高中數(shù)學(xué)雙曲線拋物線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、雙曲線 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn),的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)2a(2a)的點(diǎn)的軌跡。方程簡圖_x_O_y_x_O_y范圍頂點(diǎn)焦點(diǎn)漸近線離心率對(duì)稱軸關(guān)于x軸、y軸及原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸、y軸及原點(diǎn)對(duì)稱準(zhǔn)線方程a、b、c的關(guān)系考點(diǎn) 題型一 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1、給出漸近線方程的雙曲線方程可設(shè)為，與雙曲線共漸近線的方程可設(shè)為。2、注意：定義法、待定系數(shù)法、方程與數(shù)形結(jié)合?！纠?】求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。（1） 虛軸長為12，離心率為；（2） 焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M（0，12）；（3） 與雙曲線有公共漸進(jìn)線，且經(jīng)過點(diǎn)。解：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或。由題意知，2b=12，=。b=6，c=10，a=8。標(biāo)準(zhǔn)

2、方程為或。（2）雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M（0，12），M（0，12）為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a=12。又2c=26，c=13。標(biāo)準(zhǔn)方程為。（3）設(shè)雙曲線的方程為在雙曲線上 得所以雙曲線方程為題型二 雙曲線的幾何性質(zhì)方法思路：解決雙曲線的性質(zhì)問題，關(guān)鍵是找好體重的等量關(guān)系，特別是e、a、b、c四者的關(guān)系，構(gòu)造出和的關(guān)系式。【例2】雙曲線的焦距為2c，直線l過點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線l的距離與點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離之和s。求雙曲線的離心率e的取值范圍。解：直線l的方程為，級(jí)bx+ay-ab=0。 由點(diǎn)到直線的距離公式，且a1，得到點(diǎn)（1，0）到直線l的距離， 同理得

3、到點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離，。由s，得，即。于是得，即。解不等式，得。由于e10，所以e的取值范圍是。【例3】設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A，使，且AF1=3AF2，求雙曲線的離心率。解：又AF1=3AF2，即，即。題型三 直線與雙曲線的位置關(guān)系方法思路：1、研究雙曲線與直線的位置關(guān)系，一般通過把直線方程與雙曲線方程組成方程組，即，對(duì)解的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，但必須注意直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)和相切不是等價(jià)的。 2、直線與雙曲線相交所截得的弦長：yxOBAC【例4】如圖，已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，如果，且曲線E上存在

4、點(diǎn)C，使，求（1）曲線E的方程；（2）直線AB的方程；（3）m的值和ABC的面積S。解：由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支， 且，a=1，易知。故直線E的方程為，(2)設(shè), ,由題意建立方程組消去y，得。又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A、B，有解得。又 依題意得，整理后得，或。但，。故直線AB的方程為。（3）設(shè)，由已知，得，。又，點(diǎn)。將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，的，得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意。，C點(diǎn)的坐標(biāo)為，C到AB的距離為，ABC的面積。一、 拋物線高考動(dòng)向：拋物線是高考每年必考之點(diǎn)，選擇題、填空題、解答題皆有，要求對(duì)拋物線定義、性質(zhì)、直線與其關(guān)系做到了

5、如指掌，在高考中才能做到應(yīng)用自如。（一） 知識(shí)歸納 方程 圖形頂點(diǎn) （0，0）對(duì)稱軸 x軸 y軸焦點(diǎn)離心率 e=1準(zhǔn)線（二）典例講解題型一 拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程方法思路：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，因開口方向不同必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為或?！纠?】根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（1）拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)；（2）經(jīng)過點(diǎn)A（2，3）；（3）焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上；（4）拋物線焦點(diǎn)在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點(diǎn)A，AF=5.解：（1）雙曲線方程可化為，左頂點(diǎn)是（-3，0）由題意設(shè)拋物線方程為且，p=6.方程為（2）解法一：經(jīng)過點(diǎn)A（2，3）的拋物線可能有兩

6、種標(biāo)準(zhǔn)形式：y22px或x22py 點(diǎn)A（2，3）坐標(biāo)代入，即94p，得2p點(diǎn)A（2，3）坐標(biāo)代入x22py，即46p，得2p所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2x或x2y解法二：由于A（2，-3）在第四象限且對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)方程為或，代入A點(diǎn)坐標(biāo)求得m=，n=-，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2x或x2y（3）令x=0得y=2，令y=0得x=4， 直線x-2y-4=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，-2），（4，0）。焦點(diǎn)為（0，-2），（4，0）。拋物線方程為或。（4）設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程為，A（m，-3），由拋物線定義得，又，或，故所求拋物線方程為或。題型二 拋物線的幾何性質(zhì)方法思路：1、凡設(shè)計(jì)拋物

7、線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線l的距離處理，例如若P（x0，y0）為拋物線上一點(diǎn)，則。2、若過焦點(diǎn)的弦AB，則弦長，可由韋達(dá)定理整體求出，如遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似得到?！纠?】設(shè)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1） 求點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1，1）的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值；（2） 若B（3，2），求的最小值。解：（1）拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為。P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于P點(diǎn)到F（1，0）的距離，yxAOPF問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A（-1，1）的距離與P到F（1，0）的距離之和最小。顯然P是AF的連線與拋物線的交點(diǎn)，最小

8、值為（2）同理與P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等，如圖：過B做BQ準(zhǔn)線于Q點(diǎn)，交拋物線與P1點(diǎn)。，。的最小值是4。題型三 利用函數(shù)思想求拋物線中的最值問題方法思路：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想是解決解析幾何問題的兩種重要的思想方法?！纠?】已知拋物線yx2，動(dòng)弦AB的長為2，求AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值。分析一：要求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值，可求出y1y2的最小值，從形式上看變量較多，結(jié)合圖形可以觀察到y(tǒng)1、y2是梯形ABCD的兩底，這樣使得中點(diǎn)縱坐標(biāo)y成為中位線，可以利用幾何圖形的性質(zhì)和拋物線定義求解。解法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x,y)由拋物線方程yx2知焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)A、

9、B、M到準(zhǔn)線的距離分別為|AD1|、|BC1|、|MN|，則|AD1|BC1|2|MN|，且，根據(jù)拋物線的定義，有|AD1|AF|、|BC1|BF|,|AF|BF|AB|2，,即點(diǎn)M縱坐標(biāo)的最小值為。分析二：要求AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y的最小值，可列出y關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后求此函數(shù)的最小值。解法二：設(shè)拋物線yx2上點(diǎn)A(a,a2),B(b,b2)，AB的中點(diǎn)為M(x，y)，則|AB|2，(ab)2(a2b2)4，則(ab)24ab(a2b2)24a2b24則2xab,2ya2b2,得ab2x2y,4x24(2x2y)4y24(2x2y)4整理得即點(diǎn)M縱坐標(biāo)的最小值為3/4。練習(xí)：1、以y=x為

10、漸近線的雙曲線的方程是（） 、3y22x2=6 、9y28x2=1 C、3y22x2=1 D、9y24x2=36【答案D】解析：A的漸近線為，B的漸近線為 C的漸近線為，只有D的漸近線符合題意。2、若雙曲線的左支上一點(diǎn)P（a，b）到直線y=x的距離為，則a+b的值為（ ） A、 B、 C、 D、2【答案A】解析：P在雙曲線上， 即（a+b）（a-b）=1 又P（a，b）到直線y=x的距離為 且 即 a+b=3、如果拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線上，那么拋物線的方程是（）A、 B、C、 D、【答案C】解析：令x=0得y=3，令y=0得x=4， 直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，-3），（4

11、，0）。焦點(diǎn)為（0，-3），（4，0）。拋物線方程為或。4、若拋物線y=x2上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是A.（4，4）B.（4，4） C.（，） D.（，）【答案B】解析：拋物線的焦點(diǎn)是（0，1），準(zhǔn)線是， P到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離。 設(shè)P（x，y），則y=4， 5、若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則 取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ C ）A（0，0） B（1，1） C（2，2） D【答案C】解析：拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為。P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于P點(diǎn)到F（1，0）的距離，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A（3，2）的距離與P

12、到F（1，0）的距離之和最小。顯然P是A到準(zhǔn)線的垂線與拋物線的交點(diǎn)，P的坐標(biāo)為（2，2）6、已知A、B是拋物線上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA=OB，且AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，則直線AB的方程是（ ）A、x=p B、x=3p C、x=p D、x=p【答案D】解析：設(shè)A（，y），B（，-y）， F（p，0）是AOB的垂心， 整理得 7、過點(diǎn)P（4，1），且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 條。 【答案】兩條 解析：因?yàn)镻（4，1）位于雙曲線的右支里面，故只有兩條直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，分別與雙曲線的兩條漸近線平行。 這兩條直線是：和8、雙曲線C與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)，則C的兩條準(zhǔn)線之

13、間的距離為 ?！敬鸢浮?解析：設(shè)雙曲線C的方程為， 將點(diǎn)A代入，得k=。 故雙曲線C的方程為： ，b=2, 所以兩條準(zhǔn)線之間的距離是。9、已知拋物線，一條長為4P的弦，其兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上滑動(dòng)，則此弦中點(diǎn)到y(tǒng)軸的最小距離是 【答案】 解析：設(shè)動(dòng)弦兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，中點(diǎn)為C，作AA，BB，CC垂直于準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A、 B、 C，連接AF、BF，由拋物線定義可知，AF=AA， BF=BB CC是梯形ABBA的中位線 CC= = =2p 當(dāng)AB經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)取等號(hào)，所以C點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離最小值為。10、拋物線的一條弦的中點(diǎn)為M，則此弦所在的直線方程是 ?！敬鸢浮?x-y+1=0 解析：設(shè)此弦所在的

14、直線方程為， 與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(x1,y1),B(x2,y2), 則 將的方程代入拋物線方程整理得 由韋達(dá)定理得解得此直線方程為 即2x-y+1=011、已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為16，離心率為，求雙曲線的方程。解：由題意知， 又 12、已知雙曲線的離心率，過點(diǎn)和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為。（1）求雙曲線的方程；（2）直線與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍。解：（1）由題設(shè)，得解得，雙曲線的方程為。（2）把直線方程代入雙曲線方程，并整理得因?yàn)橹本€與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)， 設(shè)，則，設(shè)CD的中點(diǎn)為，其中，則，依題意，

15、APCD，整理得 將式代入式得 m4或m0又，即m的取值范圍為m4或。13、已知點(diǎn)A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線上，ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合（如圖）（1）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；（2）求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）求BC所在直線的方程.（12分）解：（1）由點(diǎn)A（2，8）在拋物線上，有，解得p=16. 所以拋物線方程為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，0）.（2）如圖，由于F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中點(diǎn)，所以F是線段AM的定比分點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（11，4）（3）由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為： 由，消x得，所以，由（2）的結(jié)論得，解得BC所在直線的方程是即。14、如圖, 直線y=x與拋物線y=x24交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與直線y=5交于Q點(diǎn). （1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方（含A