3元；50-59歲，月付x4元。權(quán)益：從60歲(退休)開始每月初領(lǐng)取 p元，一直進(jìn)行20年。問題：在給定年利率i情況下，分析x1、x2、x3、x4與p的關(guān)系

11、。2. ( 1)假設(shè)某人25歲參加保險，則基本價值方程為12p霍 12礙2)(1 i)30 12X2&2)(1 i)2012x3疇(1 i)10 12X4(02)于是，p S35 (X2)$30 (X3 X2)S20(X4 兀)$0a20x3=500 元，x4=1000 元。若 i=10%，x1=200 元，x2=300 元,p -S35S30 -S20S1010580.48a20(2)如果從30歲開始加入，1003S302S205S108077.89a20(3)如果從40歲開始加入,p 500S20 S104299.73則a20二、購房分期付款某人米用貸款方式購房。已知房價為 50萬兀，首付比例為30%貸款的年 實(shí)際利率為8%若每月底等額付款。求相應(yīng)貸款期為五年，八、十年時的月還 款額。解：(1 k)p 12RanT計(jì)算出 i(12)=7.7208%五年期：月付款額7050.05元八年期：月付款額4898.33元。十年期：月付款額4194.98元三、汽車零售某汽車商計(jì)劃采用如下零售策略：（1）若一次付清款項(xiàng)，價格為 10萬元； （2）以年利率提供8%合4年分期