概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第9講.ppt

1、1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第9講,本文件可從網(wǎng)址 http:/ 上下載 (單擊ppt講義后選擇概率論講義子目錄,2,本幻燈片還可以從網(wǎng)址http:/或ftp:/其中的概率論講義子目錄中獲得,3,第二章 隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量的概念,4,再談試驗(yàn)及樣本空間,一次隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的試驗(yàn)結(jié)果e所構(gòu)成的集合被稱作樣本空間S, 而每一個(gè)可能的試驗(yàn)結(jié)果e構(gòu)成樣本點(diǎn). 樣本點(diǎn)的集合A稱作事件, 只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的集合e被稱作基本事件,5,請注意, 這里的試驗(yàn)結(jié)果實(shí)際上是一次試驗(yàn)的全過程的記錄, 因此和我們原來的印象中的試驗(yàn)結(jié)果并非一樣, 并非試驗(yàn)結(jié)束時(shí)候的那個(gè)結(jié)果,6,例如, 假設(shè)一場足球賽是一個(gè)試驗(yàn),那么

2、一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果就是這場球賽的全程的記錄, 可以認(rèn)為記錄著整場球賽的錄象帶是一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果, 而非比賽結(jié)束時(shí)候的比分是試驗(yàn)結(jié)果,7,因此, 象比賽的頭五分鐘有球隊(duì)進(jìn)球, 上半場甲隊(duì)領(lǐng)先, 第三十分鐘到三十四分鐘期間有一次角球, 前十五分鐘有人被罰下場都是事件, 它們都是由一系列可能的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成,8,因此, 樣本空間是一個(gè)非常抽象的集合,從理論上講它可以是任何集合. 但這對于研究帶來了許多不方便. 而數(shù)學(xué)上則更喜歡研究實(shí)數(shù)集合,9,一方面, 樣本空間本身也可能就是實(shí)數(shù)集合或者其子集,10,另一方面, 可以建立一個(gè)從樣本空間到實(shí)數(shù)集合的一個(gè)映射, 即每給定一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果或者樣本點(diǎn)e, 存在著唯一的一個(gè)實(shí)

3、數(shù)X(e)與之對應(yīng). 這樣就建立了一個(gè)自變量為e而函數(shù)值則為實(shí)數(shù)的一個(gè)特殊的函數(shù). 我們稱之為隨機(jī)變量,11,3,4,2,1,這可以用下圖來示意,此圖顯示了只有四個(gè)樣本點(diǎn)的一個(gè)樣本空間映射到實(shí)數(shù)a,b,c的一種映射. 注意1和2映射到同一個(gè)實(shí)數(shù)b, 這是一種常見的情況,x,a,b,c,12,從樣本空間到實(shí)數(shù)的映射方法有許多種,每一種映射方法, 被稱為一個(gè)隨機(jī)變量. 一般用希臘字母x,h, z或大寫拉丁字母X,Y,Z等表示. 通常的試驗(yàn)的結(jié)果都能夠通過各種編碼的方法映射到實(shí)數(shù)集合. 而也有一些試驗(yàn)的結(jié)果干脆就是數(shù)字, 即樣本空間本來就是實(shí)數(shù),13,當(dāng)我們看到一個(gè)隨機(jī)變量X時(shí), 可以想到一種在實(shí)數(shù)

4、軸上進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn), 每次試驗(yàn)的結(jié)果的樣本空間就是實(shí)數(shù)集合, 每一次試驗(yàn)都將產(chǎn)生一個(gè)具體的實(shí)數(shù), 但具體產(chǎn)生哪個(gè)實(shí)數(shù)不可預(yù)知,14,一些隨機(jī)變量的例,1) 一個(gè)射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊, 擊中目標(biāo)記為1分, 未中目標(biāo)記為0分. 如果用X表示射手在一次射擊中的得分, 則它是一個(gè)隨機(jī)變量, 可以取0和1兩個(gè)可能的值,15,2) 某段時(shí)間內(nèi)候車室的旅客數(shù)目記為X, 它是一個(gè)隨機(jī)變量, 可以取0及一切不大于M的自然數(shù), M為候車室的最大容量,16,3) 單位面積上某農(nóng)作物的產(chǎn)量X是一個(gè)隨機(jī)變量, 它可以取一個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù)值, 即X0,T, T是一個(gè)常數(shù),17,給定一隨機(jī)變量x, 它有可能取某些值, 而沒

5、有可能取另一些值. 因此可按取值情況將隨機(jī)變量分為兩類: (1) 離散型隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或無限可列個(gè)值. (2) 非離散型隨機(jī)變量可能取任何實(shí)數(shù). 而非離散型隨機(jī)變量中最常用的為連續(xù)型隨機(jī)變量,18,隨機(jī)變量的分布,離散型隨機(jī)變量的分布,19,定義 如果隨機(jī)變量X只取有限個(gè)或可列個(gè)可能值, 而且以確定的概率取這些不同的值, 則稱X為離散性隨機(jī)變量,20,為直觀起見, 將X可能取的值及相應(yīng)概率列成概率分布表如下,21,此外, x的概率分布情況也可以用一系列等式表示:P(X=xk)=pk(k=1,2,) 這被稱作隨機(jī)變量X的概率函數(shù)(或概率分布, 分布率,22,其中X=x1, X=x2, ,

6、 X=xk, 構(gòu)成一完備事件組. 因此概率函數(shù)具有如下性質(zhì),23,一般所說的離散性隨機(jī)變量的分布就是指它的概率函數(shù)或概率分布表. 上面兩個(gè)性質(zhì)中的性質(zhì)(2)經(jīng)常在解題中構(gòu)成解方程的一個(gè)條件,24,例 一批產(chǎn)品的廢品率為5%, 從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn), 用隨機(jī)變量x來描述廢品出現(xiàn)的情況. 寫出x的分布,25,解 用X表示廢品的個(gè)數(shù), 則它只能取0或1兩個(gè)值. X=0表示產(chǎn)品為合格, X=1表示產(chǎn)品為廢品, 則概率分布表如下,即PX=0=0.95, PX=1=0.05, 或可寫為 PX=k=0.05k0.951-k(k=0,1,26,兩點(diǎn)分布: 只有兩個(gè)可能取值的隨機(jī)變量所服從的分布, 稱為兩點(diǎn)

7、分布. 其概率函數(shù)為P(x=xk)=pk(k=1,2,27,概率分布表為,概率分布圖為,28,0-1分布: 只取0和1兩個(gè)值的隨機(jī)變量所服從的分布稱為0-1分布. 其概率函數(shù)為P(x =k)=pk(1-p)1-k(k=0,1,29,概率分布表為,概率分布圖為,30,例 產(chǎn)品有一,二,三等品及廢品4種, 其一,二,三等品率和廢品率分別為60%, 10%, 20%, 10%, 任取一個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)其質(zhì)量, 用隨機(jī)變量X 描述檢驗(yàn)結(jié)果并畫出其概率函數(shù)圖,31,解 令X=k與產(chǎn)品為k等品(k=1,2,3)相對應(yīng), X=0與產(chǎn)品為廢品相對應(yīng). X是一個(gè)隨機(jī)變量, 它可以取0,1,2,3這4個(gè)值. 依題意,

8、P(X=0)=0.1P(X=1)=0.6 P(X=2)=0.1P(X=3)=0.2 則可列出概率分布表并畫出概率分布圖,32,X 的概率分布表為,33,概率分布圖為,34,例 用隨機(jī)變量描述擲一顆骰子的試驗(yàn)情況,35,解 令X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù), 它可取1到6共6個(gè)自然數(shù), 相應(yīng)的概率都是1/6, 列成概率分布表為,36,概率分布圖,37,離散型均勻分布如果隨機(jī)變量X有概率函數(shù),則稱X服從離散型均勻分布,38,例 社會上定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券, 每券1元, 中獎(jiǎng)率為p, 某人每次購買1張獎(jiǎng)券, 如果沒有中獎(jiǎng)下次再繼續(xù)購買1張, 直到中獎(jiǎng)為止. 求該人購買次數(shù)X的分布,39,解 X=1表示第一次

9、購買的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng), 依題意P(X=1)=p, X=2表示購買兩次獎(jiǎng)券, 但第一次未中獎(jiǎng), 其概率為1-p, 而第二次中獎(jiǎng), 其概率為p. 由于各期獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)與否相互獨(dú)立, 所以 P(X=2)=(1-p)p; X=i表示購買i次, 前i-1次都未中獎(jiǎng), 而第i次中獎(jiǎng), P(X=i)=(1-p)i-1p,40,由此得到X的概率函數(shù)為P(X =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,稱此分布為幾何分布,41,驗(yàn)證,其中q=1-p, 上面的級數(shù)稱為幾何級數(shù), 也稱為等比級數(shù), 因?yàn)榧墧?shù)中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比為常數(shù)q, 稱為公比, 幾何級數(shù)在公比小于1時(shí)收斂于,42,例 盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個(gè)燈泡,

10、其中10個(gè)螺口, 5個(gè)卡口, 燈口向下放著, 現(xiàn)在需用1個(gè)螺口燈泡, 從盒中任取一個(gè), 如果取到卡口燈泡就不再放回去. 求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)X的分布,43,解 X=0表示第一個(gè)就取到了螺口燈泡, X=1 表示第一個(gè)取到卡口而第二個(gè)才取到螺口燈泡, 因此P(x=0)=10/15=2/3,P(X=1)=(5/15)(10/14)=5/21P(X=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273P(X=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273P(X=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003P(X=5)

11、= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003,44,概率分布表為,45,隨機(jī)變量的分布函數(shù),定義 若X是一個(gè)隨機(jī)變量(可以是離散型的, 也可以是非離散型的), 對任何實(shí)數(shù)x, 令 F(X)=P(X x) 稱F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù) (因此, 要求出一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的工作量是很大的, 理論上要算無窮多個(gè)事件的概率才行,46,例 已知隨機(jī)變量X的分布如下表,其分布函數(shù)為,47,對于一般的0-1分布: 其分布函數(shù)為,48,圖形,49,例 X為擲一次骰子的點(diǎn)數(shù), 求X的分布函數(shù)F(x)解,50,圖形為,P,51,分布函數(shù)與概率函數(shù)滿足關(guān)系,52,這是因?yàn)樵谝话愕墓街? 要考慮x1,x2,并非按從小到大的次序排列的可能性. 例如, 假設(shè)x1=0, x2=-1, x3=1 P(x1)=0.2=p1, P(x2)=0.3=p2, P(x3)=0.5=p3,53,這時(shí)便有,54,F(x)的圖形為,x2,x1,x3,F(x,55,F(x), 即事件Xx的概率是x的一個(gè)實(shí)函數(shù),對任意實(shí)數(shù)x1x2, 有 因Xx2Xx1 x1Xx2=Xx2-Xx1 P(x1Xx2)=P(Xx2)-P(Xx1) 即 P(x1Xx