高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識提綱(必修5+2)[1]_第1頁
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文檔簡介

1、200708學(xué)年高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)知識提綱一、高中數(shù)學(xué)必修5知識點(一)解三角形:1、正弦定理:在中,、分別為角、的對邊,則有(為的外接圓的半徑)2、正弦定理的變形公式:,;,;3、三角形面積公式:4、余弦定理:在中,有,推論:(二)數(shù)列:1.數(shù)列的有關(guān)概念:(1) 數(shù)列:按照一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是有序的。數(shù)列是定義在自然數(shù)N*或它的有限子集1,2,3,n上的函數(shù)。(2) 通項公式:數(shù)列的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個公式來表示,這個公式即是該數(shù)列的通項公式。如: 。(3) 遞推公式:已知數(shù)列an的第1項(或前幾項),且任一項an與他的前一項an-1(或前幾項)可以用一個公式來表示,這

2、個公式即是該數(shù)列的遞推公式。如: 。2數(shù)列的表示方法:(1) 列舉法:如1,3,5,7,9, (2)圖象法:用(n, an)孤立點表示。 (3) 解析法:用通項公式表示。 (4)遞推法:用遞推公式表示。3數(shù)列的分類:4數(shù)列an及前n項和之間的關(guān)系: 5等差數(shù)列與等比數(shù)列對比小結(jié):等差數(shù)列等比數(shù)列一、定義二、公式1212三、性質(zhì)1,稱為與的等差中項2若(、), 則3,成等差數(shù)列1,稱為與的等比中項2若(、),則3,成等比數(shù)列(三)不等式1、;2、不等式的性質(zhì): ; ; ;,; ;小結(jié):代數(shù)式的大小比較或證明通常用作差比較法:作差、化積(商)、判斷、結(jié)論。 在字母比較的選擇或填空題中,常采用特值法

3、驗證。3、一元二次不等式解法:(1)化成標(biāo)準(zhǔn)式:;(2)求出對應(yīng)的一元二次方程的根;(3)畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象; (4)根據(jù)不等號方向取出相應(yīng)的解集。線性規(guī)劃問題:1了解線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行域、可行解、最優(yōu)解2線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題3解線性規(guī)劃實際問題的步驟:(1)將數(shù)據(jù)列成表格;(2)列出約束條件與目標(biāo)函數(shù);(3)根據(jù)求最值方法:畫:畫可行域;移:移與目標(biāo)函數(shù)一致的平行直線;求:求最值點坐標(biāo);答;求最值; (4)驗證。兩類主要的目標(biāo)函數(shù)的幾何意義:-直線的截距;-兩點的距離或圓的半徑;4、均值定理: 若,則,即 ;稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù),

4、稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù)5、均值定理的應(yīng)用:設(shè)、都為正數(shù),則有若(和為定值),則當(dāng)時,積取得最大值若(積為定值),則當(dāng)時,和取得最小值注意:在應(yīng)用的時候,必須注意“一正二定三等”三個條件同時成立。錯例分析:錯解原因:二、高中數(shù)學(xué)必修2知識點一、直線與方程(1)直線的傾斜角定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0180(2)直線的斜率定義:傾斜角不是90的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時,; 當(dāng)時,; 當(dāng)時,不存在。過兩點的直線的

5、斜率公式: 注意下面四點:(1)當(dāng)時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90;(2)k與P1、P2的順序無關(guān);(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得;(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。(3)直線方程點斜式:直線斜率k,且過點注意:當(dāng)直線的斜率為0時,k=0,直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1。斜截式:,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b兩點式:()直線兩點,截矩式:其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。一般式:(A,B不

6、全為0)注意:各式的適用范圍 特殊的方程如:平行于x軸的直線:(b為常數(shù)); 平行于y軸的直線:(a為常數(shù)); (5)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線(一)平行直線系平行于已知直線(是不全為0的常數(shù))的直線系:(C為常數(shù))(二)過定點的直線系()斜率為k的直線系:,直線過定點;()過兩條直線,的交點的直線系方程為(為參數(shù)),其中直線不在直線系中。(6)兩直線平行與垂直當(dāng),時,;注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否。(7)兩條直線的交點 相交交點坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解 ; 方程組有無數(shù)解與重合(8)兩點間距離公式:設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點,則 (9)點到直

7、線距離公式:一點到直線的距離(10)兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點,再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。二、圓的方程1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓,定點為圓心,定長為圓的半徑。2、圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心,半徑為r;(2)一般方程當(dāng)時,方程表示圓,此時圓心為,半徑為當(dāng)時,表示一個點; 當(dāng)時,方程不表示任何圖形。(3)求圓方程的方法:一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F(xiàn);另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點,以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系

8、:直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況,基本上由下列兩種方法判斷:(1)設(shè)直線,圓,圓心到l的距離為,則有;(2)設(shè)直線,圓,先將方程聯(lián)立消元,得到一個一元二次方程之后,令其中的判別式為,則有;注:如果圓心的位置在原點,可使用公式去解直線與圓相切的問題,其中表示切點坐標(biāo),r表示半徑。 (3)過圓上一點的切線方程:圓x2+y2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為 (課本命題)圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點為(x0,y0),則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)4、圓與圓的位置關(guān)系:通過兩圓半徑的和(差

9、),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。設(shè)圓,兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。當(dāng)時兩圓外離,此時有公切線四條;當(dāng)時兩圓外切,連心線過切點,有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條;當(dāng)時兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;當(dāng)時,兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點,只有一條公切線;當(dāng)時,兩圓內(nèi)含; 當(dāng)時,為同心圓。三、立體幾何初步1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱:定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示:用各頂點字母,如五

10、棱柱或用對角線的端點字母,如五棱柱幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。(2)棱錐定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示:用各頂點字母,如五棱錐幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。(3)棱臺:定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示:用各頂

11、點字母,如五棱臺幾何特征:上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征:底面是全等的圓;母線與軸平行;軸與底面圓的半徑垂直;側(cè)面展開圖是一個矩形。(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征:底面是一個圓;母線交于圓錐的頂點;側(cè)面展開圖是一個扇形。(6)圓臺:定義:用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分幾何特征:上下底面是兩個圓;側(cè)面母線交于原圓錐的頂點;側(cè)面展開圖是一個弓形。(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)

12、軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征:球的截面是圓;球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長度和寬度;側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法斜二測畫法特點:原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為

13、幾何體各個面的面積的和。(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長,h為高,為斜高,l為母線) (3)柱體、錐體、臺體的體積公式 (4)球體的表面積和體積公式:V= ; S=4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系(1)平面 平面的概念: A.描述性說明; B.平面是無限伸展的; 平面的表示:通常用希臘字母、表示,如平面(通常寫在一個銳角內(nèi));也可以用兩個相對頂點的字母來表示,如平面BC。 點與平面的關(guān)系:點A在平面內(nèi),記作;點不在平面內(nèi),記作點與直線的關(guān)系:點A的直線l上,記作:Al; 點A在直線l外,記作Al;直線與平面的關(guān)系:直線l在平面內(nèi),記作l;直線l不在平面內(nèi),記作l。(2)公理1:如果一條

14、直線的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。(即直線在平面內(nèi),或者平面經(jīng)過直線)應(yīng)用:檢驗桌面是否平; 判斷直線是否在平面內(nèi)用符號語言表示公理1:(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面。推論:一直線和直線外一點確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用:它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)(4)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號:平面和相交,交線是a,記作a。符號語言:公理3的作用:它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系:交線必過

15、公共點。它可以判斷點在直線上,即證若干個點共線的重要依據(jù)。(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交。 異面直線判定:過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角:直線a、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線aa,bb,則把直線a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0,90,若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明:(1)判定空間直線是異面直線方法:根據(jù)異面直線的定

16、義;異面直線的判定定理(2)在異面直線所成角定義中,空間一點O是任取的,而和點O的位置無關(guān)。求異面直線所成角步驟:A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時平移到某個特殊的位置,頂點選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角(7)等角定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補。(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點三種位置關(guān)系的符號表示:a aA a(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行沒有公共點;相交有一條公共直線。b5、空間中的平行問題(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理:平面外一條直線與此

17、平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理(1)如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行(線面平行面面平行),(2)如果在兩個平面內(nèi),各有兩組相交直線對應(yīng)平行,那么這兩個平面平行。(線線平行面面平行),(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行,兩個平面平行的性質(zhì)定理(1)如果兩個平面平行,那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。(面面平行線面平行)(2)如果兩個平行平面都和第三個

18、平面相交,那么它們的交線平行。(面面平行線線平行)7、空間中的垂直問題(1)線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直:如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直:如果兩個平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個平面垂直。(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。面

19、面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。9、空間角問題(1)直線與直線所成的角兩平行直線所成的角:規(guī)定為。兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角:過空間任意一點O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。(2)直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角:規(guī)定為。 平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為。平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計算”。在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線,在解題時,注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息:(1)斜線上一點到面的垂線;(2)

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