橢圓與雙曲線常見題型總結(jié)附答案

1、 橢圓與雙曲線常見題型歸納題型一：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對(duì)稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。例題1、過點(diǎn)T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說明理由。分析：過點(diǎn)T(-1,0)的直線和曲線N ：相交A、B兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運(yùn)用韋達(dá)定理，得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直和中點(diǎn)，寫出垂直平分線的方程，得出E點(diǎn)坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：

2、中線長是邊長的倍。運(yùn)用弦長公式求弦長。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得即 由韋達(dá)定理，得：。則線段AB的中點(diǎn)為。線段的垂直平分線方程為：令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。解得滿足式此時(shí)。思維規(guī)律：直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k，利用韋達(dá)定理法，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截距的坐標(biāo)；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長的倍，將k確定，進(jìn)而求出的坐標(biāo)。例題2、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過點(diǎn)O、F，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)

3、，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。分析：第一問求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的距離；第二問，過定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于0，設(shè)出弦AB所在的直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由弦AB的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)，再有弦AB的斜率，得到線段AB的垂直平分線的方程，就可以得到點(diǎn)G的坐標(biāo)。 解：(I) a2=2，b2=1，c=1，F(xiàn)(-1，0)，l:x=-2.圓過點(diǎn)O、F,圓心M在直線x=-設(shè)M(-)，則圓半徑：r=|(-)-(-2)|=由|OM|=r，得，解得t=，所求圓的方程為(x+

4、)2+(y)2=.(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F， 方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)，則x1+x1=-AB垂直平分線NG的方程為令y=0，得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（）。技巧提示：直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k，利用韋達(dá)定理，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，韋達(dá)定理就是同類坐標(biāo)變換的技巧，是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技巧之第一個(gè)技巧。再利用垂直關(guān)系將弦AB的垂直平分線方程寫出來，就求出了橫截

5、距的坐標(biāo)（關(guān)于k的函數(shù)）。直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題，就是函數(shù)的值域問題。練習(xí)1：已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關(guān)系式，再根據(jù)“過點(diǎn)”得到的第2個(gè)關(guān)系式，解方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過判別式得出的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得出弦MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn)，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就

6、可以求出k的取值范圍。解：（）離心率，即（1）；又橢圓過點(diǎn)，則，（1）式代入上式，解得，橢圓方程為。（）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，即（1）由韋達(dá)定理得：，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。老師支招：如果只說一條直線和橢圓相交，沒有說直線過點(diǎn)或沒給出直線的斜率，就直接設(shè)直線的方程為：，再和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，就能找到解決問題的門路。本題解決過程中運(yùn)用了兩大解題技巧：與韋達(dá)定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換技巧，與點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)有關(guān)的同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換技巧。解決直線和圓錐曲線的問題的關(guān)鍵就是充分、靈活的運(yùn)用這兩大解題技巧。

7、練習(xí)2、設(shè)、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由分析：由得，點(diǎn)C、D關(guān)于過的直線對(duì)稱，由直線l過的定點(diǎn)A(5,0)不在的內(nèi)部，可以設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組，得一元二次方程，根據(jù)判別式，得出斜率k的取值范圍，由韋達(dá)定理得弦CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由點(diǎn)M和點(diǎn)F1的坐標(biāo)，得斜率為，解出k值，看是否在判別式的取值范圍內(nèi)。解：假設(shè)存在直線滿足題意，由題意知，過A的直線的斜率存在，且不等于。設(shè)直線l的方程為：，C、D，CD的中點(diǎn)M。由得：，又直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，則，即。由韋達(dá)定理得：，則，M(，)。又點(diǎn)，則直

8、線的斜率為，根據(jù)得：，即，此方程無解，即k不存在，也就是不存在滿足條件的直線。老師提醒：通過以上2個(gè)例題和2個(gè)練習(xí)，我們可以看出，解決垂直平分線的問題，即對(duì)稱問題分兩步：第一步，有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過判別式得不等式，由韋達(dá)定理得出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步是利用垂直關(guān)系，得出斜率之積為-1，或者是利用中點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸直線的斜率，寫出垂直平分線的方程，就可以解決問題。需要注意的一點(diǎn)是，求出的參數(shù)一定要滿足判別式。題型二：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西，其中一些性質(zhì)是和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對(duì)這樣的一些性質(zhì)，我們必須了如指掌，并且必

9、須會(huì)證明。隨著幾何畫板的開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器證明幾何問題，好多以前我們不知道的、了解不深入的幾何或代數(shù)性質(zhì)，都如雨后春筍般的出來了，其中大部分都有可以遵循的規(guī)律，高考出題人，也得設(shè)計(jì)好思維，讓我們在他們設(shè)好的路上“走”出來。下面我們就通過幾個(gè)考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。例題3、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。分析：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線P

10、A1、PA2的方程，直線PA1和橢圓交點(diǎn)是A1(-2,0)和M，通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA1、PA2的方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t2，就可以了，否則就不存在。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根，則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡

11、后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(-2,0)的橫坐標(biāo)2是方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)用同類坐標(biāo)變換，得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)：，再利用直線A1M的方程通過同點(diǎn)的坐標(biāo)變換，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)：；其實(shí)由消y整理得，得到，即，很快。不過如果看到：將中的換下來，前的系數(shù)2用2換下來，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少，這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算量。 本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。另外：也可以直

12、接設(shè)P(t，y0)，通過A1，A2的坐標(biāo)寫出直線PA1，PA2的直線方程，再分別和橢圓聯(lián)立，通過韋達(dá)定理求出M、N的坐標(biāo)，再寫出直線MN的方程。再過點(diǎn)F，求出t值。例題4、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，并且橢圓的右頂點(diǎn)和A、B的連線互相垂直，證明直線過定點(diǎn)，就是通過垂直建立k、m的一次函

13、數(shù)關(guān)系。解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（II）設(shè)，由得，（注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換）以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且，解得，且滿足當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為名師經(jīng)驗(yàn)：在直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題中，以弦為直徑的圓經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)，就是“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”，也就是定點(diǎn)和弦的兩端點(diǎn)連線互相垂直，得斜率之積為，建立等式。直線不過定點(diǎn)，也不知道斜率，設(shè)出，是經(jīng)常用的一招，在第二講中就遇到了這樣設(shè)的直線。練習(xí)：直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：以AB為直

14、徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)O，則OAOB，若設(shè)，則，再通過，將條件轉(zhuǎn)化為，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計(jì)算判別式后，可以得到，解出k、m的等式，就可以了。解：設(shè)，由得，（這里消x得到的）則（1）由韋達(dá)定理，得：，則，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)O，則OAOB，即，可得，則，即，又，則，且使（1）成立，此時(shí)，直線恒過點(diǎn)。名師指點(diǎn)：這個(gè)題是課本上的很經(jīng)典的題，例題5、（07山東理）就是在這個(gè)題的基礎(chǔ)上，由出題人遷移得到的，解題思維都是一樣的，因此只要能在平時(shí)，把我們騰飛學(xué)校老師講解的內(nèi)容理解透，在高考中考取140多分，應(yīng)該不成問題。 本題解決過程中，有一個(gè)消元技巧，就是直線和拋物線聯(lián)立時(shí)，要消去一次項(xiàng)，計(jì)

15、算量小一些，也運(yùn)用了同類坐標(biāo)變換韋達(dá)定理，同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)變換-直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo)。其實(shí)解析幾何就這么點(diǎn)知識(shí)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？題型三：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題若直線過的定點(diǎn)在已知曲線上，則過定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題。下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。例題5、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，求直線PQ的斜率。

16、解：(I) ，且BC過橢圓的中心O又點(diǎn)C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點(diǎn)，則橢圓方程為：將點(diǎn)C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個(gè)根，即同理可得： 則直線PQ的斜率為定值。方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用是方程的根，易得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)：，再將其中的k用-k換下來，就得到了點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)：，這樣計(jì)算量就減少了許多，在考場上就節(jié)省了大量的時(shí)間。接下來，如果分別利用直線PC、Q

17、C的方程通過坐標(biāo)變換法將點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)也求出來，計(jì)算量會(huì)增加許多。直接計(jì)算、，就降低了計(jì)算量?？傊绢}有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點(diǎn)的直線和曲線相交，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計(jì)算量，達(dá)到節(jié)省時(shí)間的目的。練習(xí)1、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程

18、為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個(gè)根則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(-2,0)的橫坐標(biāo)2是方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)：，利用直線A1M的方程通過坐標(biāo)變換，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)：；再將中的換下來，前的系數(shù)2用2換下來，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少許多，并且也不易出錯(cuò)，在這里減少計(jì)算量是本題的重點(diǎn)。否則，大家很容易陷入繁雜的運(yùn)算中，并且算錯(cuò)，費(fèi)時(shí)耗精力，希望

19、同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)其中的精髓。 本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。練習(xí)2、：（2009遼寧卷文、理）已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。分析：第一問中，知道焦點(diǎn)，則 ，再根據(jù)過點(diǎn)A，通過解方程組，就可以求出 ，求出方程。第二問中，設(shè)出直線AE的斜率k，寫出直線的方程，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)

20、化成一元二次方程，由韋達(dá)定理和點(diǎn)A的坐標(biāo)，可以求出點(diǎn)E的坐標(biāo),將點(diǎn)E中的k,用-k換下來，就可以得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，通過計(jì)算yE-yF，xE-xF，就可以求出直線EF的斜率了解：（）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為 ，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程： ，解得 ， （舍去）所以橢圓方程為 。 （）設(shè)直線AE方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分老師總結(jié)：此類題的關(guān)鍵就是定點(diǎn)在曲線上，定點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的根，通過韋達(dá)定理，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出，在根據(jù)斜率互為相反數(shù)，就可以直接求出第二動(dòng)點(diǎn)的坐

21、標(biāo)，最后由斜率公式，可以求出斜率為定值。題型四：共線向量問題解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達(dá)定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。例題7、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點(diǎn)，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：由可以得到，將P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示出來。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即方法一：方程組消元法又P、Q是橢圓+=1上的點(diǎn)消去x2，可得即y2=又2y22，22解之得：則實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方

22、程為：，由消y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點(diǎn)即 由韋達(dá)定理得：即 由得，代入，整理得，解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即時(shí)，易知或。總之實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法總結(jié)：通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法，比較簡單，第二種方法是通性通法，但計(jì)算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計(jì)算量較大，計(jì)算繁瑣，考生必須有較強(qiáng)的意志力和極強(qiáng)的計(jì)算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強(qiáng)的思維能力，在命題人設(shè)計(jì)的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。例題8：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為（1）

23、求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求的值分析：（07福建理科）如圖，已知點(diǎn)（1，0），直線l：x1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)，且（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程；（）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知，求的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分.解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡得.（）設(shè)直線的方程為： .設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡

24、的方程為：.（）由已知，得.則：.過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：.由得：，即.練習(xí)：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線l交x軸于點(diǎn)，較y軸于點(diǎn)M，若，求直線l的方程山東2006理雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線y=為C的一條漸近線。（I） 求雙曲線C的方程；(II)過點(diǎn)P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合）。當(dāng)，且時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零。設(shè)的方程：，則在雙曲線上，同理有：若則直線過頂點(diǎn)，不合題意.是

25、二次方程的兩根.，此時(shí).所求的坐標(biāo)為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，則.，分的比為.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程：，則.，.，又，即將代入得，否則與漸近線平行。解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，則,。同理.即（*）又消去y得.當(dāng)時(shí)，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。由韋達(dá)定理有：代入（*）式得所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。練習(xí)：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，弦PA、PB分別過焦點(diǎn)F1、F2，（PA、PB都

26、不與x軸垂直，其點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不為0），若，求的值。解：（1）設(shè)橢圓C的方程為：，則b=1，由，得，則橢圓的方程為：（2）由得：，設(shè)，有得：解得：，根據(jù)PA、PB都不與x軸垂直，且，設(shè)直線PA的方程為：，代人，整理后，得：根據(jù)韋達(dá)定理，得：，則，從而，同理可求則由為橢圓上一點(diǎn)得：，則，故的值為18.題型五：面積問題例題8、（07陜西理）已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。（1）當(dāng)軸時(shí)，。（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)

27、，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)，綜上所述。當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值。練習(xí)1、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積為。（）求在，的條件下，的最大值；（）當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程。本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。解：（）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最在值1，（）解：由得 設(shè)到的距離為，則又因?yàn)樗源胧讲⒄?，得解得，代入式檢驗(yàn)，。故直線的方程是。練習(xí)2、（山東06文）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的

28、短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4。()求橢圓的方程；()直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。解：設(shè)橢圓方程為（I）由已知得 所求橢圓方程為（II）解法一：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由 消去y得關(guān)于x的方程：由直線l與橢圓相交A、B兩點(diǎn)，解得，又由韋達(dá)定理得 .原點(diǎn)O到直線l的距離解法1：對(duì)兩邊平方整理得： （*） ， 整理得：又，.從而的最大值為，此時(shí)代入方程（*）得所以，所求直線方程為： .解法2：令，則， .當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，此時(shí).所以，所求直線方程為 .解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)直

29、線l的方程為，則直線l與x軸的交點(diǎn)由解法一知：且 解法1： 下同解法一解法2： 下同解法一已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，為其焦點(diǎn)，一直線過點(diǎn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的最大面積為，求橢圓的方程。解：由得，所以橢圓方程設(shè)為設(shè)直線，由 得：設(shè)，則是方程的兩個(gè)根由韋達(dá)定理得 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即軸時(shí)取等號(hào) 所以，所求橢圓方程為題型六：弦或弦長為定值問題例題9、（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于A、B兩點(diǎn)。（）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦

30、長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力.解法1：（）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線

31、.解法2：（）前同解法1，再由弦長公式得又由點(diǎn)到直線的距離公式得.從而，（）假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為將直線方程y=a代入得設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P（x2,y2）,Q（x4,y4）,則有令為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為.即拋物線的通徑所在的直線。練習(xí)、（山東09理）（22）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理

32、由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為

33、或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.題型七：角度問題例題9、（08重慶理）如圖（21）圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：（）求點(diǎn)P的軌跡方程；（）若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：()由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長軸長2a=6的橢圓. 因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=， 所以橢圓的方程為 ()由得 因?yàn)椴粸闄E圓長軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成三角形.在

34、PMN中， 將代入，得 故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線上. 由()知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足，所以 由方程組 解得 即P點(diǎn)坐標(biāo)為練習(xí)1、（05福建理）已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(diǎn)（0，2）和橢圓C：(ab0)的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.（）求橢圓C的方程；（）是否存在過點(diǎn)E（2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cotMON0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識(shí)，平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力.滿分14分.（I）解法一：直線， 過原點(diǎn)垂直的直線方程為， 解得橢圓中心O（0，

35、0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓C的方程為 解法二：直線.設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3.橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上， 直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓C的方程為 （II）解法一：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入，整理得 點(diǎn)O到直線MN的距離即 即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足.故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或解法二：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線m：y=k(x+2)代入，整理得 E（2，0）是橢圓C的左焦點(diǎn)，|MN|=

36、|ME|+|NE|=以下與解法一相同.解法三：設(shè)M（），N（）.設(shè)直線，代入，整理得 |y1-y2|=即 =，整理得解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線方程為所以所求直線方程為或或練習(xí)2、（07四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理計(jì)算能力。解：（）解法一：易知所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，

37、設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或練習(xí)3、（08陜西理）已知拋物線：，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)（）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；（）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由解法一：（）如圖，設(shè)，把代入得，xAy112MNBO由韋達(dá)定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，將代入上式得，直線與拋物線相切，即（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，又是的中點(diǎn)，由（）知軸，又 ，解得即存在，使解法二：（）如圖，設(shè)，把代入得由韋達(dá)定理得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使由（）

38、知，則，解得即存在，使問題八：四點(diǎn)共線問題例題10、（08安徽理）設(shè)橢圓過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上22解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結(jié)合（3），（4）得即點(diǎn)總在定直線上方法二設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得 （3） (4)(

39、4)(3) 得 即點(diǎn)總在定直線上問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）例題1、已知直線相交于A、B兩點(diǎn)。 （1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長； （2）若向量互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率時(shí)，求橢圓的長軸長的最大值。（07四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理計(jì)算能力。解：（）解法一：易知所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)

40、為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或（山東09理）（22）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有

41、兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: （2009湖南卷文）（本小題滿分13分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的

42、四邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為Q）.（）求橢圓C的方程;（）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍。解: （）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程為 .（）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G， 由得. 由解得. 因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，于?=， .因?yàn)椋渣c(diǎn)G不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 即 亦即 解得，此時(shí)也成立.故直

43、線斜率的取值范圍是問題十一、存在性問題：（存在點(diǎn)，存在直線y=kx+m，存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】