函數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性、函數(shù)的綜合應用復習1[1]

1、函數(shù)復習內(nèi)容：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性、函數(shù)的綜合應用一常見函數(shù)（基本初等函數(shù)）：1 23 45冪函數(shù)：（包括前四個函數(shù)）6指數(shù)函數(shù)：7對數(shù)函數(shù)：8三角函數(shù)：，由以上函數(shù)進行四則運算、復合運算得到的函數(shù)都是初等函數(shù)。如：，試著分析以上函數(shù)的構(gòu)成。二定義域：1“定義域優(yōu)先”的思想是研究函數(shù)的前提，在求值域、奇偶性、換元時易忽略定義域。2求定義域：例1求下列函數(shù)定義域：（1） （2）例2設(shè)，則的定義域為_變式練習：，求的定義域。三值域：1 2 3 ； 4 ； 5 已知直角三角形的三邊之和為2，求此三角形面積的最大值。 6函數(shù)的定義域和值域都是(b1),求b的值。練習：已知

2、二次函數(shù) 滿足且方程有等根。（1）求的解析式；（2）問是否存在實數(shù)使的定義域為，值域為。如存在，求出的值，若不存在說明理由。答案：(1)，（2）m=-2,n=07已知函數(shù)（b0）的值域為1，3，求實數(shù)b，c的值。8（07浙江理）設(shè)是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（ ）CAB C D9已知 ，求函數(shù)的最值。小結(jié)：函數(shù)值域的計算能力要求高、考查頻率高，應該分類歸納，各個擊破。難度的的變化會隨著參數(shù)的引入而改變?nèi)鏣6、T7。四單調(diào)性：1單調(diào)性的證明：（1）定義法：例 判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明。練習：已知函數(shù)，點在的反函數(shù)圖像上。（1）求的反函數(shù)；（2）證明在定義域內(nèi)是減函數(shù)。答案：（1）2單

3、調(diào)性的簡單應用：例 （1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_（2）已知在是減函數(shù)，則的取值范圍是_練習：若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_高考真題：已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C）（D）解：依題意，有0a1且3a10，解得0a，又當x7a1，當x1時，logax0，所以7a10解得x故選C例 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對稱，記若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）DA B C D例 設(shè)函數(shù)，給出下述命題：有最小值；當時，的值域為；當時，在區(qū)間上有反函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是則其中正確的命題是_（要求：把正確命題的序號都填上）例 函

4、數(shù)對任意的，都有，并且當時， 求證：在上是增函數(shù)； 若，解不等式 五函數(shù)的奇偶性：常用性質(zhì)：1是既奇又偶函數(shù)； 2奇函數(shù)若在處有定義，則必有； 3偶函數(shù)滿足； 4奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；5除外的所有函數(shù)奇偶性滿足：奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)偶函數(shù)=非奇非偶 奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)6任何函數(shù)可以寫成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。例 設(shè)是R上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是 (A)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù) (C) 是偶函數(shù) (D) 是偶函數(shù)【解析】A中則，即函數(shù)為偶函數(shù)，B中，此時與的關(guān)系不能確定，即函數(shù)的奇偶性

5、不確定，C中，即函數(shù)為奇函數(shù)，D中，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選擇答案D。例 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù). 當時，則 當時， .解：當x(0,+) 時，有-x(-,0)，注意到函數(shù)f(x) 是定義在 (-,+)上的偶函數(shù)，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 從而應填-x-x4例 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。（）求的值；（）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；解析：（）因為是奇函數(shù)，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （）解法一：由（）知，易知在上為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式： 等價于，因為減函數(shù)，由上式推得：即對一切有：，從而判別式練習：已知函數(shù)，若為奇函數(shù)

6、，則_。解析：函數(shù)若為奇函數(shù)，則，即，a=.例 已知在（1，1）上有定義，且滿足證明：在（1，1）上為奇函數(shù)；例 若奇函數(shù)滿足，則_六函數(shù)的周期性：（一）要點：1（定義）若是周期函數(shù)，T是它的一個周期。說明：nT也是的周期（推廣）若，則是周期函數(shù)，是它的一個周期2若定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對稱，則是周期函數(shù)，是它的一個周期（推論）若定義在R上的偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，是它的一個周期3 若定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點和點對稱，則是周期函數(shù)，是它的一個周期（推論）若定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于點 對稱，則是周期函數(shù)，是它的一個周期4若定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點對稱，

7、則是周期函數(shù)，是它的一個周期（推論）若定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，是它的一個周期5若；則是周期函數(shù)，2是它的一個周期（二）例題講解：例1 函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則_。解：由得，所以，則。例2 是定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，對任意，有，且求；證明：是周期函數(shù)；例3 是定義在R上的奇函數(shù)，且對一切，恒有求證：是周期函數(shù)；若，求的值。例4 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）0，又f（x4）f（x2）f（x），故函數(shù)，f（x）的周期為

8、4，所以f（6）f（2）f（0）0，選B 例5 若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿足()，則的一個正周期為_例6 已知定義在R上，最小正周期為5的函數(shù)滿足，且，則在區(qū)間內(nèi)，方程的解的個數(shù)至少為_個例7 定義在R上的偶函數(shù)，滿足，在區(qū)間-2,0上單調(diào)遞減，設(shè)，則的大小順序為_例8 定義在R上的函數(shù)滿足，則當?shù)淖钚≈凳莀例9 已知函數(shù)是一個以4為最小正周期的奇函數(shù)，則（ ）A0B4C4D不能確定例10 已知f (x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且則f (2005)= .例 已知是(-)上的奇函數(shù)，當01時，f(x)=x，則f(7.5)=_例11 設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x恒滿足，當時求證：是周期函數(shù)；

9、當時，求的解析式；計算：例12 設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線對稱，已知時，函數(shù)，則時，_例13 定義在R上的函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期為T，若函數(shù)，時有反函數(shù)，則函數(shù)，的反函數(shù)為（ ）ABCD例14已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，設(shè)則（A）（B）（C）（D）解：已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，設(shè)，0，選D.七反函數(shù)：例 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則A B C D解：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以是的反函數(shù)，即=， ，選D.例 設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，且的圖像過點，則的圖像必過（A） （B） （C） （D）解：當x時，2x10，即yf（x）的圖象過點（0，1），所以的圖像

10、必過（1，0）故選C。例 函數(shù) 的反函數(shù)是AB CD解：有關(guān)分段函數(shù)的反函數(shù)的求法，選C。也可用特殊點排除法，原函數(shù)上有（1，2）和（-1，-1）兩點，反函數(shù)上有（2，1）和（-1，-1），檢驗知C。例 函數(shù)y=1+ax(0a1)的反函數(shù)的圖象大致是 （A） （B） （C） （D）解：函數(shù)y=1+ax(0a0且a1)有解，則m的取值范圍是_例4 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩根，滿足，（1）當時，求證：；（2）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明：。分析：作差，韋達定理例6 設(shè)函數(shù).（1）在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖像；（2）設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；（3）當時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像

11、的上方.解：（1） （2）方程的解分別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此. 由于. （3）解法一 當時，. ， . 又， 當，即時，取， . ， 則. 當，即時，取， . 由 、可知，當時，. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 解法二 當時，.由 得， 令 ，解得 或， 在區(qū)間上，當時，的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點； 當時，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點. 如圖可知，由于直線過點，當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 例7 設(shè)f(x)=3ax,f(0)0，f(1)0，求證：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)

12、有兩個實根. 解析：本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應用等基礎(chǔ)知識。滿分14分。證明：（I）因為，所以.由條件，消去，得；由條件，消去，得，.故.（II）拋物線的頂點坐標為，在的兩邊乘以，得.又因為而所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根。故方程在內(nèi)有兩個實根.例8 若，恒成立，求的取值范圍。練習：方程有兩個不等實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。例9 （04上海理）已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).(1) 求函數(shù)f(x)的表達式；(2) 證明:當a3時,關(guān)于x的方程f(x)

13、= f(a) 有三個實數(shù)解.【解】(1)由已知,設(shè)f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, f1(x)= x2. 設(shè)f2(x)=(k0),它的圖象與直線y=x的交點分別為 A(,)B(,) 由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+. (2) 【證法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=x2+a2+. 在同一坐標系內(nèi)作出f2(x)=和f3(x)= x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)的圖象是以(0, a2+)為頂點,開口向下的拋物線. 因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個交點, 即

14、f(x)=f(a)有一個負數(shù)解. 又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+ 當a3時,. f3(2)f2(2)= a2+80, 當a3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f3(2)在f2(x)圖象的上方. f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解. 因此,方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解. 【證法二】由f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即(xa)(x+a)=0,得方程的一個解x1=a. 方程x+a=0化為ax2+a2x8=0, 由a3,=a4+32a0,得 x2=, x3=, x20, x1 x2,且x2 x3. 若x1= x3,

15、即a=,則3a2=, a4=4a, 得a=0或a=,這與a3矛盾, x1 x3. 故原方程有三個實數(shù)解.例10 設(shè)二次函數(shù)滿足條件：時，且；當時，；在R上的最小值是0。求的解析式答案：例11 已知，函數(shù)。（1）當b0時，若對任意都有，證明：；（2）當b1時，證明：對任意的，的充要條件是；（3）當時，討論：對任意的，的充要條件。2函數(shù)方程例 已知定義域為R的函數(shù)滿足 （I）若，求;又若，求; （II）設(shè)有且僅有一個實數(shù)，使得，求函數(shù)的解析表達式 例 對于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動點”，若，則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點”，函數(shù)f(x)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即，.(1). 求證：AB；(2).若，且，求實數(shù)a的取值范圍.證明(1).若A=，則AB 顯然成立；若A，設(shè)tA，則f(t)=t,f(f(t)=f(t)=t,即tB,從而 AB. 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即的實根. 由 A，知 a=0 或 即 B中元素是方程 即 的實根由AB，知上方程左邊含有一個因式，即方程可化為 因此，要A=B，即要方程 要么沒有實根，要么實根是方程