一元二次不等式及其解法知識(shí)梳理及典型練習(xí)題(含答案)

1、一元二次不等式及其解法考點(diǎn)梳理-糸思冊(cè)筆萍累基曲1一元一次不等式解法任何一個(gè)一元一次不等式經(jīng)過(guò)不等式的同解變形后，都可以化為ax b(a 0)的形式.當(dāng)a 0時(shí)，解集為 ;當(dāng)av 0時(shí)，解集為 .2元二次不等式及其解法(1) 我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為 不等式(2) 使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解組成的集合叫做一元二次不等式的 .(3) 一元二次不等式的解：函數(shù)與不等式 0二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c(a 0)的圖象to一兀二次方程2ax + bx+ c= 0 (a 0)的根有兩相異實(shí)根X1, X2

2、(X1 v X2)ax? + bx + c 0(a 0)的解集ax? + bx+ c v 0(a 0)的解集x|X1 v xv X2= 0v 0uk有兩相等實(shí)根X1 = X2= 無(wú)實(shí)根R?3.分式不等式解法(1) 化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型方法：移項(xiàng)，通分，右邊化為0,左邊化為的形式(2) 將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，如：f (x)g (x)f(x)g(x) 0;v 0 ? f(x)g(x)v 0 ；f (x)g (x)基礎(chǔ)自測(cè) 小囲全潔豐弗，卜試 ()已知集合 A= x|x2 2x 3 0 , B = x| 2w xv 2，則 AA B =()A. 2, 1 c. 1, 1B. 1, 2)D

3、.1 , 2)解：/ A = x|x 3 或 xw 1 , B = x| 2w xv 2, a A A B= x| 2w x0 的解集為()A.x|x RC.x|x 1B.x|xm 1 , x RD. x|xw 1解：f( 1)= 1 b+ 1 = 2 b, f(3) = 9+ 3b+ 1 = 10+ 3b,由 f( 1) = f(3)，得 2 b = 10+ 3b,解出b= 2，代入原函數(shù)，f(x)0即x2 2x+ 10 , x的取值范圍是xm 1故選B. 已知一2，則x的取值范圍是()A. 2x0 或 0xB. x2C.x2D.x解：當(dāng) x0 時(shí)，x ;當(dāng) x0 時(shí)，x 2.所以x的取值范

4、圍是x，故選D.G不等式0的解集是.解：不等式0等價(jià)于(1 2x)(x+ 1)0，也就是(x+ 1)v 0，所以1v xv .故填()若一元二次不等式2kx2 + kxv 0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為 .解：顯然kM 0.若k0，則只須(2X2 + x)maxV，解得k ?；若kv 0，則只須v (2X2 + x)min，解得 k ( 3，0)故 k 的取值范圍是(3，0).故填(3，0).已知關(guān)于x的不等式(a + b)x + 2a 3bv0的解集為，求關(guān)于 x的不等式(a 3b)x+ b 2a0的 解集解：由(a + b)xv 3b 2a的解集為，得 a + b 0，且=，從而

5、a= 2b，貝U a+ b = 3b 0，即 b 0，將 a = 2b 代入(a 3b)x+ b 2a0，得bx 3b 0，xv 3，故所求解集為(a， 3).點(diǎn)撥：一般地，一元一次不等式都可以化為ax b(a m 0)的形式.挖掘隱含條件a+ b 0且=是解本題的關(guān)鍵.匡巨解關(guān)于x的不等式：(m2 4)xvm + 2.解：(1)當(dāng) m2 4= 0 即 m= 2 或 m= 2 時(shí)， 當(dāng)m= 2時(shí)，原不等式的解集為 ？，不符合 當(dāng)m= 2時(shí)，原不等式的解集為R，符合(2) 當(dāng) m 40 即 mv 2 或 m 2 時(shí)，xv .(3) 當(dāng) m2 4v0 即一2v m v2 時(shí)，x.類(lèi)型二一元二次不等

6、式的解法(1)x2 7x+ 12 0; (2) X2 2x+ 3 0; x2 2x+ 1 v 0; (4)x2 2x+ 2 0.解：(1) x|xv 3 或 x4.(2)x| 3W xw 1.?因?yàn)?0,可得原不等式的解集為R.匡 ()已知函數(shù)f(x)=則不等式x+ (x+ 1)f(x+ 1) 1的解集是()A.x| 1 w x 1B. x|x 1C.x|xw 1D.x| 1 w xw 1解：由題意得不等式x+ (x+ 1)f(x+ 1) w 1等價(jià)于x+10,或x+(x+ 1) (x+ 1)+ 1 w 1解不等式組 得x 0的解集為x|2 x 0的解集 解：T不等式ax2 + bx+ c 0

7、的解集為x|2 x 3, a 0,且2和3是方程ax2 + bx+ c = 0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得-字2十3,c= 2 X 3, aa 0，得 6ax2 + 5ax+ a0(a 0). 即 6x2 + 5x+ 1 0,所求不等式的解集為類(lèi)型四含有參數(shù)的一元二次不等式墜解關(guān)于x的不等式：mx2 (m+ 1)x+ 1 0.解：(1)m= 0時(shí)，不等式為一(x 1) 0,不等式的解集為x|x 1;當(dāng)m豐0時(shí)，不等式為 m(x 1) 0. 當(dāng)m 0,0,不等式為(x 1) 0.(I )若 1時(shí)，不等式的解集為；(H )若 1即0 m0進(jìn)行討論；第三層次：與 1大小的不確定性，對(duì) mv 1、m 1

8、與 m= 1進(jìn)行討論.解關(guān)于x的不等式ax2 2 2x ax(a R).解：不等式整理為 ax2 + (a 2)x 20, 當(dāng)a = 0時(shí)，解集為(g, 1.當(dāng)a豐0時(shí)，ax2 + (a 2)x 2 = 0的兩根為一1,所以當(dāng)a 0時(shí), 解集為(g , 1 U ；當(dāng)一2v av 0時(shí)，解集為；當(dāng)a = 2時(shí)，解集為x|x= 1；當(dāng)av 2時(shí)，解集為.類(lèi)型五分式不等式的解法 0 ?2x+1得xx 或 x 0? 0?(x 2)(x+ 2)(x+ 1) 0,數(shù)軸標(biāo)根得x| 2v xv 1或x 2,故填x| 2 v x v 1 或 x 2.點(diǎn)撥：分式不等式可以先轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的高次不等式，再利用數(shù)軸標(biāo)根法

9、寫(xiě)出不等式的解集， 如果該不等式有等號(hào)，則要注意分式的分母不能為零探用“數(shù)軸標(biāo)根法”解不等式的步驟：(1)移項(xiàng)：使得右端為0(注意：一定要保證x的最高次幕的項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)).(2)求根：就是求出不等式所對(duì)應(yīng)的方程的所有根.(3)標(biāo)根：在數(shù)軸上按從左到右(由小到大)依次標(biāo)出各根(不需標(biāo)出準(zhǔn)確位置，只需標(biāo)出相對(duì)位置即可).(4)畫(huà)穿根線：從數(shù)軸“最右根”的 右上方向左下方 畫(huà)線，穿過(guò)此根，再往左上方穿過(guò)“次右根”， 一上一下依次穿過(guò)各根，“奇穿偶不穿”來(lái)記憶.(5)寫(xiě)出不等式的解集：若不等號(hào)為“” ，則取數(shù)軸上方穿根線以?xún)?nèi)的范圍；若不等號(hào)為“V ” ，則取數(shù)軸下方穿根線以?xún)?nèi)的范圍 ；若不等式中含有

10、“=”號(hào)，寫(xiě)解集時(shí)要考慮分母不能為零邑(1)若集合 A = x| 1 w 2x+ 1 3 , B =，則 A n B=()A. x| 1 w xv 0B. x|0v x 1C.x|0w xw 2D.x|0w xw 1解：易知A= x| 1 w xw 1, B集合就是不等式組 的解集，求出 B=，所以 A n B = x|Ov xw 1故選 B.不等式w 0的解集為()A.B.C. U 1 ,+s ) D. U 1 ,+s )解：w 0?得0對(duì)于一切x成立，則a的最小值為(A.0 B. 2 C. D. 3解：不等式可化為ax x2 1，由于x , a . f(x)=在上是減函數(shù),(2)已知對(duì)于任

11、意的 值范圍是()a 1, 1，函數(shù) f(x)= x2+ (a 4)x+ 4 2a的值總大于 0，則 x的取A.1 v xv 3C.1 vxv 2B.x v 1 或 x 3D.xv 1 或 x 2解：記 g(a) = (x 2)a+ x2 4x+ 4, a 1, 1,依題意，只須？ XV 1或x3,故選B.點(diǎn)撥:變量轉(zhuǎn)換x的二次不等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于 a的一次不等 x的取值范圍.對(duì)于參數(shù)變化的情形，大多利用參法，即參數(shù)轉(zhuǎn)換為變量；變量轉(zhuǎn)換為參數(shù)，把關(guān)于 式，化繁為簡(jiǎn)，然后再利用一次函數(shù)的單調(diào)性，求出變式對(duì)于滿(mǎn)足|a|w2的所有實(shí)數(shù)a，求使不等式x2+ ax+ 1 2x+ a成立的x的取值范圍.解：原

12、不等式轉(zhuǎn)化為(x 1)a + x2 2x+ 1 0,設(shè) f(a) = (x 1)a + x2 2x+ 1,貝U f(a)在2, 2上恒大于0，故有：即 解得. xv 1 或 x 3.二次方程根的討論1)內(nèi)有且僅有一解，則a的取值范圍是()類(lèi)型七 蜃若方程2ax2- x 1 = 0在 (0,A. a1C. 1a1D.0 w a 1.解法二：當(dāng)a= 0時(shí)，x= 1,不合題意，故排除 C, D ;當(dāng)a= 2時(shí)，方程可化為 4x2 + x+ 1 = 0，而= 1 16V 0,無(wú)實(shí)根，故 a= 2不適合，排除 A.故選B.課時(shí)作業(yè) 蠱漏補(bǔ)蛀 拈展曜忡1. 不等式w 0的解集是()A.( g, 1) U

13、(- 1 , 2B. 1, 2C.( g, 1) U 2 ,+g )D.( 1 , 2解：W 0? W 0，且 XM 1,即 x ( 1 , 2,故選 D.2. 關(guān)于x的不等式(mx 1)(x 2) 0,若此不等式的解集為，則m的取值范圍是()A.m 0B.0 v mv 2C.mD.m0解：由不等式的解集形式知mv0故選D.3. ()已知一元二次不等式f(x)0的解集為()A. x|xlg2B. x| 1x lg2D. xx lg2解：可設(shè) f(x)= a(x+ 1)(a0 可得(10x+ 1)0，從而 10x，解得 x 300,解得 10W xW 30.故選 C.5. 若關(guān)于x的不等式2x2

14、 8x 4 a0在(1, 4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. a 4C.a 12D.a 0在(1 , 4)內(nèi)有解，即 av 2x2 8x 4在(1, 4)內(nèi) 有解，令 f(x) = 2x2 8x 4 = 2(x 2)2 12,當(dāng) x= 2 時(shí)，f(x)取最小值 f(2) = 12 ;當(dāng) x= 4 時(shí)，f(4) = 2(4 2)2 12= 4，所以在(1 , 4) 上, 12W f(x) v 4.要使 a v f(x)有解，貝 U a v 4.故選D.6. 若不等式x2 kx+ k10對(duì)x (1, 2)恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .解：/x (1 , 2) , x 10.則 x2 kx+

15、 k 1= (x 1)(x+ 1 k)0，等價(jià)于x + 1 k0,即kx+ 1恒成立，由于 2x+ 12.9. 已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a,且不等式f(x) 2x的解集為(1, 3).(1) 若方程f(x) + 6a= 0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f(x)的解析式；(2) 若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍.解：(1) / f(x) + 2x 0 的解集為(1, 3), f(x) + 2x= a(x 1)(x 3)，且 av 0. 因而 f(x) = a(x 1)(x 3) 2x=ax2 (2 + 4a)x+ 3a . 由方程 f(x)+ 6a= 0 得 ax2 (2 + 4a)x+ 9a = 0. 因?yàn)榉匠?有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以2= (2 + 4a) 4a 9a= 0,即 5a2 4a 1 = 0,解得 a = 1 或 a =.由于av 0,舍去a = 1，將a =代入得f(x)的解析式f(x)= x2 x .(2