導(dǎo)數(shù)定義及公式

1、導(dǎo)數(shù)：1.若f(x)=c,則f（x）=2. 若f(x)=xn（nQ*），則f（x）=3. 若f(x)=sinx,則f（x）=4.若f(x)=cosx,則f（x）=5. 若f(x)= ax,則f（x）=6. 若f(x)= ex,則f（x）=7. 若f(x)= logax,則f（x）=8. 若f(x)= lnx,則f（x）=9.【fxg(x)】=10. 【fx.g(x)】=11.【fxg(x)】=12. 【cfx】=13. y=fu,u=g(x)，則y=f（g（x）； yx= sin2x= （e-x）=#導(dǎo)數(shù)：一般地，函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率是 x0limy x= x0limfx0

2、+x-f(x0)x,稱函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作： f（x）或yx=x0。即 f（x0）=x0limy x= x0limfx0+x-f(x0)x。#函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0）處的切線斜率，也就是說曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0）處的切線斜率是f（x0）。相應(yīng)地，過p點的切線方程為：y-f（x0）=f（x0）（x-x0）#導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就說函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則f（x）在（a，b）內(nèi)每一點的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個新函數(shù)

3、，把這一新函數(shù)叫做f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）記作f（x）或y或yx。即f（x）=y=x0limy x= x0limfx+x-f(x)x一、函數(shù)的單調(diào)性一般地，與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f（x），那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f（x），則f（x）嚴(yán)格增函數(shù)；如果f（x）是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分而不必要條件。求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：. 確定y=f（x）的定義域；. 求導(dǎo)數(shù)f（x），求出f（x）的根；. 函數(shù)的無定義點和f（x）的根將f（x）的定義域分成若干區(qū)間，列表考查這若干區(qū)間內(nèi)f（x）的符號，進而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間

4、。注意：.如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不止一個，哪個這些單調(diào)區(qū)間不能用“”連接，只能用逗號或“和”字隔開。. 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時易忽視函數(shù)的定義域。應(yīng)優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域。二、函數(shù)的極值：.定義，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有點，都有f（x）f（x0），則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值。極大值點、極小值點統(tǒng)稱極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱極值。.判斷f（x0）是極大值或極小值的方法：第一步，確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f（x）；第二步，求方程f（x）的根；第三步，檢查f（x）在f（x）的根左右兩側(cè)的值的符號；.如果“左正右負(fù)”，那么f（x）在這個根處取到極大值；.如果

5、“左負(fù)右正”，那么f（x）在這個根處取到極小值；. 如果左右不改變符號，即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個根處無極值。在此步聚中，最好利用方程f（x）的根，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個開區(qū)間，并列表，依表格內(nèi)容得出結(jié)論。函數(shù)在極值點的導(dǎo)數(shù)為，但導(dǎo)數(shù)為的點不一定是極值點，如函數(shù)f（x）x3，點x就不是極值點，但f（）；函數(shù)的極大值不一定大于極小值；在給定的一個區(qū)間上，函數(shù)可能有若干個極值點，也可能不存在極值點。三函數(shù)的最值：設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在區(qū)間a，b上的函數(shù)，y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求y=f（x）在a，b上的最大值與最小值，其步驟為：先求函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)的

6、極值；再將函數(shù)y=f（x）的各極值與端點的函數(shù)值f（a）、f（b ）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。如果在區(qū)間a，b 上，函數(shù)y=f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則函數(shù)在a，b 上一定能夠取得最大值和最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點或端點處取得。提示：.若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，則f（a）為最小值，f（b）為最大值；若若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，則f（a）為最大值，f（b）為最小值。.圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在開區(qū)間（a，b）上不一定有最大（?。┲担绻麍D象連續(xù)不斷的函數(shù)在開區(qū)間（a，b）上只有一個極值，則該極值就是最值。.函數(shù)的極值不一定是最值，

7、求函數(shù)的最值與函數(shù)的極值不同的是，在求可導(dǎo)函數(shù)的最值時，不需要對各導(dǎo)數(shù)為的點討論，其是極大值還是極小值，只需將導(dǎo)數(shù)為的點的函數(shù)和端點函數(shù)值時行比較。在解決實際生活中優(yōu)化問題注意事項：1必須考慮是否符合實際意義只有一個點使f（x）的情形，如果在點有最大（?。┲?，不與端點比較也能知道是最大（?。┲?。不僅注意將問題涉及變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示出來，而且還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間。四定積分及應(yīng)用定積分定義：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)用分點a=x0x1xi-1xixn=b,將區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi-1，xi上任取一點i（i=1，2，3，n），作和式i=1nf（i）

8、x=i=1nb-anf（i），當(dāng)n時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上定積分，記作abf（x）dx。即abf（x）dxnlimi=1nb-anf（i）其中f（x）叫做被積函數(shù)，a做積分下限，b做積分上限。定積分abf（x）dx不是一個表達式，是一個常數(shù)。定積分幾何意義：從幾何上看，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間a，b上連續(xù)且恒有f（x），那么定積分abf（x）dx表示直線x=a,x=b（ab），y=0和曲線y=f（x）所圍成的曲邊梯形的面積；定積分性質(zhì)：abkf（x）dx=kabf（x）dx(k為常數(shù))abfxg()dx=abf（x）dx abg（x）dx abf（

9、x）dx =-baf（x）dx 以上是線性性質(zhì)，下面是對區(qū)間可加性acf（x）dx abf（x）dx +bcf（x）dx （abc）微積分基本定理牛頓萊布尼茲公式一般地，如果f（x）在區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且（x）f（x），那么abf（x）dx （b）（a）。定積分的簡單應(yīng)用：一、 求平面圖形面積的應(yīng)用. 定積分與平面圖形面積的關(guān)系通過定積分運算可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可以取正也可以取負(fù)，也可為.（） 當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸上方，定積分值取正值，且等于曲邊梯形的面積；（） 當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于軸下方，定積分值取負(fù)值，且等于曲邊梯形面積的相反數(shù)；（） 當(dāng)位于軸上方的曲邊梯形的面積等于位于軸下方的曲邊梯形的面積時，定積分的值為，且等于位于軸上方的曲邊梯形的面積減去位于軸下方的曲邊梯形的面積。. 利用定積分求平面圖形面積的步驟（） 畫出