小學五年級奧數講義

1、第二十四周 差倍問題專題簡析：解答差倍問題時，先要求出與兩個數的差對應的倍數差。在一般財政部下，它們往往不會直接告訴我們，這就需要我們根據題目的具體特點將它們求出。當題中出現(xiàn)三個或三個以上的數量時，一般把題中有關數量轉化為與標準量之間倍數關系對應的數量。解答差倍應用題的基本數量關系是： 差（倍數1）=小數 小數倍數=大數 或：小數+差=大數例1：光明小學開展冬季體育比賽，參加跳繩比賽的人數是踺子人數的3倍，比踢踺子的多36人。參加跳繩和踢踺子比賽的各有多少人？分析與解答：如果把踢踺子的人數看作1份，那么跳繩的人數是這樣的3份。36人是這樣的31=2份。這樣，把36人平均分成2份，1份就是踢踺子

2、的人數：362=18人，跳繩的有183=54人。練 習 一1，城南小學三年級的人數是一年級人數的2倍，三年級的人數比一年級多130人。三年級和一年級各有多少人？2，一種鋼筆的價錢是一種圓珠筆的4倍，這種鋼筆比圓珠筆貴12元。這種鋼筆和圓珠筆的單價各是多少元？3，農業(yè)科技小組有兩塊小麥試驗田，第二塊比第一塊少6公頃，第一塊的面積是第二塊的3倍。兩塊試驗田各是多少公頃？例2：倉庫里存放大米和面粉兩種糧食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克數比大米的2倍還多100千克。倉庫有大米和面粉各多少千克？分析與解答：如果面粉減少100千克，那么面粉的千克數就是大米的2倍，3900100=3800千克，就是

3、大米的21=1倍。所以，大米有38001=3800千克，面粉有38003900=7700千克。練 習 二1，三年級學生參加課外活動，做游戲的人數比打球人數的3倍多2人，已知做游戲的比打球的多38人，打球和做游戲的各有多少人？2，學校今年參加科技興趣小組的人數比去年多41人，今年的人數比去年的3倍少35人。今年有多少人參加？3，果園里種了一批蘋果樹和桃樹，已知蘋果樹比桃樹多1600棵，蘋果樹的棵數比桃樹的3倍多100棵。蘋果樹和桃樹各種了多少棵？例3：育紅小學買了一些足球、排球和籃球，已知足球比排球多7只，排球比籃球多11只，足球的只數是籃球的3倍。足球、排球和籃球各買了多少只？分析與解答：由題

4、意可知，足球比籃球多買了7+11=18只，它是籃球的31=2倍。所以，買籃球182=9只，買排球9+11=20只，買足球20+7=27只。練 習 三1，玩具廠二月份比一月份多生產玩具2000個，三月份比二月份多生產3000個，三月份生產的玩具個數是一月份的2倍。每個月各生產多少個？2，某農具廠第三季度比第二季度多生產2800套軸承，第一季度比第二季度少生產1200套。第三季度生產的是第一季度的3倍。求每季度各生產多少？3，三個小朋友們折紙飛機，小晶比小亮多折12架，小強比小亮少折8架，小晶折的是小強的3倍。三個人各折紙飛機多少架？例4：商店運來一批白糖和紅糖，紅糖的重量是白糖的3倍，賣出紅糖3

5、80千克，白糖110千克后，紅糖和白糖重量相等。商店原有紅糖和白商各多少千克？分析與解答：由“紅糖賣出380千克，白糖賣出110千克后，紅糖和白糖重量相等”可知原來紅糖比白糖多380110=270千克，它是白糖的31=2倍。所以，白糖原有2702=135千克，紅糖原有1353=405千克。練 習 四1甲、乙兩個倉庫各存一批面粉，甲倉庫所存的面粉的袋是乙倉庫的3倍，從甲倉庫運走720千克，從乙倉庫運走120千克后，兩個倉庫所剩的面粉相等。兩個倉庫原來各有面粉多少千克？2有兩筐橘子，第二筐中橘子的個數是第一筐中的2倍。如果第一筐中再放入48個，第二筐中再放入18個，那么兩筐的橘子個數相等。原來兩筐

6、各有橘子多少個？3甲桶的酒是乙桶的4倍，如果從甲桶中取出15千克倒入乙桶，那么兩桶酒的重量相等。原來兩桶酒各有多少千克？例5：甲、乙兩個書架原有圖書本數相等，如果從甲書架取出2本，從乙書架取出60本后，乙書架的本數是甲書架的3倍。原來兩個書架各有圖書多少本？分析與解答：由“甲、乙兩個書架原有圖書相等，從甲書架取240本，從乙書架取出60本”可知乙書架余下的書比甲書架多24060=180本，它是甲書架余下的2倍，所以甲書架余下1802=90本。甲書架原有90240=330本。練 習 五1，兩筐同樣的蘋果，甲筐賣出8千克，乙筐賣出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的3倍。兩筐蘋果原來各有多少千克？2，

7、甲、乙兩個人的存款數相等，甲取出60元，乙存入20元，乙的存款是甲的3倍。兩人原來各有存款多少元？3，甲、乙兩個書架原有圖書本數相等，如果從甲書架取出120本放到乙書架，乙書架的本數是甲書架的4倍。原來兩個書架各有圖書多少本？第二十五周 和差問題專題簡析：已知兩個數的和與差，求出這兩個數各是多少的應用題，叫和差應用題。解答和差應用題的基本數量關系是： （和差）2=小數 小數差=大數（和小數=大數） 或：（和差）2=大數 大數差=小數（和大數=小數）解答和差應用題的關鍵是選擇適當的數作為標準，設法把若干個不相等的數變?yōu)橄嗟鹊臄?，某些復雜的應用題沒有直接告訴我們兩個數的和與差，可以通過轉化求它們的

8、和與差，再按照和差問題的解法來解答。例1：三、四年級同學共植樹128棵，四年級比三年級多植樹20棵，求三、四年級各植樹多少棵？分析與解答：假如把三、四年級植的128棵加上20棵，得到的和就是四年級植樹的2倍，所以，四年級植樹的棵數是（128+20）2=74棵，三年級植樹的棵數是7420=54棵。這道題還可以這樣解答：假如從128棵中減去20棵，那么得到的差就是三年級植樹棵數的2倍，由出，先求出三年級植樹的棵數（12820）2=54棵，再求出四年級植樹的棵數：5420=74棵。練 習 一1，兩堆石子共有800噸，第一堆比第二堆多200噸。兩堆各有多少噸？2，用錫和鋁混合制成600千克的合金，鋁的

9、重量比錫多400千克。錫和鋁各是多少千克？3，甲、乙兩人年齡的和是35歲，甲比乙小5歲。甲、乙兩人各多少歲？例2：兩筐梨子共有120個，如果從第一筐中拿10個放到第二筐中，那么兩筐的梨子個數相等。兩筐原來各有多少個梨？分析與解答：根據題意，第一筐減少10個，第二筐增加10個后，則兩筐梨子個數相等，可知原來第一筐比第二筐多102=20個。假如從120個中減去20個，那么得到的差就是第二筐梨子個數的2倍，所以，第二筐原來有（12020）2=50個，第一筐原來有5020=70個。練 習 二1，紅星小學三（1）班和三（2）班共有學生108人，從三（1）班轉3人到三（2）班，則兩班人數同樣多。兩個班原來

10、各有學生多少人？2，某汽車公司兩個車隊共有汽車80輛，如果從第一車隊調10輛到第二車隊，兩個車隊的汽車輛數就相等。兩個車隊原來各有汽車多少輛？3，甲、乙兩笨共有水果60千克，如果從甲箱中取出5千克放到乙箱中，則兩箱水果一樣重。兩箱原來各有水果多少千克？例3：今年小勇和媽媽兩人的年齡和是38歲，3年前，小勇比媽媽小26歲。今年媽媽和小勇各多少歲？分析與解答：3年前，小勇比媽媽小26歲，這個年齡差是不變的，即今年小勇也比媽媽小26歲。顯然，這屬于和差問題。所以媽媽今年（38+26）2=32歲，小勇（3826）2=6歲。練 習 三1，今年小剛和小強倆人的年齡和是21歲，1年前，小剛比小強小3歲。今年

11、小剛和小強各多少歲？2，黃茜和胡敏兩人今年的年齡和是23歲，4年后，黃茜將比胡敏大3歲。黃茜和胡敏今年各多少歲？3，兩年前，胡煒比陸飛大10歲；3年后，兩人的年齡和將是42歲。求胡煒和陸飛今年各多少歲。例4：甲乙兩個倉庫共有大米800袋，如果從甲倉庫中取出25袋放到乙倉庫中，則甲倉庫比乙倉庫還多8袋。兩個倉庫原來各有多少袋大米？分析與解答：先求甲、乙兩倉庫大米的袋數差，由“從甲倉庫中取出25袋放到乙倉庫中，則甲倉庫比乙倉庫還多8袋”可知甲倉庫原來比乙倉庫多2528=58袋。由此可求出甲倉庫原來有（80058）2=429袋，乙倉庫原來有800429=371袋。練 習 四1甲、乙兩箱洗衣粉共有90

12、袋，如果從甲箱中取出4袋放到乙箱中，則甲箱比乙箱還多6袋。兩箱原來各有多少袋？2甲、乙兩筐香蕉共重60千克，從甲筐中取5千克放到乙筐，結果甲筐比乙筐還多2千克。兩筐原來各有多少千克香蕉？3兩籠雞蛋共19只，若甲籠再放入4只，乙籠中取出2只，這時乙籠比甲籠還多1只。甲、乙兩籠原來各有雞蛋多少只？例5：把長108厘米的鐵絲圍成一個長方形，使長比寬多12厘米，長和寬各是多少厘米？分析與解答：根據題意可知圍成的長方形的周長是108厘米，因此，這個長方形長與寬的和是1082=54厘米，由此可以求出長方形的長為（54+12）2=33厘米，寬為5433=21厘米。練 習 五1，把長84厘米的鐵絲圍成一個長方

13、形，使寬比長少6厘米。長和寬各是多少厘米？2，趙叔叔沿長和寬相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的準備活動，共跑1080米。游泳池的長和寬各是多少米？3，劉曉每天早晨沿長和寬相差40米的操場跑步，每天跑6圈，共跑2400米。這個操場的面積是多少平方米？第二十六周 巧算年齡專題簡析：年齡問題是一類與計算有關的問題，它通常以和倍、差倍或和差等問題的形式出現(xiàn)。有些年齡問題往往是和、差、倍數等問題的綜合，需要靈活地加以解決。解答年齡問題，要靈活運用以下三條規(guī)律：1，無論是哪一年，兩人的年齡差總是不變的；2，隨著時間的向前或向后推移，幾個人的年齡總是在減少或增加相等的數量；3，隨著時間的變化，兩人的年齡之

14、間的倍數關系也會發(fā)生變化。例1：爸爸今年43歲，兒子今年11歲。幾年后爸爸的年齡是兒子的3倍？分析與解答：兒子出生后，無論在哪一年，爸爸和兒子的年齡差總是不變的，這個年齡差是4311=32歲。所以，當爸爸的年齡是兒子3倍時，兒子是32（31）=16歲，因此1611=5年后，爸爸的年齡是兒子的3倍。練 習 一1，媽媽今年36歲，兒子今年12歲。幾年后媽媽年齡是兒子的2倍？2，小強今年15歲，小亮今年9歲。幾年前小強的年齡是小亮的3倍？3，爺爺今年60歲，孫子今年6歲。再過多少年爺爺的年齡比孫子大2倍？例2：媽媽今年的年齡是女兒的4倍，3年前，媽媽和女兒的年齡和是39歲。媽媽和女兒今年各多少歲？分

15、析與解答：從3年前到今年，媽媽和女兒都長了3歲，她們今年的年齡和是：39+32=45歲。于是，這個問題可轉化為和倍問題來解決。所以，今年女兒的年齡是45（1+4）=9歲，媽媽今年是94=36歲。練 習 二1，今年爸爸的年齡是兒子的4倍，3年前，爸爸和兒子的年齡和是44歲。爸爸和兒子今年各是多少歲？2，今年小麗和她爸爸的年齡和是41歲，4年前爸爸的年齡恰好是小麗的10倍。小麗和爸爸今年各是多少歲？3，今年小芳和她媽媽的年齡和是38歲，3年前媽媽的年齡比小芳的9倍多2歲。小芳和媽媽今年各多少歲？例3：今年小紅的年齡是小梅的5倍，3年后小紅的年齡是小梅的2倍。小紅和小梅今年各多少歲？分析與解答：小紅

16、和小梅的年齡差是不變的，因此兩人的年齡差是小梅今年的51=4倍，也是3年后小梅年齡的21=1倍，即：小梅今年的年齡3=小梅今年的年齡4。所以，小梅今年的年齡為：3（41）=1歲，小紅今年的年齡為：15=5歲。練 習 三1，今年小明的年齡是小娟的3倍，3年后小明的年齡是小娟的2倍。小明和小娟今年各多少歲？2，今年小亮的年齡是小英的2倍，6年前小亮的年齡是小英的5倍。小英和小亮今年各多少歲？3，10年前父親的年齡是兒子的7倍，15年后父親的年齡是兒子的2倍。父親和兒子今年各多少歲？例4：甜甜的爸爸今年28歲，媽媽今年26歲。再過多少年，她的爸爸和媽媽的年齡和為80歲？分析與解答：兩人的年齡和每年增

17、加2歲，先求今年爸爸和媽媽的年齡和：2826=54歲，再求80比54多8054=26歲。26里面包含多少個2，就是經過的年數。所以，再過262=13年爸爸和媽媽的年齡和為80歲。練 習 四1，蜜蜜的爸爸今年27歲，她的媽媽今年26歲。再過多少年，她爸爸和媽媽的年齡和為73歲？2，林星今年8歲，爸爸今年34歲。當他們的年齡和為72歲時，爸爸和林星各多少歲？3，今年爸爸56歲，兒子30歲。當父子的年齡和為46歲時，爸爸和兒子各是多少歲？例5：小英一家由小英和她的父母組成。小英的父親比母親大3歲，今年全家年齡總和是71歲，8年前這個家的年齡總和是49歲。今年三人各多少歲？分析與解答：已知8年前這個家

18、的年齡總和是49歲，這個條件中8年與49歲看上去有一個是多余的，有的同學可能認為8年前這個家的年齡總和應該是71（1+1+1）8=47歲，但這與題中所給的條件49不一致。為什么呢？這說明8年前小英還沒有出生。這相差的2歲就是8年前與小英年齡的差。由此可以求出小英今年是82=6歲。今年父母的年齡和為716=65歲。已知小英的父親比母親大3歲，所以今年父親（65+3）2=34歲，母親343=31歲。練 習 五1，父、母、子三人今年的年齡和為70歲，而10年前三人的年齡和為46歲，父親比母親大4歲。求三人今年各多少歲。2，全家四口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲。4年前他們的年齡和為58歲，現(xiàn)

19、在全家的年齡和是73歲。現(xiàn)在每個人各多少歲？3，吳琪一家由吳琪和他的孿生姐姐吳林還有他們的父母組成，其中父親比母親大2歲。今年全家的年齡和是64歲，5年前全家的年齡和是52歲。求今年每人的年齡。第二十七周 較復雜的和差倍問題專題簡析：前面我們學習了和倍、差倍、和差三種應用題，有的題目需要通過轉化而成為和倍、差倍、和差問題，這類問題叫做復雜的和差倍問題。解答較復雜的和差倍問題，需要我們從整體上把握住問題的本質，將題目進行合理的轉化，從而將較復雜的問題轉化為一般和倍、差倍、和差應用題來解決。例1：兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克數是甲箱的3倍。兩箱原來各有茶葉多

20、少千克？分析與解答：由“兩箱茶葉共重96千克，如果從甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千克數是甲箱的3倍”可求出現(xiàn)在甲箱中有茶葉96（13）=24千克。由此可求出甲箱原來有茶葉2412=36千克，乙箱原來有茶葉9636=60千克。練 習 一1，書架的上、下兩層共有書180本，如果從上層取下15本放入下層，那么下層的本數正好是上層的2倍。兩層原來各有書多少本？2，甲、乙兩人共儲蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，這時甲儲蓄的錢數比乙的2倍少20元。甲、乙兩人原來各儲蓄多少元？3，某畜牧場共有綿羊和山羊3561只，后來賣了60只綿羊，又買來山羊100只，現(xiàn)在綿羊的只數比山羊的2倍多1

21、只。原來綿羊和山羊各有多少只？例2：甲、乙、丙三個同學做數學題，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，比乙多做20道。他們一共做了多少道數學題？分析與解答：甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，因此，205=15道是丙的一半，也就是甲做的道數。丙做了152=30道，乙做了155=10道。他們共做了：（205）（12）（205）5=55道。練 習 二1，某廠一季度創(chuàng)產值比三季度多2萬元，二季度的產值是一季度產值的2倍，比三季度產值多42萬元。三個季度共創(chuàng)產值多少萬元？2，甲、乙、丙三個人合做一批零件，甲比乙多做12個，丙做的比甲的2倍少20個，比乙做的多38個。這批零件共有多少個？3，

22、果園里的蘋果樹是桃樹的3倍，管理員每天能給25棵蘋果樹和15棵桃樹灑農藥。幾天后，當桃樹噴完農藥時，蘋果樹還有140棵沒有噴藥。果園里共有多少棵樹？例3：某工廠一、二、三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人。三個車間各有工人多少人？分析與解答：這是多量的和差問題，解題的時候確定的標準不同，解法也就不同。如果以第二車間的人數為標準，第一車間減少10人，第三車間增加15人，那么2801015=285人是第二車間人數的3倍，由此可以求出第二車間有2853=95人，第一車間有9510=105人，第三車間有9515=80人。練 習 三1，一個三層書架共放書168本

23、，上層比中層多12本，下層比中層少6本。三層各放書多少本？2，一個三層柜臺共放皮鞋120雙，第一層比第二層多放4雙，第二層比第三層多7雙，三層各多皮鞋多少雙？3，四個數的和是152，第一個數比第二個數多16，比第三個數多20，比第四個數少12。第一個數和第四個數是多少？例4：兩個數相除，商是4，被除數、除數、商的和是124。被除數和除數各是多少？分析與解答：從124里去掉商，是1244=120，它是除數的14=5倍，除數是1205=24，被除數是244=94。練 習 四1，在一個除法算式中，被除數、除數、商的和是123。已知商是3，被除數和除數各是多少？2，兩個數相除，商是5，余數是7，被除數

24、、除數、商、余數的和是187，求被除數。3，兩個數相除，商是17，余數是8，被除數、除數、商和余數的和是501，求被除數和除數是多少。例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍。甲、乙原來各有存款多少元？分析與解答：由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入110元后相當于甲存款數的3倍，取出1103=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相當于乙原有存款的43=12倍，乙現(xiàn)在存入110元后相當于甲原有的12倍，取1103=330元，所以，330110=440元，相當于乙原有的121=11倍。所以，乙原有存款44011=40元，甲

25、原有存款404=160元。練 習 五1，甲的存款是乙的5倍，如果甲取出60元，乙存入60元，那么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原來各有存款多少元？2，劉叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果劉叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，那么劉叔叔的存款是李叔叔的2倍。劉叔叔和李叔叔原來各有存款多少元？3，有大、中、小三筐菠蘿，小筐裝的是中筐的一半，中筐比大筐少裝16千克，大筐裝的是小筐的4倍。大、中、小三筐各裝菠蘿多少千克？第二十八周 周期問題專題簡析：在日常生活中，有一些現(xiàn)象按照一定的規(guī)律不斷重復出現(xiàn)，例如，人的生肖、每周的七天等等。我們把這種特殊的規(guī)律性問題稱為周期問題。解答周期問題的關鍵是找規(guī)律，找出

26、周期。確定周期后，用總量除以周期，如果正好有整數個周期，結果為周期里的最后一個；如果比整數個周期多n個，那么為下個周期里的第n個；如果不是從第一個開始循環(huán)，可以從總量里減掉不是特球的個數后，再繼續(xù)算。例1：你能找出下面每組圖形的排列規(guī)律嗎？根據發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，算出每組第20個圖形分別是什么。（1）（2）分析與解答：第（1）題排列規(guī)律是“”兩個圖形重復出現(xiàn)，202=10，即“”重復出現(xiàn)10次，所以第20個圖形是。第（2）題的排列規(guī)律是“”三個圖形重復出現(xiàn)，203=62，即“”重復出現(xiàn)6次后又出現(xiàn)了兩個圖形“”，所以第20個圖形是。練 習 一（1）第28個圖形是什么？（2）盼望祖國早日統(tǒng)一盼望祖國早日

27、統(tǒng)一盼望祖國早日統(tǒng)一第2001個字是什么字？（3）公園門口掛了一排彩燈泡按“二紅三黃四藍”重復排列，第63只燈泡是什么顏色？第112只呢？例2：有一列數，按5、6、2、4、5、6、2、4排列。（1）第129個數是多少？（2）這129個數相加的和是多少？分析與解答：（1）從排列可以看出，這組數是按“5、6、4、2”一個循環(huán)依次重復出現(xiàn)進行排列，那么一個循環(huán)就是4個數，則1294=321，可知有32個“5、6、4、2”還剩一個。所以第129個數是5。（2）每組四個數之和是5+6+4+2=17，所以，這129個數相加的和是17325=549。練 習 二1，有一列數：1，4，2，8，5，7，1，4，2

28、，8，5，7（1）第58個數是多少？（2）這58個數的和是多少？2，小青把積存下來的硬幣按先四個1分，再三個2分，最后兩個5分這樣的順序一直往下排。（1）他排到第111個是幾分硬幣？（2）這111個硬幣加起來是多少元錢？3，河岸上種了100棵桃樹，第一棵是蟠桃，后面兩棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下去一直這樣排列。問：第100棵是什么桃樹？三種樹各有多少棵？例3：假設所有的自然數排列起來，如下所示39應該排在哪個字母下面？88應該排在哪個字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89分析與解答：從排列情況可以知道，這些自然數是按從小到大4個數一個循環(huán)，我們可以根據這些數除以4所得的

29、余數來分析。394=93 884=22所以，39應排在第10個循環(huán)的第三個字母C下面，88應排在第22個循環(huán)的第四個字母D下面。練 習 三1，有a、b、c三條直線，從a線開始，從1起依次在三條直線上寫數（如下圖），22、59、2001各在哪一條線上？ 2，假設所有自然數如下圖排列起來，36、43、78、2000應分別排在哪個字母下面？ A B C D1 2 3 48 7 6 59 10 11 123，2001個學生按下列方法編號排成五列：一 二 三 四 五1 2 3 4 59 8 7 610 11 12 1317 16 15 14 問：最后一個學生應該排在第幾列？例4：1991年1月1日是星期

30、二，（1）該月的22日是星期幾？該月28日是星期幾？（2）1994年1月1日是星期幾？分析與解答：（1）一個星期是7天，因此，7天為一個循環(huán)，這類題在計算天數時，可以采用“算尾不算頭”的方法。（221）7=3，沒有余數，該月22日仍是星期二；（281）7=36，從星期三開始（包括星期三）往后數6天，28日是星期一。（2）1991年、1993年是平年，1992年是閏年，從1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，10967=1564，從星期三開始往后數4天，1994年1月1日是星期六。練 習 四1，1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期幾？2，1989年12月5日是星期二，

31、那么再過10年的12月5日是星期幾？3，1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期幾？例5：我國農歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動物按順序輪流代表年號，例如，第一年如果屬鼠年，第二年就屬牛年，第三年就是虎年。如果公元1年屬雞年，那么公元2001年屬什么年？分析與解答：一共有12種動物，因此12為一個循環(huán)，為了便于思考，我們把“狗、豬、鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞”看作一個循環(huán)，從公元2年到公元2001年共經歷了2000年（算頭不算尾），200012=1668，從狗年開始往后數8年，公元2001年是蛇年。練 習 五我國農歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、

32、羊、猴、雞、狗、豬12種動物按順序輪流代表年號。1，如果公元3年屬豬年，那么公元2000年屬什么年？2，如果公元6年屬虎年，那么公元21世紀的第一個虎年是哪一年？3，公元2001年屬蛇年，公元2年屬什么年？第二十九周 行程問題（一）專題簡析：我們把研究路程、速度、時間這三者之間關系的問題稱為行程問題。行程問題主要包括相遇問題、相背問題和追及問題。這一周我們來學習一些常用的、基本的行程問題。解答行程問題時，要理清路程、速度和時間之間的關系，緊扣基本數關系“路程=速度時間”來思考，對具體問題要作仔細分析，弄清出發(fā)地點、時間和運動結果。例1：甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時

33、走6千米，乙每小時走4千米。兩人幾小時后相遇？分析與解答：這是一道相遇問題。所謂相遇問題就是指兩個運動物體以不同的地點作為出發(fā)地作相向運動的問題。根據題意，出發(fā)時甲乙兩人相距20千米，以后兩人的距離每小時縮短64=10千米，這也是兩人的速度和。所以，求兩人幾小時相遇，就是求20千米里面有幾個10千米。因此，兩人20（64）=2小時后相遇。練 習 一1，甲乙兩艘輪船分別從A、B兩港同時出發(fā)相向而行，甲船每小時行駛18千米，乙船每小時行駛15千米，經過6小時兩船在途中相遇。兩地間的水路長多少千米？2，一輛汽車和一輛摩托車同時分別從相距900千米的甲、乙兩地出發(fā)，汽車每小時行40千米，摩托車每小時行

34、50千米。8小時后兩車相距多少千米？3，甲乙兩車分別從相距480千米的A、B兩城同時出發(fā)，相向而行，已知甲車從A城到B城需6小時，乙車從B城到A城需12小時。兩車出發(fā)后多少小時相遇？例2：王欣和陸亮兩人同時從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？分析與解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的時間。根據題意可知，狗的速度是每分鐘行500米，關鍵是要求出狗所行的時間，根據題意可知：狗與主人是

35、同時行走的，狗不斷來回所行的時間就是王欣和陸亮同時出發(fā)到兩人相遇的時間，即2000（11090）=10分鐘。所以狗共行了50010=5000米。練 習 二1，甲乙兩隊學生從相隔18千米的兩地同時出發(fā)相向而行。一個同學騎自行車以每小時15千米的速度在兩隊之間不停地往返聯(lián)絡。甲隊每小時行5千米，乙隊每小時行4千米。兩隊相遇時，騎自行車的同學共行多少千米？2，A、B兩地相距400千米，甲、乙兩車同時從兩地相對開出，甲車每小時行38千米，乙車每小時行42千米。一只燕子以每小時50千米的速度和甲車同時出發(fā)向乙車飛去，遇到乙車又折回向甲車飛去。這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米，兩車才能相遇？3，甲、乙兩個

36、車隊同時從相隔330千米的兩地相向而行，甲隊每小時行60千米，乙隊每小時行50千米。一個人騎摩托車以每小時行80千米的速度在兩車隊中間往返聯(lián)絡，問兩車隊相遇時，摩托車行駛了多少千米？例3：甲每小時行7千米，乙每小時行5千米，兩人于相隔18千米的兩地同時相背而行，幾小時后兩人相隔54千米？分析與解答：這是一道相背問題。所謂相背問題是指兩個運動的物體作背向運動的問題。在相背問題中，相遇問題的基本數量關系仍然成立，根據題意，甲乙兩人共行的路程應該是5418=36千米，而兩人每小時共行75=12千米。要求幾小時能行完36千米，就是求36千米里面有幾個12千米。所以，3612=3小時。練 習 三1，甲車

37、每小時行6千米，乙車每小時行5千米，兩車于相隔10千米的兩地同時相背而行，幾小時后兩人相隔65千米？2，甲每小時行9千米，乙每小時行7千米，甲從南莊向南行，同時乙從北莊向北行。經過3小時后，兩人相隔60千米。南北兩莊相距多少千米？3，東西兩鎮(zhèn)相距20千米，甲、乙兩人分別從兩鎮(zhèn)同時出發(fā)相背而行，甲每小時的路程是乙的2倍，3小時后兩人相距56千米。兩人的速度各是多少？例4：甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時向東而行，甲騎自行車每小時行13千米，乙步行每小時走5千米。幾小時后甲可以追上乙？分析與解答：這是一道追及問題。根據題意，甲追上乙時，比乙多行了24千米（路程差）。甲騎自行車每小時行13千米，

38、乙步行每小時走5千米，甲每小時比乙多行135=8千米（速度差），即甲每小時可以追上乙8千米，所以要求追上乙所用的時間，就是求24千米里面有幾個8千米。因此，248=3小時甲可以追上乙。練 習 四1，甲乙兩人同時從相距36千米的A、B兩城同向而行，乙在前甲在后，甲每小時行15千米，乙每小時行6千米。幾小時后甲可追上乙？2，解放軍某部從營地出發(fā)，以每小時6千米的速度向目的地前進，8小時后部隊有急事，派通訊員騎摩托車以每小時54千米的速度前去聯(lián)絡。多長時間后，通訊員能趕上隊伍？3，小華和小亮的家相距380米，兩人同時從家中出發(fā)，在同一條筆直的路上行走，小華每分鐘走65米，小亮每分鐘走55米。3分鐘后

39、兩人相距多少米？例5：甲、乙兩沿運動場的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長400米。如果兩人同時從起跑線上同方向跑，那么甲經過多長時間才能第一次追上乙？分析與解答：這是一道封閉線路上的追及問題。甲和乙同時同地起跑，方向一致。因此，當甲第一次追上乙時，比乙多跑了一圈，也就是甲與乙的路程差是400米。根據“路程差速度差=追及時間”即可求出甲追上乙所需的時間：400（290270）=20分鐘。練 習 五1，一條環(huán)形跑道長400米，小強每分鐘跑300米，小星每分鐘跑250米，兩人同時同地同向出發(fā)，經過多長時間小強第一次追上小星？2，光明小學有一條長200米的環(huán)形跑道，亮亮和晶

40、晶同時從起跑線起跑。亮亮每秒跑6米，晶晶每秒跑4米，問：亮亮第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米？3，甲、乙兩人繞周長1000米的環(huán)形廣場競走，已知甲每分鐘走125米，乙的速度是甲的2倍?，F(xiàn)在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分鐘？第三十周 用假設法解題專題簡析：假設法是一種常用的解題方法?！凹僭O法”就是根據題目中的已知條件或結論作出某種假設，然后按已知條件進行推算，根據數量上出現(xiàn)的矛盾作適當調整，從而找到正確答案。運用假設法的思路解應用題，先要根據題意假設未知的兩個量是同一種量，或者假設要求的兩個未知量相等；其次，要根據所作的假設，注意到數量關系發(fā)生了什么變化并作出適當的調整。例1：今有雞、兔

41、共居一籠，已知雞頭和兔頭共35個，雞腳與兔腳共94只。問雞、兔各有多少只？分析與解答：雞兔同籠問題往往用假設法來解答，即假設全是雞或全是兔，腳的總數必然與條件矛盾，根據數量上出現(xiàn)的矛盾適當調整，從而找到正確答案。假設全是雞，那么相應的腳的總數應是235=70只，與實際相比，減少了9470=24只。減少的原因是把一只兔當作一只雞時，要減少42=2只腳。所以兔有242=12只，雞有3512=23只。練 習 一1，雞與兔共有30只，共有腳70只。雞與兔各有多少只？2，雞與兔共有20只，共有腳50只。雞與兔各有多少只？3，雞與兔共有100只，雞腳比兔腳多80只。雞與兔各有多少只？例2：面值是2元、5元

42、的人民幣共27張，全計99元。面值是2元、5元的人民幣各有多少張？分析與解答：這道題類似于“雞兔同籠”問題。假設全是面值2元的人民幣，那么27張人民幣是227=54元，與實際相比減少了9954=45元，減少的原因是每把一張面值2元的人民幣當作一張面5元的人民幣，要減少52=3元，所以，面值是5元的人民幣有453=15張，面值2元的人民幣有2715=12張。練 習 二1，孫佳有2分、5分硬幣共40枚，一共是1元7角。兩種硬幣各有多少枚？2，50名同學去劃船，一共乘坐11只船，其中每條大船坐6人，每條小船坐4人。問大船和小船各幾只？3，小明參加猜謎比賽，共20道題，規(guī)定猜對一道得5分，猜錯一道倒扣

43、3分（不猜按錯算）。小明共得60分，他猜對了幾道？例3：一批水泥，用小車裝載，要用45輛；用大車裝載，只要36輛。每輛大車比小車多裝4噸，這批水泥有多少噸？分析與解答：求出大車每輛各裝多少噸，是解題關鍵。如果用36輛小車來運，則剩436=144噸，需4536=9輛小車來運，這樣可以求出每輛小車的裝載量是1449=16噸，所以，這批水泥共有1645=720噸。練 習 三1，一批貨物用大卡車裝要16輛，如果用小卡車裝要48輛。已知大卡車比小卡車每輛多裝4噸，問這批貨物有多少噸？2，有一堆黃沙，用大汽車運需運50次，如果用小汽車運，要運80次。每輛大汽車比小汽車多運3噸，這堆黃沙有多少噸？3，一批鋼

44、材，用小車裝，要用35輛，用大車裝只用30輛，每輛小車比大車少裝3噸，這批鋼材有多少噸？例4：某玻璃杯廠要為商場運送1000個玻璃杯，雙方商定每個運費為1元，如果打碎一個，這個不但不給運費，而且要賠償3元。結果運到目的地后結算時，玻璃杯廠共得運費920元。求打碎了幾個玻璃杯？分析與解答：假設1000個玻璃杯全部運到并完好無損，應得運費11000=1000元，實際上少得1000920=80元，這說明運輸過程中打碎了玻璃杯。每打碎一個，不但不給運費還要賠償3元，這樣玻璃杯廠就少收入13=4元。又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃杯數為804=20個。練 習 四1，搬運1000玻璃瓶，規(guī)定安全運到

45、一只可得搬運費3角。但打碎一只，不僅不給搬運費還要賠5角。如果運完后共得運費260元，那么，搬運中打碎了多少只？2，某次數學競賽共20道題，評分標準是每做對一題得5分，每做錯一題倒扣1分。劉亮參加了這次競賽，得了64分。劉亮做對了多少道題？3，某校舉行化學競賽共有15道題，規(guī)定每做對一題得10分，每做錯一道或不做倒扣4分。小華在這次競賽中共得66分，他做對了幾道題？例5：某場乒乓球比賽售出30元、40元、50元的門票共200張，收入7800元。其中40元和50元的張數相等，每種票各售出多少張？分析與解答：因為“40元和50元的張數相等”，所以可以把40元和50元的門票都看作45元的門票，假設這

46、200張門票都是45元的，應收入45200=9000元，比實際多收入90007800=1200元，這是因為把30元的門票都當作45元來計算了。因此30元的門票有1200（4530）=80張，40元和50元的門票各有（20080）2=60張。練 習 五1，某場球賽售出40元、30元、50元的門票共400張，收入15600元。其中40元和50元的張數相等，每種門票各售出多少張？2，數學測試卷有20道題，做對一題得7分，做錯一題倒扣4分，不做得0分。紅紅得了100分，她幾道題沒做？3，有甲、乙、丙三種練習簿，價錢分別為7角、3角和2角，三種練習簿一共買了47本，付了21元2角。買乙種練習簿的本數是丙

47、種練習簿的2倍，三種練習簿各買了多少本？第三十一周 還原問題專題簡析：已知某個數經過加、減、乘、除運算后所得的結果，要求原數，這類問題叫做還原問題，還原問題又叫逆運算問題。解決這類問題通常運用倒推法。遇到比較復雜的還原問題，可以借助畫圖和列表來解決這些問題。例1：小剛的奶奶今年年齡減去7后，縮小9倍，再加上2之后，擴大10倍，恰好是100歲。小剛的奶奶今年多少歲？分析與解答：從最后一個條件恰好是100歲向前推算，擴大10倍后是100歲，沒有擴大10倍之前應是10010=10歲；加上2之后是10歲，沒有加2之前應是102=8歲；沒有縮小9倍之前應是89=72歲；減去7之后是72歲，沒有減去7前應

48、是727=79歲。所以，小剛的奶奶今年是79歲。練 習 一1，在里填上適當的數。20816=262，一個數的3倍加上6，再減去9，最后乘上2，結果得60。這個數是多少？3，小紅問王老師今年多大年紀，王老師說：“把我的年紀加上9，除以4，減去2，再乘上3，恰好是30歲?！蓖趵蠋熃衲甓嗌贇q？例2：某商場出售洗衣機，上午售出總數的一半多10臺，下午售出剩下的一半多20臺，還剩95臺。這個商場原來有洗衣機多少臺？分析與解答：從“下午售出剩下的一半還多20臺”和“還剩95臺”向前倒推，從圖中可以看出，剩下的95臺和下午多賣的20臺合起來，即9520=115臺正好是上午售后剩下的一半，那么1152=230

49、臺就是上午售出后剩下的臺數。而230臺和10臺合起來，即23010=240臺又正好是總數的一半。那么，2402=480臺就是原有洗衣機的臺數。練 習 二1，糧庫內有一批大米，第一次運出總數的一半多3噸，第二次運出剩下的一半多5噸，還剩下4噸。糧庫原有大米多少噸？2，爸爸買了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多1個，第二天吃了剩下的一半多1個，第三天又吃掉了剩下的一半多1個，還剩下1個。爸爸買了多少個橘子？3，某水果店賣菠蘿，第一次賣掉總數的一半多2個，第二次賣掉了剩下的一半多1個，第三次賣掉第二次賣后剩下的一半多1個，這時只剩下一外菠蘿。三次共賣得48元，求每個菠蘿多少元？例3：小明、小

50、強和小勇三個人共有故事書60本。如果小強向小明借3本后，又借給小勇5本，結果三個人有的故事書的本數正好相等。這三個人原來各有故事書多少本？分析與解答：不管這三個人如何借來借去，故事書的總本數是60本，根據結果三個人故事書本數相同，可以求最后三個人每人都有故事書603=20本。如果小強不借給小勇5本，那么小強有205=25本，小勇有205=15本；如果小強不向小明借3本，那么小強有253=22本，小明有203=23本。練 習 三1，甲、乙、丙三個小朋友共有賀年卡90張。如果甲給乙3張后，乙又送給丙5張，那么三個人的賀年卡張數剛好相同。問三人原來各有賀年卡多少張？2，小紅、小麗、小敏三個人各有年歷

51、片若干張。如果小紅給小麗13張，小麗給小敏23張，小敏給小紅3張，那么他們每人各有40張。原來三個人各有年歷片多少張？3，甲、乙、丙、丁四個小朋友有彩色玻璃彈子10顆，甲給乙13顆，乙給丙18顆，丙給丁16顆，四人的個數相等。他們原來各有彈子多少顆？例4：甲乙兩桶油各有若干千克，如果要從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再從乙桶倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶，這時兩桶油恰好都是36千克。問兩桶油原來各有多少千克？分析與解答：如果后來乙桶不倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶，甲桶內應有油362=18千克，乙桶應有油3618=54千克；如果開始不從甲桶倒出和乙桶同樣多的油倒入乙桶，乙桶原有油應為542=

52、27千克，甲桶原有油1827=45千克。練 習 四1，王亮和李強各有畫片若干張，如果王亮拿出和李強同樣多的畫片送給李強，李強再拿出和王亮同樣多的畫片給王亮，這時兩個人都有24張。問王亮和李強原來各有畫片多少張？2，甲、乙、丙三個小朋友各有玻璃球若干個，如果甲按乙現(xiàn)有的玻璃球個數給乙，再按丙現(xiàn)有的個數給丙之后，乙也按甲、丙現(xiàn)有的個數分別給甲、丙。最后，丙也按同樣的方法給甲、乙，這時，他們三個人都有32個玻璃球。原來每人各有多少個？3，書架上分上、中、下三層，共放192本書?，F(xiàn)從上層出與中層同樣多的書放到中層，再從中層取出與下層同樣多的書放到下層，最后從下層取出與上層剩下的同樣多的書放到上層，這時

53、三書架所放的書本數相等。這個書架上中下各層原來各放多少本書？例5：兩只猴子拿26個桃，甲猴眼急手快，搶先得到，乙看甲猴拿得太多，就搶去一半；甲猴不服，又從乙猴那兒搶走一半；乙猴不服，甲猴就還給乙猴5個，這時乙猴比甲猴多5個。問甲猴最初準備拿幾個？分析與解答：先求出兩個猴現(xiàn)在各拿多少，根據“有26個桃”和“這時乙猴比甲猴多2個”，可知乙猴現(xiàn)在拿（262）2=14個，甲猴現(xiàn)在拿2614=12個。甲猴從乙猴那兒搶走一半，又還給乙猴5個后有12個，如果甲猴不還給乙猴，那么甲猴有125=17個；如果甲猴不搶乙猴一半，那么乙猴現(xiàn)在有（2617）2=18個。乙猴看甲猴拿得太多，搶去甲猴的一半后有18個，如果

54、不搶，那么甲猴最初準備拿（2618）2=16個。練 習 五1，學校運來36棵樹苗，小強和小萍兩人爭著去栽。小強先拿了樹苗若干棵，小萍看到小強拿太多了就搶了10棵，小強不肯，又從小萍那里搶了6棵，這時小強拿的棵數是小萍的2倍。問最初小強準備拿多少棵？2，李輝和張新各搬60本圖書，李輝搶先拿了若干本，張新看李輝拿了太多，就搶了一半；李輝不肯，張新就給了他10本。這時李輝比張新多4本。問最初李輝拿了多少本？3，有甲、乙、丙三個數，從甲數中拿出15加到乙數，再從乙數中拿出18加到丙數，最后從丙數拿出12加到甲數，這時三個數都是180。問甲、乙、丙三個數原來各是多少？第三十二周 邏輯推理專題簡析：解答推

55、理問題常用的方法有：排除法、假設法、反證法。一般可以從以下幾方面考慮：1，選準突破口，分析時綜合幾個條件進行判斷；2，根據題中條件，在推理過程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結論；3，對可能出現(xiàn)的情況作出假設，然后再根據條件推理，如果得到的結論和條件不矛盾，說明假設是正確的；4，遇到比較復雜的推理問題，可以借助圖表進行分析。例1：有三個小朋友們在談論誰做的好事多。冬冬說：“蘭蘭做的比靜靜多?！碧m蘭說：“冬冬做的比靜靜多?！膘o靜說：“蘭蘭做的比冬冬少。”這三位小朋友中，誰做的好事最多？誰做的好事最少？分析與解答：我們用“”來表示每個小朋友之間做好事多少的關系。蘭蘭靜靜 冬冬靜靜 冬冬蘭蘭所以，冬冬蘭蘭靜靜，冬冬做的好事最多，靜靜做的最少。練 習 一1，盧剛、丁飛和陳瑜一位是工程師，一位是醫(yī)生，一位是飛行員。現(xiàn)在只知道：盧剛和醫(yī)生不同歲；醫(yī)生比丁飛年齡小，陳瑜比飛行員年齡大。問：誰是工程師、誰是醫(yī)生、誰是飛行員？2，小李、小徐和小張是同學，大學畢業(yè)后分別當了教師、數學家和工程師。小張年齡比工程師大；小李和數學家不同歲；數學家比小徐年齡小。誰是教師、誰是數學家、誰是工程師？3，江波、劉曉、吳萌三個老師，其中一位教語文，一位教數學，一位教英語。已知：江波和語文老師是鄰居；吳萌和語文老師不是鄰居；吳萌和數學老師是同學。請問：三個老師分別教什么科目？例2：有一個正方