空間中的垂直關(guān)系帶答案

1、空間中的垂直關(guān)系 專題訓(xùn)練知識(shí)梳理一、線線垂直：如果兩條直線 于一點(diǎn)或經(jīng)過 后相交于一點(diǎn)，并且交角為 ，則稱這兩條直線互相垂直.二、線面垂直：1.定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，并 且和這個(gè)平面內(nèi)的_，則稱這條直線和這個(gè)平面垂直. 也就是說，如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么他就和平面內(nèi)任意一條直線都 .直線l和平面互相垂直，記作l.2.判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的 直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直.推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也 于這個(gè)平面.推論：如果兩條直線 同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.3.點(diǎn)到平面的距離： 長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到平面的距離.三、面面垂直：1

2、.定義：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面 ，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線 ，就稱這兩個(gè)平面互相垂直.平面，互相垂直，記作.2.判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的_，則這兩個(gè)平面互相垂直.3.性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于 直線垂直于另一個(gè)平面.四、求點(diǎn)面距離的常用方法： 1.直接過點(diǎn)作面的垂線，求垂線段的長(zhǎng)，通常要借助于某個(gè)三角形.2.轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點(diǎn)轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點(diǎn)到平面的距離來求解.3.體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解.題型一 線線垂直、線面垂直的判定及性質(zhì)例1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACC

3、D，ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).求證：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【變式1】已知：正方體ABCDA1B1C1D1 ，AA1=2，E為棱CC1的中點(diǎn)（ ） 求證：B1D1AE；（ ） 求證：AC平面B1DE【解答】（）連接BD，則BDB1D1，ABCD是正方形，AC BDCE平面ABCD，BD平面ABCD，CEBD又ACCE=C，BD面ACEAE面ACE，BDAE，B1D1AE（5分）（）證明：取BB1的中點(diǎn)F，連接AF、CF、EF E、F是C1C、B1B的中點(diǎn)， CEB1F且CE=B1F， 四邊形B1FCE是平行四邊形， CF B1E 正方形BB1C1C中，E、F

4、是CC、BB的中點(diǎn)， EFBC且EF=BC又 BCAD且BC=AD， E FAD且EF=AD 四邊形ADEF是平行四邊形，可得AFED， AFCF=C，BEED=E， 平面ACF平面B1DE 又 AC平面ACF，AC面B1DE 【變式2】如圖，已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC=60，點(diǎn)E、G分別是CD、PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PD上，且PF：FD=2：1（ ）證明：EA PB；（ ）證明：BG 面AFC【解答】（）證明：因?yàn)槊鍭BCD為菱形，且ABC=60，所以 ACD為等邊三角形，又因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以EAAB又PA平面ABCD，所以EAPA 而ABPA=A所

5、以EA面PAB，所以EAPB （）取PF中點(diǎn)M，所以PM=MF=FD連接MG，MGCF，所以MG面AFC 連接BM，BD，設(shè)ACBD=O，連接OF，所以BMOF，所以BM面AFC而BMMG=M所以面BGM面AFC，所以BG面AFC 【變式3】如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O平面ABCD，AB=，AA1=2（1）證明：AA1 BD（2）證明：平面A1BD平面CD1B1；（3）求三棱柱ABDA1B1D1的體積【解答】（1）證明：底面ABCD是正方形， BDAC，又 A1O平面ABCD且BD面ABCD， A1OBD，又 A1OAC=O，A1O面A1AC

6、，AC面A1AC， BD面A1AC，AA1面A1AC， AA1BD（2） A1B1AB，ABCD， A1B1CD，又A1B1=CD， 四邊形A1B1CD是平行四邊形， A1DB1C，同理A1BCD1， A1B平面A1BD，A1D平面A1BD，CD1平面CD1B1，B1C平面CD1B，且A1BA1D=A1，CD1B1C=C， 平面A1BD平面CD1B1（3） A1O面ABCD， A1O是三棱柱A1B1D1ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1在RtA1OA中，AA1=2，AO=1， A1O=， V三棱柱ABDA1B1D1=SABDA1O=（）2= 三棱柱ABDA1B1D1的體積為【變式4】如圖

7、，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1 底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，點(diǎn)F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中點(diǎn)（1）求證：AE平面BCC1B1（2）求四棱錐AB1C1FE的體積；（3）證明：B1EAF【解答】（1） AB=AC，E是BC的中點(diǎn)， AE BC在三棱柱ABCA1B1C1，中，BB1 AA1， BB1 平面ABC， AE平面ABC， BB1 AE，（2分）又 BB1BC=B，（3分）BB1，BC平面BB1C1C， AE平面BB1C1C，（4分）（2）由（1）知，即AE為四棱錐AB1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，在正方形BB1C1C，中，CE=

8、BE=2，CF=1，=SCFE=4=11（6分）=AE=（7分）（3）證明：連結(jié)B1F，由（1）得AE平面BB1C1C， B1E平面BB1C1C，AEB1E，（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F=5，B1E=2，EF=， B1F2=B1E2+EF2， B1EEF（9分）又 AEEF=E，（10分）AE，EF平面AEF， B1E平面AEF，（11分） AF平面AEF， B1EAF（12分）【變式5】如圖，四棱錐PABCD中，PD 平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=PD=2，E為PC的中點(diǎn)，G在BC上，且CG=CB（1）求證：PC BC；（2）求三棱錐CDEG的體積；（3）AD邊上是否

9、存在一點(diǎn)M，使得PA平面MEG？若存在，求AM的長(zhǎng)；否則，說明理由【解答】（1）證明：PD平面ABCD，PDBC又ABCD是正方形，BCCD又PDCD=D，BC平面PCD又PC平面PCD， PCBC（2） BC平面PCD， GC是三棱錐GDEC的高 E是PC的中點(diǎn)， SEDC=SPDC=（22）=1VCDEG=VGDEC=GCSDEC=1=（3）連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)EO、GO，延長(zhǎng)GO交AD于點(diǎn)M，則PA平面MEG證明：E為PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，EOPA又EO平面MEG，PA平面MEG，PA平面MEG在正方形ABCD中，O是AC的中點(diǎn)，BC=PD=2，CG=CBOCGOAM，AM

10、=CG=，所求AM的長(zhǎng)為【變式6】如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面A1B1C1，A1B1B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D為AC的中點(diǎn)（ ）求證：A1BAC1（ ）在直線CC1上是否存在一點(diǎn)E，使得A1E平面A1BD，若存在，試確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】（）證明：連接AB1 BB1平面A1B1C1 B1C1BB1 B1C1A1B1且A1B1BB1=B1 B1C1平面A1B1BA A1BB1C1 . 又 A1BAB1且AB1B1C1=B1A1B平面AB1C1 A1BAC1 （）存在點(diǎn)E在CC1的延長(zhǎng)線上且CE=2CC1時(shí)，A1E平面A1BD設(shè)AB=a，C

11、E=2a， ， ，DE=， ，A1EA1D BDAC，BDCC1，ACCC1=C， BD平面ACC1A1 ， 又A1E平面ACC1A1 A1E BD. 又BDA1D=D ， A1E平面A1BD 【變式7】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)（1）求證：AC BC1； （2）求證：AC1 平面CDB1【解答】證明：（1）因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1為直三棱柱，所以C1C 平面ABC，所以C1CAC又因?yàn)锳C=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以ACBC又C1CBC=C，所以AC 平面CC1B1B，所以AC BC1（2）連結(jié)C1B

12、交CB1于E，再連結(jié)DE，由已知可得E為C1B的中點(diǎn)，又D為AB的中點(diǎn)，DE為BAC1的中位線AC1DE。又DE平面CDB1，AC1平面CDB1AC1平面CDB1【變式8】如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中點(diǎn)，CDB1D（1）證明：CD B1C1；（2）平面CDB1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比【解答】（1）證明：由題設(shè)知，直三棱柱的側(cè)面為矩形，由D為AA1的中點(diǎn)，則DC=DC1，又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，則CD DC1，而CD B1D，B1DDC1=D，則CD 平面B1C1D，由于B1C1平面B1C1D，故CD B1C1；

13、（2）解：由（1）知，CDB1C1，且B1C1C1C，則B1C1平面ACC1A1，設(shè)V1是平面CDB1上方部分的體積，V2是平面CDB1下方部分的體積，則V1=VB1CDA1C1=SCDA1C1B1C1=B1C13=B1C13，V=VABCA1B1C1=ACBCCC1=B1C13，則V2=VV1=B1C13=V1，故這兩部分體積的比為1：1【變式9】如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，已知底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為1，點(diǎn)E在B1B上，且滿足B1E=2EB（1）求證：D1EA1C1；（2）在棱B1C1上確定一點(diǎn)F，使A、E、F、D1四點(diǎn)共面，并求此時(shí)B1F的長(zhǎng)；（3）求幾何體ABED

14、1D的體積【解答】（）證明：連結(jié)B1D1因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1為正方形，所以A1C1B1D1在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，DD1平面A1B1C1D1，又A1C1平面A1B1C1D1，所以DD1A1C1因?yàn)镈D1B1D1=D1，DD1平面BB1D1D，B1D1平面BB1D1D，所以A1C1平面BB1D1D又D1E平面BB1D1D，所以D1EA1C1（4分）（）解：連結(jié)BC1，過E作EFBC1交B1C1于點(diǎn)F因?yàn)锳D1BC1，所以AD1EF所以A、E、F、D1四點(diǎn)共面即點(diǎn)F為滿足條件的點(diǎn)又因?yàn)锽1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以（8分）（）解：四邊形BED1D為直角梯形，幾何體AB

15、ED1D為四棱錐ABED1D因?yàn)?，點(diǎn)A到平面BED1D的距離h=，所以幾何體ABED1D的體積為：=（13分）題型二 面面垂直的判定例2.如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，ABC為正三角形，D、E分別是BC、CA的中點(diǎn).（1）求證：平面PBE平面PAC；（2）如何在BC上找一點(diǎn)F，使AD平面PEF？并說明理由.【變式1】如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD證明：平面AEC平面BED.【解答】證明：（）四邊形ABCD為菱形，ACBD，BE平面ABCD，ACBE，則AC平面BED，AC平面AEC，平面AEC平面BED；【變式2】如圖，三棱臺(tái)DEFABC中，A

16、B=2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)（1）求證：BD平面FGH；（2）若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH【解答】在三棱臺(tái)DEFABC中，AB=2DE，G為AC的中點(diǎn)，四邊形CFDG是平行四邊形，DM=MC又BH=HC，MHBD，又BD平面FGH，MH平面FGH，BD平面FGH；證法二：在三棱臺(tái)DEFABC中，AB=2DE，H為BC的中點(diǎn)，四邊形BHFE為平行四邊形BEHF在ABC中，G為AC的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，GHAB，又GHHF=H，平面FGH平面ABED，BD平面ABED，BD平面FGH（II）證明：連接HE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)，GHAB，ABBC，GHBC

17、，又H為BC的中點(diǎn)，EFHC，EF=HCEFCH是平行四邊形，CFHECFBC，HEBC又HE，GH平面EGH，HEGH=H，BC平面EGH，又BC平面BCD，平面BCD平面EGH【變式3】如圖所示，已知AB 平面BCD，M、N分別是AC、AD的中點(diǎn)，BCCD求證：平面BCD平面ABC【解答】因?yàn)锳B平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD又CDBC，ABBC=B，所以CD平面ABC又CD平面BCD，所以平面BCD平面ABC【變式4】如圖，已知在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)（1）求證：平面E

18、FG平面PAD；（2）若M是線段CD上一點(diǎn)，求三棱錐MEFG的體積【解答】（1）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CDADCD平面PAD（3分）又PCD中，E、F分別是PD、PC的中點(diǎn)，EFCD，可得EF平面PADEF平面EFG，平面EFG平面PAD；（6分）（2）EFCD，EF平面EFG，CD平面EFG，CD平面EFG，因此CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于點(diǎn)D到平面EFG的距離，VMEFG=VDEFG，取AD的中點(diǎn)H連接GH、EH，則EFGH，EF平面PAD，EH平面PAD，EFEH于是SEFH=EFEH=2=SEFG，平面EFG平面PAD，平面EFG

19、平面PAD=EH，EHD是正三角形點(diǎn)D到平面EFG的距離等于正EHD的高，即為，（10分）因此，三棱錐MEFG的體積VMEFG=VDEFG=SEFG=（12分）【變式5】如圖，已知AB平面ACD，DEAB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中點(diǎn)，AF=（1）求證：AF平面BCE；（2）求證：平面BCE平面CDE；（3）求此多面體的體積【解答】證明：（1）取CE中點(diǎn)P，連接FP、BP，PFDE，且FP=1又ABDE，且AB=1，ABFP，且AB=FP，ABPF為平行四邊形，AFBP（2分）又AF平面BCE，BP平面BCE，AF平面BCE（4分）（2）證明：AD=AC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，所以

20、ACD為正三角形，AFCDAB平面ACD，DEAB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF.又AFCD，CDDE=D，AF平面CDE.又BPAF，BP平面CDE又BP平面BCE, 平面BCE平面CDE.（3）此多面體是以C為頂點(diǎn)，以四邊形ABED為底邊的四棱錐，等邊三角形AD邊上的高就是四棱錐的高（12分）【變式6】如圖，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方形，側(cè)面BB1C1C為菱形，CBB1=60，ABB1C（I）求證：平面AA1B1B平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABCA1B1C1體積【解答】（）證明：由側(cè)面AA1B1B為正方形，知ABBB1又ABB1C，B

21、B1B1C=B1，AB平面BB1C1C，又AB平面AA1B1B，平面AA1B1BBB1C1C（）由題意，CB=CB1，設(shè)O是BB1的中點(diǎn)，連接CO，則COBB1由（）知，CO平面AB1B1A，且CO=BC=AB=連接AB1，則=CO=AB2CO=，V三棱柱=2【變式7】如圖，四邊形ABCD為梯形，ABCD，PD平面ABCD，BAD=ADC=90，DC=2AB=2a，DA=，E為BC中點(diǎn)（1）求證：平面PBC平面PDE；（2）線段PC上是否存在一點(diǎn)F，使PA平面BDF？若有，請(qǐng)找出具體位置，并進(jìn)行證明；若無，請(qǐng)分析說明理由【解答】（1）證明：連結(jié)BD，BAD=90，；BD=DC=2a，E為BC中

22、點(diǎn)，BCDE；又PD平面ABCD，BC平面ABCD；BCPD，DEPD=D；BC平面PDE；BC平面PBC，平面PBC平面PDE；（2）如上圖，連結(jié)AC，交BD于O點(diǎn)，則：AOBCOD；DC=2AB；在PC上取F，使；連接OF，則OFPA，而OF平面BDF，PA平面BDF；PA平面BDF題型三：面面垂直性質(zhì)應(yīng)用例3.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是DAB=60且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD邊的中點(diǎn).（1）求證：BG平面PAD；（2）求證：ADPB.【變式1】如圖，已知在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PAD是正

23、三角形，平面PAD平面ABCD，E，F(xiàn)，G分別是PD，PC，BC的中點(diǎn)（1）求證：平面EFG平面PAD；（2）若M是線段CD上一點(diǎn)，求三棱錐MEFG的體積【解答】（1）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CDAD，CD平面PAD。又PCD中，E、F分別是PD、PC的中點(diǎn)，EFCD，可得EF平面PAD. EF平面EFG，平面EFG平面PAD。（2）EFCD，EF平面EFG，CD平面EFG，CD平面EFG，因此CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于點(diǎn)D到平面EFG的距離，VMEFG=VDEFG，取AD的中點(diǎn)H連接GH、EH，則EFGH，EF平面PAD，EH平面PAD

24、，EFEH于是SEFH=EFEH=2=SEFG，平面EFG平面PAD，平面EFG平面PAD=EH，EHD是正三角形，點(diǎn)D到平面EFG的距離等于正EHD的高，即為， 因此，三棱錐MEFG的體積VMEFG=VDEFG=SEFG= 【變式2】 已知點(diǎn)P是菱形ABCD外一點(diǎn)，DAB60，其邊長(zhǎng)為a，側(cè)面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD的中點(diǎn)(1)求證：ADPB；(2)若E為BC邊中點(diǎn)，能否在棱PC上找一點(diǎn)F，使平面DEF平面ABCD.并證明你的結(jié)論 解析(1)證明：連接BG、PG.四邊形ABCD是菱形且DAB60.BGAD. 又PAD為正三角形，且G是AD中點(diǎn)，PGAD.PGB

25、GG，AD平面PBG.又PB平面PBG，ADPB. (2)當(dāng)F是PC中點(diǎn)時(shí)，平面DEF平面ABCD.證明如下：取PC的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF.在PBC中，EFPB.在菱形ABCD中，BGDE.平面DEF平面PGB.平面PAD平面ABCD，PGAD.PG平面ABCD.又PG平面PGB.平面PGB平面ABCD.平面DEF平面ABCD.題型四 求點(diǎn)面的距離例4.如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，棱A A1=5，AB=12，求直線B1C1到平面A1BC D1的距離. 【變式】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，AP=AB=1，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)（ ）求證：AE PC；（ ）求點(diǎn)A到