正比例函數(shù)與反比例函數(shù)

1、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)知識(shí)考點(diǎn)：1、掌握正、反比例函數(shù)的概念；2、掌握正、反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)；3、會(huì)用待定系數(shù)法求正、反比例函數(shù)的解析式。精典例題：【例1】填空：1、若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，則這個(gè)正比例函數(shù)的解析式是 。2、已知點(diǎn)P（1，）在反比例函數(shù)（0）的圖像上，其中（為實(shí)數(shù)），則這個(gè)函數(shù)的圖像在第 象限。3、如圖，正比例函數(shù)（0）與反比例函數(shù)的圖像交于A、C兩點(diǎn)，AB軸于B，CD軸于D，則 。 答案：1、；2、一、三；3、6；4、（2，4）【例2】如圖，直線（0）與雙曲線（0）在第一象限的一支相交于A、B兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且。（1）試用、表示C

2、、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若POD的面積等于1，試求雙曲線在第一象限的一支的函數(shù)解析式；（3）若OAB的面積等于，試求COA與BOD的面積之和。解析：（1）C（0，），D（，0） POPD ， P（，） （2），有，化簡(jiǎn)得：1 （0） （3）設(shè)A（，），B（，），由得：，又得，即得，再由得，從而，從而推出，所以。故評(píng)注：利用面積建立方程求解析式中的字母參數(shù)是常用方法。求兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，即解由它們的解析式組成的方程組。探索與創(chuàng)新：【問題】如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和軸、軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且OAOB1。這條曲線是函數(shù)的圖像在第一象限的一個(gè)分支，點(diǎn)P是這條曲線上任意一

3、點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（、），由點(diǎn)P向軸、軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點(diǎn)E、F。（1）分別求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，用的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)，只須寫出結(jié)果，不要求寫出計(jì)算過程）；（2）求OEF的面積（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）；（3）AOF與BOE是否一定相似，請(qǐng)予以證明。如果不一定相似或一定不相似，簡(jiǎn)要說明理由。（4）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí)，OEF隨之變動(dòng)，指出在OEF的三個(gè)內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個(gè)角的大小，并證明你的結(jié)論。解析：（1）點(diǎn)E（，），點(diǎn)F（，） （2） （3）AOF與BOE一定相似，下面給出證明OAOB1FAOEBOBEAF點(diǎn)P

4、（，）是曲線上一點(diǎn)，即AFBEOBOA1AOFBOE （4）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí)，OEF中EOF一定等于450，由（3）知，AFOBOE，于是由AFOBBOF及BOEBOFEOF EOFB450 評(píng)注：此題第（3）（4）問均為探索性問題，（4）以（3）為基礎(chǔ)，在肯定（3）的結(jié)論后，（4）的解決就不難了。在證明三角形相似時(shí)，EBOOAF是較明顯的，關(guān)鍵是證明兩夾邊對(duì)應(yīng)成比例，這里用到了點(diǎn)P（，）在雙曲線上這一重要條件，挖掘形的特征，并把形的因素轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)式形式是解本題的關(guān)鍵。跟蹤訓(xùn)練：一、選擇題：1、下列命題中：函數(shù)（25）的圖像是一條直線；若與成反比例，與成正比例，則與成反比例；如果一條

5、雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（，），那么它一定同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)（，）；如果P1（，），P2（，），是雙曲線同一分支上的兩點(diǎn)，那么當(dāng)時(shí)，。正確的個(gè)數(shù)有（ ）A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)2、已知M是反比例函數(shù)（0）圖像上一點(diǎn)，MA軸于A，若，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式是（ ） A、 B、C、或 D、或3、在同一坐標(biāo)系中函數(shù)和的大致圖像必是（ ） A B C D4、在反比例函數(shù)的圖像上有三點(diǎn)（，），（，），（，）若 0，則下列各式正確的是（ ） A、 B、C、 D、5、在同一坐標(biāo)系內(nèi)，兩個(gè)反比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像（ 為常數(shù)）具有以下對(duì)稱性：既關(guān)于軸，又關(guān)于軸成軸對(duì)稱，那么的值是（ ） A、3 B、2 C

6、、1 D、0二、填空題：1、若反比例函數(shù)在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，則 。2、A、B兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，A在雙曲線上，點(diǎn)B在直線上，則A點(diǎn)坐標(biāo)是 。3、已知雙曲線上有一點(diǎn)A（，），且、是方程的兩根，則 ，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是 。4、已知直線與雙曲線相交于點(diǎn)（，2），那么它們的另一個(gè)交點(diǎn)為 。5、如圖，RtAOB的頂點(diǎn)A是一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像在第二象限的交點(diǎn)，且，則A點(diǎn)坐標(biāo)是 。三、解答題：1、如圖，直線交軸、軸于點(diǎn)A、B，與反比例函數(shù)的圖像交于C、D兩點(diǎn)，如果A（2，0），點(diǎn)C、D分別在一、三象限，且OAOBACBD，求反比例函數(shù)的解析式。 2、已知，與成正比例，與成反比例，當(dāng)1時(shí)，3；當(dāng)2時(shí)，3，（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，求的值。3、如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)。（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求AOB的面積。4、如圖，已知雙曲線（0）與經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（0，1）的直線交于P、Q兩點(diǎn)，連結(jié)OP、OQ。（1）求證：OAQOBP；（2）若C是OA上不與O、A重合的任意一點(diǎn)，CA，CDAB于D，DEOB于E。為何值時(shí)，CEAC？線段OA上是否存在點(diǎn)C，使CEAB？若存在這樣的點(diǎn)，則請(qǐng)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。參考答案一、選擇題：C