高中數(shù)學(xué)人教A版必修5解讀與教學(xué)建議

1、高中數(shù)學(xué)人教A版必修5解讀與教學(xué)建議奉港高級中學(xué) 楊亢爾（315500）本模塊包括“解三角形”、“數(shù)列”、“不等式”等三章內(nèi)容，全書約需36課時，具體課時分配如下：第一章 解三角形 約8課時第二章 數(shù)列 約12課時第三章 不等式 約16課時“解三角形”的主要內(nèi)容是介紹三角形的正、余弦定理，及其簡單應(yīng)用，旨在通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題以及能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題?！皵?shù)列”的主要內(nèi)容是數(shù)列的概念與表示，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律

2、的基本數(shù)學(xué)模型。教科書通過對日常生活中大量實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，力求使學(xué)生在探索中掌握與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問題?！安坏仁健币徽峦ㄟ^大量現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的具體實(shí)例引入不等關(guān)系，幫助學(xué)生理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合一些實(shí)際問題探索求解一元二次不等式的基本方法，用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題的方法，最后引導(dǎo)學(xué)生討論了基本不等式及其簡單應(yīng)用。第一章 解三角形在本章中，要求學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探

3、究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，并認(rèn)識到運(yùn)用它們可以解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題。1、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章的中心內(nèi)容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題。2、教學(xué)要求(浙江省數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見2007年6月版，下同)2.1基本要求 （1）會證明正弦定理、余弦定理。 （2）能理解正、余弦定理在討論三角形邊

4、角關(guān)系時的作用。 （3）能用正、余弦定理解斜三角形。 （4）理解用正、余弦定討論三角形解的情形。（5）掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法。 （6）通過解三角形在實(shí)際中的一些應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。 （7）理解三角形的面積公式并能應(yīng)用。 （8）根據(jù)實(shí)際條件，利用本章知識完成一個有關(guān)測量的實(shí)習(xí)作業(yè)。 2.2發(fā)展要求 （1）了解正、余弦定理與三角形外接圓半徑的關(guān)系。 （2）利用正、余弦定理討論三角形中的邊角關(guān)系。 （3）條件允許的情況下，可多做幾個實(shí)習(xí)作業(yè)，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決實(shí)際問題的能力。 2.3說明 (1)可以利用計算機(jī)進(jìn)行近似計算,但不要求太復(fù)雜繁瑣的運(yùn)算。(2)不必增加

5、在立幾情況下求解三角形的問題,可在立體幾何學(xué)習(xí)時適當(dāng)拓展。（3）應(yīng)用問題應(yīng)限制在正、余弦定理的簡單應(yīng)用上。(4)實(shí)習(xí)作業(yè)不要求太復(fù)雜的問題。3綱標(biāo)比較3.1章節(jié)、課時比較大綱教材課標(biāo)教材數(shù)學(xué)第一冊（下）第五章 平面向量數(shù)學(xué)5第1章 解三角形（8課時）二、解斜三角形（約7+5課時）1.1.1 正弦定理 (約1課時)5.9正弦定理、余弦定理 (約4課時) 1.1.2余弦定理 (約2課時)5.10解斜三角形應(yīng)用舉例（約2課時）(探究與發(fā)現(xiàn) 解三角形的進(jìn)一步發(fā)現(xiàn))實(shí)習(xí)作業(yè) 解三角形在測量中的應(yīng)用(約2課時)1.2 應(yīng)用舉例 (約3課時)(閱讀材料 人們早期怎樣測量地球的半徑？)(閱讀與思考 海倫與秦九

6、韶)研究性學(xué)習(xí)課題：向量在物理中的應(yīng)用(約3課時)1.3 實(shí)習(xí)作業(yè) (約1課時)單元小結(jié)與復(fù)習(xí)(約1課時) 小結(jié)(約1課時) 3.2 內(nèi)容安排上的變化 大綱教材將解三角形安排在“平面向量”之中，成為平面向量的一個單元，而課標(biāo)教材在模塊 5中獨(dú)立成章，突出其獨(dú)立性。 3.3 幾個特點(diǎn) 教學(xué)要求上的特點(diǎn)大綱教材對解斜三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理，并能運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計算器解決斜三角形的計算問題。通過解三角形教學(xué)，提高運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。通過以測量為內(nèi)容的實(shí)習(xí)作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力和實(shí)際操作的能力。而按照省教學(xué)指導(dǎo)意見，課標(biāo)教材在計算方面降低了要

7、求，削弱了用計算器解決斜三角形的有關(guān)計算問題，而在探索推理方面作了相應(yīng)提高，重視正、余弦定理發(fā)現(xiàn)過程的探究。 有關(guān)教學(xué)價值上的特點(diǎn)大綱教材中，解斜三角形作為平面向量知識的應(yīng)用，重在其工具性和應(yīng)用性，也比較關(guān)注三角形恒等變換和邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換，把教學(xué)的重點(diǎn)放在運(yùn)算上，而意見將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何作用，培養(yǎng)學(xué)生的量化思想，并引導(dǎo)教師關(guān)注運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量有關(guān)的實(shí)際問題，其側(cè)重點(diǎn)放在推理與探究上。4. 教學(xué)內(nèi)容分析章引言本章一開始的引言就從一個測量問題引入：“在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸，我們仰望夜空，會有無限遐想，不禁會問，遙不可及的月亮

8、離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”接著指出：“在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實(shí)踐活動的推動，解三角形的理論得到不斷發(fā)展，并被用于解決許多測量問題.”這就點(diǎn)出了本章數(shù)學(xué)知識的某些重要的實(shí)際背景及其實(shí)際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識學(xué)習(xí)解三角形知識的必要性。然后以一系列的實(shí)際問題引入本章要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，這些問題的解決需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識，于是順理成章地指出，在本章中我們要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個定理解三角形以及解決實(shí)際測量中的一些問題。1.1正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理揭示了關(guān)于一般三角形中的重要邊角關(guān)系，它們是解三角形的兩個重要定理。

9、對于正弦定理，教科書首先引導(dǎo)學(xué)生回憶任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考是否能得到這個邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化表示的問題。由于涉及邊角之間的數(shù)量關(guān)系，就比較自然地引導(dǎo)到三角函數(shù)。在直角三角形中，邊之間的比就是銳角的三角函數(shù)。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快證明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察結(jié)論是否適用于銳角三角形，而鈍角三角形中定理的證明要求學(xué)生自己通過探究來加以證明。用正弦定理解三角形是正弦定理的一個直接應(yīng)用，正弦定理可以用于兩類解三角形的問題：（1）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計

10、算另一邊的對角，進(jìn)而計算出其他的邊和角。對于（2），在某些條件下會出現(xiàn)無解或兩解的情形，教科書在探究與發(fā)現(xiàn)：“關(guān)于解三角形的進(jìn)一步討論”中對此作了說明。正弦定理略去等于2R，目的是控制難度，防止設(shè)計出太多難題，加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)。對于余弦定理，首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。由于涉及邊長問題，教科書考慮用向量的數(shù)量積，比較容易地證明了余弦定理。余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四個量。從已

11、知三角形的三邊確定三角形的角，這就是余弦定理的推論，也可以說是余弦定理的第二種形式。 應(yīng)用余弦定理及其推論，并結(jié)合正弦定理，可以解決的解三角形問題有：（1）已知兩邊和它們的夾角解三角形；（2）已知三角形的三邊解三角形。1.2 應(yīng)用舉例正弦定理和余弦定理在實(shí)際測量中有許多應(yīng)用，教科書介紹了它們在測量距離、高度、角度等問題中的一些應(yīng)用。對于未知的距離、高度等，存在著許多可以供選擇的測量方案，可以應(yīng)用全等三角形的方法，也可以應(yīng)用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本節(jié)介紹的應(yīng)用兩個定理的方法，等等。但是，由于在測量問題的實(shí)際背景下，某些方法也許不能實(shí)施，如因?yàn)闆]有足夠的空間，不能用全等

12、三角形的方法來測量，所以，一種方法會有局限性。這里介紹的許多問題是用以前的方法所不能解決的。關(guān)于三角形的有關(guān)幾何計算，教科書還涉及了三角形的高和面積的問題，給出了計算三角形的高和面積的公式，這些公式實(shí)際上在正弦定理的證明過程中就已經(jīng)得到。值得一提的是，已知三角形的三邊求三角形面積的問題在歷史上是一個重要的問題，在西方有海倫公式，在我國數(shù)學(xué)史上有秦九韶的“三斜求積公式”，教科書在閱讀與思考中對此作了介紹，在習(xí)題中要求學(xué)生加以證明。另外，關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，課程標(biāo)準(zhǔn)要求不在這類問題上作過于繁瑣的訓(xùn)練，教科書選擇的例題（P21例9）僅限于直接用正弦定理和余弦定理可以證明的問題。1.

13、3 實(shí)習(xí)作業(yè)本章內(nèi)容有很強(qiáng)的實(shí)踐性，教科書安排了一個利用本章知識的有關(guān)測量的實(shí)習(xí)作業(yè)。實(shí)習(xí)作業(yè)重在過程，通過實(shí)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，分析和解決簡單實(shí)際問題的能力。實(shí)習(xí)前，教師要指導(dǎo)好學(xué)生作好前期準(zhǔn)備，選擇好素材。實(shí)習(xí)時注意現(xiàn)場指導(dǎo)。對學(xué)生的實(shí)習(xí)報告要予以講評和規(guī)范。有條件的情況下，可讓學(xué)生自主選擇素材在課后再完成幾個實(shí)習(xí)報告。 第二章 數(shù)列數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，在本章中，學(xué)生將通過對日常生活中大量實(shí)際問題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的（等比）數(shù)列的求和公式廣泛應(yīng)用，并利

14、用它們解決一些實(shí)際問題。1內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章的主要內(nèi)容是數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的一些基本數(shù)量關(guān)系。通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生達(dá)到如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)（2）通過實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系2教學(xué)要求2.1 基本要求 （1）理解數(shù)列的定義，了解數(shù)列是一類特殊函數(shù)。 （2）了解數(shù)列的幾種簡

15、單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）。 （3）認(rèn)識數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本模型。（4）能根據(jù)給出的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。（4）理解等差（等比）數(shù)列的概念。 （5）掌握等差（等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式。 （6）了解等差數(shù)列（等比）與一次函數(shù)（指數(shù)函數(shù)）的關(guān)系。 （7）能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差（等比）關(guān)系，進(jìn)而用等差（等比）數(shù)列有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。 （8）掌握等差（等比）數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，并能用公式解決簡單的問題。 （9）理解等差（等比）數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法。 （10）能利用等差（等比）數(shù)列前n項(xiàng)和公式極其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和。（11）理解與的關(guān)系。（12）等比數(shù)列的求和公

16、式達(dá)到靈活應(yīng)用。2.2 發(fā)展要求 （1）能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出一個通項(xiàng)公式。 （2）掌握等差（等比）數(shù)列典型性質(zhì)及應(yīng)用。 （3）能靈活運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式。 （4）能用類比觀點(diǎn)推導(dǎo)等比數(shù)列性質(zhì)。 （7）理解等差數(shù)列與等比數(shù)列簡單組合的數(shù)列的前n項(xiàng)和。 2.3 說明. （1）復(fù)雜的遞推關(guān)系不作要求。 （2）已知數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出一個通項(xiàng)公式，不必太難。3綱標(biāo)比較3.1章節(jié)、課時比較大綱教材課標(biāo)教材數(shù)學(xué)第一冊（上）第三章 數(shù)列（約15課時）數(shù)學(xué)5第2章 數(shù)列（約12課時）3.1數(shù)列(約2課時)2.1數(shù)列的概念與簡單表示法 (約2課時)3.2等差數(shù)列(約2課時)(閱讀與思考 斐波那契數(shù)列)3.3等差

17、數(shù)列的前n項(xiàng)和(約2課時)（信息技術(shù)應(yīng)用 估計的值）(閱讀材料 有關(guān)規(guī)定儲蓄的計算)2.2等差數(shù)列 (約2課時)3.4等比數(shù)列 (約2課時)2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(約2課時)3.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(約2課時)2.4等比數(shù)列 (約2課時)研究性課題：分期付款中的有關(guān)計算（約3課時）2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(約2課時)小結(jié)與復(fù)習(xí)(約2課時) (閱讀與思考 九連環(huán)) (探究與發(fā)現(xiàn) 購房中的數(shù)學(xué))小結(jié)與復(fù)習(xí)(約2課時)3.2內(nèi)容主要變化 教學(xué)要求上的變化已知數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出一個通項(xiàng)公式，不必太難，復(fù)雜的遞推關(guān)系不作要求。了解數(shù)列是一類函數(shù)，了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。明確提出

18、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列概念。 教學(xué)價值上的變化 以往數(shù)列內(nèi)容比較注重,等參數(shù)之間換算與恒等變形，而課標(biāo)教材注重了知識的形成過程，突出了函數(shù)思想、數(shù)學(xué)模型思想，強(qiáng)化了用函數(shù)觀點(diǎn)來呈現(xiàn)數(shù)列。通過資產(chǎn)折舊、購房貸款、出租車計費(fèi)、校校通等問題注重了數(shù)列知識在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)列的應(yīng)用性，通過諸如三角形數(shù)、謝賓斯基三角形、正方形篩子、斐波那契數(shù)列、九連環(huán)等數(shù)學(xué)名題，來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值。4. 教學(xué)內(nèi)容分析章頭圖章頭圖向我們呈現(xiàn)了錯落有致的樹衩、漂亮的花瓣、排列有序的植物種子，可以使學(xué)生感受大自然的神奇和奧秘的同時，體會數(shù)學(xué)是豐富多彩的，數(shù)學(xué)不僅僅是形式的演繹推導(dǎo)，數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)生活，數(shù)列作為反映現(xiàn)

19、實(shí)生活的一種數(shù)學(xué)模型，也是無處不在的，我們要善于對客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考并做出判斷。另外，在日常生活中，人們經(jīng)常遇到的像存款利息、購房貸款等實(shí)際問題，都需要用有關(guān)數(shù)列的知識來解決，數(shù)列知識也是將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。2.1數(shù)列的概念與簡單表示法人們對數(shù)列的研究有的源于現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活的需要，有的出自對數(shù)的喜愛。教科書從三角形數(shù)、正方形數(shù)入手，指出數(shù)列實(shí)際就是按照一定順序排列著的一列數(shù)。隨后，又從函數(shù)的角度，將數(shù)列看成是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)。通過數(shù)列的列表、圖象、通項(xiàng)公式的簡單表示法，進(jìn)一步體會數(shù)列是一種函數(shù)，是刻畫離散過程的一種重要數(shù)學(xué)模型。教科書的這種編排方式，一方面可

20、以讓學(xué)生體會數(shù)列是一種特殊函數(shù)，加深對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，對數(shù)列的本質(zhì)有清晰的認(rèn)識和把握；另一方面，通過數(shù)列概念引入以及數(shù)列應(yīng)用的過程，體會數(shù)列問題的實(shí)際應(yīng)用，提高對本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣，為下面將要開始的有關(guān)等差數(shù)列與等比數(shù)列的學(xué)習(xí)做好鋪墊。給出數(shù)列的前若干項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般比較困難，要求不宜太高，如果有通項(xiàng)公式也不唯一，解決這個問題的關(guān)鍵是找出已知的每一項(xiàng)與其序號之間的對應(yīng)關(guān)系，然后抽象成一般形式。教學(xué)時還可通過一些實(shí)際問題如：三角形數(shù)、正方形數(shù)、存款利息、謝賓斯基三角形、斐波那契數(shù)列、放射性物質(zhì)的衰變、九連環(huán)的智力游戲、購房中的數(shù)學(xué)等，使學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)模型，體

21、會數(shù)學(xué)實(shí)用價值。值得指出的是，在大綱教材中，遞推數(shù)列的地位和作用似乎有所提升，近幾年的高考也有所體現(xiàn)。該內(nèi)容在教學(xué)中極易膨脹，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式等類似問題會加重學(xué)生不必要的負(fù)擔(dān)。為此，指導(dǎo)意見只要求使學(xué)生初步體會一下用遞推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫出一個數(shù)列的前幾項(xiàng)就行了，繁難復(fù)雜的遞推關(guān)系式不作要求。 2.2 等差數(shù)列 等差數(shù)列在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，并且大量存在于學(xué)生周圍教科書首先從學(xué)生熟悉的四個實(shí)例入手，引出了等差數(shù)列的概念，并且結(jié)合實(shí)例（襯衫的尺碼）對等差數(shù)列作了說明。隨后由等差數(shù)列的概念導(dǎo)出等差中項(xiàng)的概念，然后推導(dǎo)出了等差數(shù)列

22、的通項(xiàng)公式。這種通過對日常生活中大量實(shí)際問題的分析、建立等差數(shù)列模型的過程，加強(qiáng)了對等差數(shù)列基本概念、性質(zhì)的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列模型解決問題的能力。 用函數(shù)觀點(diǎn)去看等差數(shù)列，可以幫助學(xué)生理解等差數(shù)列的本質(zhì)：是在特殊定義域上的一次函數(shù)，通項(xiàng)公式就是這個特殊函數(shù)的解析式，但我們不能說等差數(shù)列(或它的通項(xiàng)公式)是一次函數(shù)。另外，有關(guān)等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)都是由歸納得到，這對培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、探索歸納能力提供了很好的素材。 2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，體現(xiàn)了特殊到一般、一般到特殊的思想。 教科書是從求1+2+3+100的高斯算法出發(fā)，并以1+2+3

23、+n求和為過渡，目的是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)、末項(xiàng)的和這個規(guī)律。教科書給出的探究題就是為了讓學(xué)生在前面基礎(chǔ)上，把數(shù)列1+2+3+n內(nèi)在的這種規(guī)律性推廣到一般的等差數(shù)列，獲得一般的等差數(shù)列求和思路-倒序相加法，教學(xué)時應(yīng)重視這一思想方法的滲透。例題的安排突出了等差數(shù)列求和公式的實(shí)際應(yīng)用，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)之間的關(guān)系。 2.4 等比數(shù)列 與等差數(shù)列類似，等比數(shù)列概念的引入也是通過日常生活中的實(shí)例抽象出了等比數(shù)列的模型。本節(jié)所列的4個背景實(shí)例和所傳達(dá)的思想為：1. 細(xì)胞分裂模型：生命科學(xué)中的數(shù)列模型；類似的有人口增長的模型2.莊子中“一尺之棰”的論述

24、：中國古代學(xué)者的極限思想3. 計算機(jī)病毒的傳播：計算機(jī)科學(xué)中的數(shù)列模型；計算機(jī)病毒的危害；“指數(shù)爆炸”的例子4. 儲蓄中復(fù)利的計算：日常經(jīng)濟(jì)生活中的數(shù)列模型這4個實(shí)例，既讓學(xué)生感受到等比數(shù)列也是現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)列模型，也讓學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型的過程。緊跟在實(shí)例之后的“觀察”欄目，是為了給學(xué)生一定的思考和探索的空間，讓他們自己通過觀察、歸納、猜想等認(rèn)識到等比數(shù)列的特性。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式類比差數(shù)列通項(xiàng)公式的得出過程，用不完全歸納法得出。教學(xué)時，要充分利用平行類比思想，將等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、研究問題，逐一類比引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，同時注意與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系。2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

25、教科書從古印度國王獎賞國際象棋發(fā)明者傳說引入求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和這個問題，采用了“錯位相減”的方法推導(dǎo)公式，其中體現(xiàn)了等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)、方程、程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)等內(nèi)容的前后聯(lián)系。本節(jié)課后有關(guān)“九連環(huán)”的閱讀與思考，進(jìn)一步體現(xiàn)了從具體問題中抽象出數(shù)列模型，借助數(shù)列的相關(guān)知識解決問題的思想。教學(xué)中要重視錯位相減法的教學(xué)價值，重視等比數(shù)列求和公式中公比是否為1的討論，在公比取值范圍上要謹(jǐn)防學(xué)生片面地理解為只能是正的錯誤認(rèn)識。另外，要正確理解一般數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和關(guān)系。 第三章 不等式 不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。建立不等觀念，處理不等關(guān)系與處理等量問題

26、是同樣重要的。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，在本章中，學(xué)生將通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實(shí)際問題；能用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規(guī)劃問題；認(rèn)識基本不等式及其簡單應(yīng)用；體會不等式、方程及函數(shù)之間的聯(lián)系。1內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章主要學(xué)習(xí)描述不等關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，一元二次不等式的解法及其應(yīng)用，線性規(guī)劃問題，基本不等式及其應(yīng)用等，通過學(xué)習(xí)，要使學(xué)生達(dá)到以下目標(biāo)：（1）通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系、了解不等式（組）的實(shí)際背景。（2）經(jīng)

27、歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的程序框圖。（3）從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。（4）探索基本不等式 的證明過程；會用基本不等式解決簡單最大(小)值問題。2教學(xué)要求2.1基本要求（1）了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景；（2）理解不等式（組）對于刻劃不等關(guān)系的意義和價值；（3）會用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系

28、，能用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的實(shí)際問題；（4）理解并掌握不等式的基本性質(zhì)。（5）了解從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程；（6）理解一元二次不等式的概念；（7）通過圖象，理解并掌握一元二次不等式、二次函數(shù)及一元二次方程之間的關(guān)系；（8）理解并掌握解一元二次不等式的過程；（9）會求一元二次不等式解集；（10）掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想，會設(shè)計求解的過程；（11）了解從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式（組）模型的過程；（12）理解二元一次不等式（組）、二元一次不等式（組）的解集的概念；（13）了解二元一次不等式的幾何意義，理解（區(qū)域）邊界的概念及實(shí)線、虛線邊界的含義

29、；（14）會用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，能畫出給定的不等式（組）表示的平面區(qū)域；（15）了解線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃、可行解、可行域、最優(yōu)解的概念；（16）掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法；（17）了解基本不等式的代數(shù)背景、幾何背景以及它的證明過程；（18）理解算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)的概念；（19）會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲档膯栴}；（20）通過基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。2.2發(fā)展要求（1）體會不等式的基本性質(zhì)在不等式證明中所起的作用；（2）會從實(shí)際情景中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題并加以解決。2.3說明（1）不等式的有關(guān)內(nèi)容將在選修4

30、-5中作進(jìn)一步討論。（2）淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的實(shí)際背景及其應(yīng)用；（3）突出用基本不等式解決問題的基本方法，不必推廣到三個變量以上的情形。3綱標(biāo)比較3.1章節(jié)、課時比較大綱教材課標(biāo)教材數(shù)學(xué)第二冊（上）第六章 不等式（16課時）數(shù)學(xué)5第3章 不等式（約16課時）6.1不等式的性質(zhì)(約3課時)3.1 不等關(guān)系與不等式(含不等式性質(zhì))(約2課時)6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(約2課時)3.2 一元二次不等式及其解法(約3課時)6.3不等式的證明(約5課時)3.3.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域 (約2課時)6.4不等式解法舉例(約2課時)3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題(約3課時)6.

31、5含有絕對值的不等式(約2課時)(閱讀與思考 錯在哪兒?)(閱讀材料 n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù))(信息技術(shù)應(yīng)用 用Excel解線性規(guī)劃問題舉例)小結(jié)與復(fù)習(xí)(約2課時)3.4 基本不等式(約3課時)數(shù)學(xué)第二冊（上）第七章 直線和圓的方程小結(jié)與復(fù)習(xí)(約3課時) 7.4簡單的線性規(guī)劃(約3課時)7.5研究性課題與實(shí)習(xí)作業(yè)：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用（約4課時）3.2 內(nèi)容主要變化原大綱教材中，一元二次不等式安排在“集合與簡易邏輯”之后，是學(xué)生剛步入高一就要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而課標(biāo)教材則安排在模塊5中，意圖在高二（上）學(xué)習(xí)，簡單的線性規(guī)劃問題從解析幾何直線和圓的方程中移到模塊5的不等式中，與二元一次不等式組

32、成一個單元。不等式內(nèi)容進(jìn)一步整編，刪除一元高次、分式不等式，把不等式證明后移到選修中，基本不等式則控制難度,只用于解決求最值問題。3.3 幾個特點(diǎn) 內(nèi)容安排上的特點(diǎn)把簡單的線性規(guī)劃和不等式放在一起，將線性規(guī)劃問題作為不等式來處理，突出了不等式的幾何意義以及在解決優(yōu)化問題中的作用，有利于理解不等式的本質(zhì)，體現(xiàn)優(yōu)化思想。 教學(xué)要求上的特點(diǎn)在不等式求解方面，課標(biāo)對學(xué)生的基本要求進(jìn)一步弱化，在大綱教材刪除了指、對數(shù)不等式和無理不等式的基礎(chǔ)上，又刪除了分式不等式、一元高次不等式求解，將絕對值不等式移至選修4-5(不等式選講)；不等式證明采取分步到位、螺旋上升的做法，在本章教學(xué)中，其基本要求是降低的。但在

33、選修1-2（文科必選）、選修2-2（理科必選）的推理與證明中，均提出用綜合法與分析法證明不等式。在選修4-5中，介紹了不等式證明的常用方法比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，進(jìn)一步介紹了柯西不等式、排序不等式、均值不等式及其應(yīng)用，還介紹了數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式。二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)習(xí)要求基本不變。 教學(xué)價值上變化不等式是原教材中的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力和推理能力的一個很好素材，所以它強(qiáng)調(diào)理論敘述、推理嚴(yán)密、變化技巧，而課標(biāo)則更加關(guān)注不等式的背景和實(shí)際應(yīng)用，把不等式作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，作為描述優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型，而不再把重點(diǎn)放在純理論

34、的數(shù)學(xué)探究上。4. 教學(xué)內(nèi)容分析 章頭圖本章的章頭圖是一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望。3.1不等關(guān)系與不等式這一節(jié)的要求和原教材有很大的不同，原教材作為研究不等式的理論基礎(chǔ)，所以對它們歸結(jié)為幾個定理和推論，并給出了證明。而現(xiàn)在把所有的定理和推論整理為不等式的八大性質(zhì)，并作一些簡要的說明，強(qiáng)調(diào)這些關(guān)于不等式的事實(shí)和性質(zhì)是解決不等式問題的依據(jù)。建議在教學(xué)中不要對這些性質(zhì)的證明作過多的糾纏，而應(yīng)該在說明這些性質(zhì)的合理性上舉例說明，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步

35、挖掘一些感興趣的和富有時代感的素材，通過分析其中的基本數(shù)量關(guān)系，以加深學(xué)生對“不等關(guān)系是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系”的認(rèn)識。也可以類比等式的基本性質(zhì)，對一些不等式的推斷作一些分析驗(yàn)證，通過類比，使學(xué)生認(rèn)識不等式與等式性質(zhì)之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。3.2 一元二次不等式及其解法在大綱教材的函數(shù)部分，借助于二次函數(shù)安排了二次不等式的內(nèi)容。這樣安排已為廣大教師所接受，其好處也是多方面的。課標(biāo)教材則把二次不等式的內(nèi)容移至“必修5”，在“必修1”的函數(shù)內(nèi)容中，強(qiáng)調(diào)函數(shù)“是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”，把重點(diǎn)放在函數(shù)概念的本質(zhì)的理解、函數(shù)性質(zhì)討論以及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用上，其用意固然是為了防止教師在集合的

36、學(xué)習(xí)與函數(shù)概念的教學(xué)中，在求解定義域、值域等“細(xì)枝末節(jié)”的問題上對學(xué)生進(jìn)行大量人為的、繁瑣的訓(xùn)練，但這種“釜底抽薪”的做法似乎更多的是因?yàn)槭艿礁鱾€模塊課時的限制而造成的無奈，許多首批參與實(shí)驗(yàn)的教師也對此提出質(zhì)疑，認(rèn)為這樣處理值得商榷。一元二次不等式解集的求法對于高一學(xué)生而言并不會感到困難，但理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的關(guān)系，則要經(jīng)歷觀察、思考、探究的過程。課標(biāo)教材著眼于讓學(xué)生體驗(yàn)知識形成過程的精心設(shè)計值得我們在教學(xué)中細(xì)心體味，無論是一元二次不等式模型的建立、解法的歸納，還是以填空的形式讓學(xué)生嘗試設(shè)計求解一般一元二次不等式過程的程序框圖，都為學(xué)生的思維活動留足了空間。這種

37、從特殊到一般的處理方式符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生了解知識的形成過程和來龍去脈，加深對知識的理解，以及對隱藏在知識發(fā)生過程中的數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。另外，教學(xué)中要控制不等式的難度，一般不要超出教科書的要求，一元二次不等式的求解只要達(dá)到基本要求即可，要淡化解不等式技巧性要求，要注意加強(qiáng)與函數(shù)、方程的聯(lián)系，積極滲透算法思想，突出不等式的實(shí)際背景及其應(yīng)用，有關(guān)內(nèi)容將在選修系列45中作進(jìn)一步討論。3. 3 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題不等式作為用來刻劃不等關(guān)系的有效工具，有著豐富的現(xiàn)實(shí)背景，不等式也是刻劃區(qū)域的重要工具，刻劃區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個基本步驟，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常遇到

38、的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題常?？蓺w結(jié)為二元線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支，它能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題。教學(xué)中要注意從實(shí)際問題引入，著眼于不等式與實(shí)際問題的聯(lián)系，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)問題源于生活且用于生活。由于線性規(guī)劃屬于多元條件極值問題，對高一學(xué)生有一定難度，因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題，引導(dǎo)學(xué)生體會線性規(guī)劃的基本思想，在其它方面的一些應(yīng)用不宜作過多展開。另外，直線方程是平面解析幾何內(nèi)容，根據(jù)指導(dǎo)意見先上模塊5、后上模塊2的順序，學(xué)生對直線的斜率、截距、平行直線系等概念尚不清晰，無疑這

39、也將增加學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的難度，有人提出“讓線性規(guī)劃回去”，也是有一定道理的。 在本節(jié)內(nèi)容的后面，教材安排了閱讀材料“錯在哪兒”和信息技術(shù)應(yīng)用“用Excel解線性規(guī)劃問題舉例”。前者提出的問題既有思考性又有挑戰(zhàn)性，對于同一道習(xí)題得到不同答案的類似問題情境學(xué)生常常經(jīng)歷，也常常給學(xué)生帶來困惑，引導(dǎo)學(xué)生辨析糾錯，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和反思意識。后者借助計算機(jī)為研究二元一次不等式組的解集表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃問題提供試驗(yàn)探索平臺，從動手實(shí)踐、觀察猜想中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，且有較強(qiáng)的操作性，可指導(dǎo)學(xué)生課外完成。3.4基本不等式： 本節(jié)主要內(nèi)容是使學(xué)生了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景及基本不等式的證明，通過

40、基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式并從不同的角度探究其證明過程。根據(jù)課標(biāo)立足基礎(chǔ)、螺旋上升的教學(xué)要求，教學(xué)時要突出用基本不等式解決問題的基本方法和基本的應(yīng)用，如運(yùn)用基本不等式可解決周長、面積、造價的最大（?。┲祮栴}等。對不等式證明的教學(xué)不必加深，基本不等式僅限于二元均值不等式，不必推廣到三個以上變量的情形，有關(guān)內(nèi)容會在后續(xù)學(xué)習(xí)的選修1-2和選修2-2的推理與證明、選修4-5中的不等式選講中得到加強(qiáng)。教學(xué)中的幾點(diǎn)建議1關(guān)注數(shù)學(xué)情境的建立，重視反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值要關(guān)注數(shù)學(xué)情境的建立，充分挖掘現(xiàn)實(shí)世界和實(shí)際生活中有關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)例，解三角形、數(shù)列和不等式三章內(nèi)

41、容有著豐富的實(shí)際背景，除了教科書中的實(shí)例還有很多很好的相關(guān)的素材，教學(xué)過程中應(yīng)該充分給予挖掘，力求問題的引入能夠反映一定的生活背景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。在第一章“解三角形”中，引言就是從一個測量問題引入，在解三角形的過程中不斷與一些實(shí)際測量問題相聯(lián)系，如怎樣航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨?？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？等等。第二章“數(shù)列”應(yīng)自始至終貫徹“數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型”的思想，創(chuàng)造性地發(fā)掘日常生活中的實(shí)際問題，深入探討教科書中大量實(shí)例，如

42、存款利息、出租車收費(fèi)、校園網(wǎng)問題、希爾賓斯基三角形、斐波那契數(shù)列、放射性物質(zhì)的衰變、諾貝爾獎金發(fā)放金額問題、商場計算機(jī)銷售問題、九連環(huán)的智力游戲、購房中的數(shù)學(xué)等等。使學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)是來源于現(xiàn)實(shí)生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活的。第三章“不等式”可從日常生活中經(jīng)常用到的“長與短、”“大與小”、“多與少”、“遠(yuǎn)與近”等實(shí)際情境中引入不等關(guān)系，如通過學(xué)生感興趣的上網(wǎng)問題引入一元二次不等式的有關(guān)概念，從中認(rèn)識到學(xué)習(xí)不等關(guān)系及不等式的必要性。從銀行貸款中的資金分配問題中引入二元一次不等式組的數(shù)學(xué)模型，從現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常遇到的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題中引入二元線

43、性規(guī)劃問題。再如，結(jié)合北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，聯(lián)系我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，緊緊抓住弦圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系引入不等式。2重視各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系數(shù)學(xué)各部分的內(nèi)容構(gòu)成一個有機(jī)的整體，教師應(yīng)充分注意這一點(diǎn)，并在教學(xué)中力求體現(xiàn)這種聯(lián)系。例如，在第一章中，對于正弦定理和余弦定理，應(yīng)注意它們與已經(jīng)學(xué)習(xí)的關(guān)于三角形的定性研究的結(jié)論的聯(lián)系。余弦定理的證明使用了向量的方法，不僅使定理的證明簡潔而明快，而且也能夠體現(xiàn)向量及其運(yùn)算的作用。第二章則可有意識的關(guān)注數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)列作為一種特殊函數(shù)的意義，有條件的話也可注意聯(lián)系算法和微積分思想，揭示“離散”和“連續(xù)”之間的關(guān)系。第三章則強(qiáng)調(diào)不等式與函數(shù)、方程的關(guān)系，在一元二次不等式的解法和簡單的線性規(guī)劃問題中，始終注意數(shù)與形的聯(lián)系，通過對不等式、函數(shù)與方程關(guān)系的理解來解決所面臨的不等式的問題。另外，在各章習(xí)題、探究性問題