平面幾何在解析幾何中的應(yīng)用

1、平面幾何在解析幾何中的應(yīng)用南昌大學(xué)附中 陳一君一、活用幾何關(guān)系速解圓類問題在解析幾何中，作為二次曲線的圓是研究直線的延續(xù)和學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ).圓既是軸對稱圖，又是中心對稱圖形，其中蘊(yùn)藏著諸多位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，對于解析幾何中圓的某些問題，若能活用題中幾何要素的關(guān)系，解題就會變得簡單而快捷，圓涉及的知識點(diǎn)主要有：圓中切割線定理、圓冪定理、垂徑定理.活用圓的幾何性質(zhì)可以快速解決圓類問題，降低運(yùn)算量，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真分析圖形的幾何性質(zhì)，養(yǎng)成綜合應(yīng)用知識的習(xí)慣，提高解題技巧與能力.解題時，若能把握形的幾何特征，注意挖掘隱蔽條件，靈活利用平面幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運(yùn)算量，將會起到非常重要的作用，今

2、天我們帶領(lǐng)大家學(xué)習(xí)如何活用幾何關(guān)系速解圓類問題.【例題】已知直線和圓相交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)在直線l上，且滿足，當(dāng)變化時，求的軌跡xylPTABC圖1【常規(guī)解法】設(shè)點(diǎn)，則的參數(shù)方程為將（1）代入，得顯然設(shè)方程（2）的兩根為，由，依題意點(diǎn)在AB或BA的延長線上，即即為的軌跡方程，表示以為圓心，為半徑的圓【點(diǎn)評】由聯(lián)想到直線的參數(shù)方程中的幾何意義雖然也很自然，但相對與參數(shù)方程在教材中的地位來說對更多高三學(xué)生來說亦屬不易，還有運(yùn)算量相比較還是比較大的，時間成本的控制不如方法一需要說明的是如果不用直線的參數(shù)方程的方法，純代數(shù)解幾的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定時間內(nèi)完成【利用圓的幾何性質(zhì)解法

3、】圓的圓心由切割線定理，如圖1所示，有，故點(diǎn)在圓外，點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)評】顯然直線AB是圓的割線，運(yùn)用平面幾何知識中的切割線定理求軌跡就簡單明了，結(jié)果是體現(xiàn)在運(yùn)算量得到極大地減少，時間成本得到控制通過本節(jié)微專題學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)求解圓的問題時，若能充分揭示問題中的幾何關(guān)系，靈活運(yùn)用平面幾何知識，解題則會事半功倍.切割線定理、圓冪定理、垂徑定理是圓的對稱性的反映，它們在圓中的應(yīng)用程度非常之廣泛.【針對訓(xùn)練】（2013年福建高考文科試題）如圖，拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，|OC|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M、N（I）若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；（

4、II）若，求圓C的半徑【分析】本題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識根據(jù)條件圓心C在拋物線上且過原點(diǎn)，解法如下：（）拋物線的準(zhǔn)線l的方程為，由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C坐標(biāo)，所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d=2，又|CO|=5所以（）【常規(guī)解法】設(shè)，則圓的方程為：，即，由， 設(shè)得到由，得， 此時圓心的坐標(biāo)為或，從而得，即圓的半徑為【利用圓的幾何性質(zhì)解法】抓住圓的幾何特征結(jié)合垂徑定理，從圓冪定理為切入點(diǎn)有下列簡潔解法：設(shè)圓C與x軸交于不同的兩點(diǎn)O、G由圓冪定理知：|AO|AG|AM|AN|由條件F，即|AM|AN|AO|AG|，由條件設(shè)，則，或，【點(diǎn)評】（I）涉及拋物線與圓

5、的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵要抓住圓心在拋物線上、圓過原點(diǎn)這些幾何特征，結(jié)合垂徑定理和根與系數(shù)關(guān)系解決問題（II）根據(jù)條件抓住幾何特征通過圓冪定理解決，顯然比標(biāo)準(zhǔn)答案所給的方法簡單明了，關(guān)鍵就是充分利用了圓的幾何性質(zhì)化難為易、化繁為簡，收到事半功倍的效果二、解析幾何中巧用三角形相似簡化計(jì)算解析幾何是建立在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，用代數(shù)方法解決幾何問題的一門學(xué)科，它開創(chuàng)了數(shù)、形結(jié)合研究方法.解決解析幾何問題的最大難度是如何把握好解題的總體思想策略.但在平時的解析幾何教學(xué)中，師生往往偏重于相關(guān)量的數(shù)量關(guān)系的研究，摒棄了最基本，最直接的解題思路，不重視平面幾何知識,但解析幾何的“魂”還

6、是“幾何”特征.在現(xiàn)代中學(xué)教學(xué)中，解解析幾何時，可以靈活應(yīng)用平面幾何知識，找到簡捷的解題途徑，簡化解析幾何的解題過程，降低運(yùn)算量.運(yùn)用平面幾何知識，能培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真分析圖形的幾何性質(zhì)，養(yǎng)成綜合應(yīng)用知識的習(xí)慣，提高解題技巧與能力.解題時，若能把握形的幾何特征，注意挖掘隱蔽條件，靈活利用平面幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運(yùn)算量，將會起到非常重要的作用，今天我們帶領(lǐng)大家學(xué)習(xí)如何利用平面幾何的三角形相似知識巧妙解決解析幾何的問題.【例題】如圖：橢圓的左右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為A，離心率，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橢圓上的一個點(diǎn)，且則直線的斜率為 .【常規(guī)解法一】P到直線的距離和到軸的距離的比為2:1，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)

7、而求.F2AxyPF1OF2AxyPF1NMO設(shè)P(m,n)，由題意知直線，P到直線的距離,即（點(diǎn)P在直線AF1的右側(cè)，可直接去掉絕對值符號）整理得（體現(xiàn)了設(shè)而不求）【常規(guī)解法二】A與到直線的距離的比為2:1，用點(diǎn)到直線的距離公式直接解出yF2AxPF1M2N1O設(shè)直線方程為,由與到直線的距離的比為2:1得到等式，即（注意點(diǎn)到直線距離公式中絕對值符號是如何去掉的）【利用相似比解法一】連接與交于點(diǎn)，證明是線段的三等分點(diǎn)，進(jìn)而求F2AxyPF1BMNO如圖，作AM垂直于于點(diǎn)M，作垂直于點(diǎn)N，,連接交于點(diǎn)，由相似比知，所以是線段的三等分點(diǎn)，而，求出點(diǎn)坐標(biāo)是，所以F2AxyPF1MNO【利用相似比解法

8、二】AO與交于點(diǎn)B，證明B是線段AO的五等分點(diǎn)，就能得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求連接OP，知，由，得出，作AM垂直于點(diǎn)M，作ON垂直于于點(diǎn)N，設(shè)與y軸的交點(diǎn)為B，由相似比知，所以B是線段AO的五等分點(diǎn)，而，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以【評析】靈活地應(yīng)用平面幾何知識，可以快速化解題目的難點(diǎn)之處.幾何分析是“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，是特殊性方法，是“數(shù)形結(jié)合”思想應(yīng)用.通過本節(jié)微專題學(xué)習(xí)，對于某些解析幾何問題，我們不一定都要通過常規(guī)方法入手，只要我們認(rèn)真分析題目中幾何量之間的關(guān)系，運(yùn)用平面幾何的觀點(diǎn)來審題，認(rèn)清題目的本質(zhì)特征，然后再動筆，往往帶來很多方便.要讓學(xué)生在自然的代數(shù)過程中聯(lián)系幾何轉(zhuǎn)化，不要刻意分割解析幾何

9、中的“數(shù)”與“形”，讓數(shù)形結(jié)合思想真正融入解題思維里【針對訓(xùn)練】已知圓直線為l上的一點(diǎn)，射線OP交圓于點(diǎn)R，點(diǎn)Q在OP上，且滿足，當(dāng)P點(diǎn)在l上移動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程.【分析】常規(guī)解法相當(dāng)繁瑣，令人頭疼.限于篇幅，這里不再展示常規(guī)解法，但是，如果采用三角形相似來解決的話，會很簡單.解：如圖所示，過點(diǎn)P作圓的切線PM，M為切點(diǎn)，連接MQ，易證由，得，即，故為定值，又故點(diǎn)Q的軌跡方程為.【點(diǎn)評】到目前為止,這是我所見到的本題最簡潔的解法,簡煉有力,令人驚嘆！三、平面幾何在求軌跡方程中的應(yīng)用在最近幾年的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)了同學(xué)們學(xué)習(xí)中存在的一個普遍問題：學(xué)哪一段就用哪一段的方法，這樣做產(chǎn)生的后果是:思路

10、閉塞，運(yùn)算繁瑣.伴隨著年齡的增長，同學(xué)們所掌握的數(shù)學(xué)方法越來越多，進(jìn)入高中以后，特別是接觸到解析幾何后，我們不少同學(xué)就有點(diǎn)喜新厭舊了，把以前初中的平面幾何知識拋到一邊，認(rèn)為有點(diǎn)過時了.其實(shí)不然，數(shù)學(xué)方法并沒有過時的說法，一些簡單地定理往往能帶來令人意想不到的效果，如中線定理、角平分線定理、射影定理等平面幾何中的基本知識，如果運(yùn)用得當(dāng)?shù)脑?，就可以將你從解析幾何繁?fù)的運(yùn)算中解放出來，甚至能讓你拍案叫絕.求軌跡方程是解析幾何中的兩大基本問題之一，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.其方法多種多樣，但在求軌跡方程中,如果能夠充分利用平面幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運(yùn)算量，將會起到非常重要的作用，今天我們帶領(lǐng)大

11、家學(xué)習(xí)應(yīng)用平面幾何求解軌跡方程的問題.【例題】已知圓O的方程是，定點(diǎn),如圖作矩形APBQ（A、B兩點(diǎn)在圓上）.求矩形的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.xyA6-6OPBQM【常規(guī)解法】設(shè)，則：,又即.即所求矩形的頂點(diǎn)Q的軌跡方程為：.【點(diǎn)評】以上解法很常規(guī)，但其消元的過程是在太巧妙了！不易想到.除此之外，還可利用PA斜率K為參數(shù)，建立Q的參數(shù)方程來解決，但其運(yùn)算過程相當(dāng)復(fù)雜，不易求解.【利用中線定理幾何性質(zhì)解法】如上圖，連接OP,OQ,OA,OB,OM（M為矩形APBQ的對角線的交點(diǎn)）由平面幾何的中線定理知識可知：在中，在中，從而可得：，故為所求方程.【點(diǎn)評】在求軌跡方程中，充分利用平面幾何知識，結(jié)合圓錐曲

12、線的定義，在解題中，特別是在考試的客觀題解答中，將使解題過程簡單，迅速得出正確答案.通過本節(jié)微專題學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)求解解析幾何的軌跡方程問題時，若能充分靈活運(yùn)用平面幾何知識（中線定理）快速地給出了解答，方法之妙令人叫絕，解題則會事半功倍.平時教學(xué)中，教師應(yīng)注意這方面的指導(dǎo).【針對訓(xùn)練】點(diǎn)A，B，C依次在直線l上，且AB=4BC，過C作l的垂線，M是這條垂線上的動點(diǎn)，以A為圓心，為AB半徑作圓，與是這個圓的切線，求垂心的軌跡T1yMAxT2HNBC【分析】如圖，以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立坐標(biāo)系，H為的垂心，N為與AM的交點(diǎn)，記BC=1以A為圓心的圓方程為，連結(jié)，同理.又，是菱形.又設(shè)點(diǎn)H坐標(biāo)為(x

13、，y)，點(diǎn)M坐標(biāo)為(5，b)，則點(diǎn)N坐標(biāo)為，將坐標(biāo)代入，再由，得在AB上取點(diǎn)K，使，所求軌跡是以K為圓心，AK為半徑的圓【點(diǎn)評】本題解法的可取之處在于嫻熟的運(yùn)用了平幾知識，得出是菱形后，依據(jù)菱形對角線互相垂直得出直角三角形，利用直角三角形射影定理得出結(jié)論整個解法“平幾味”甚濃，扣“形”不放，堪稱數(shù)形結(jié)合的典范，事半功倍四、巧用投影優(yōu)化計(jì)算高考的解析幾何題，似曾相見曾相識，看似平淡需真功。很多時候，解析幾何綜合題的復(fù)雜性讓許多學(xué)生望而卻步，成為學(xué)生高考成敗的關(guān)鍵。單純地依賴代數(shù)方法解決幾何問題，不光導(dǎo)致運(yùn)算十分復(fù)雜，也有可能導(dǎo)致思路無法展開，能不能有效避開一些繁難計(jì)算，有時關(guān)注試題中的幾何特征是

14、解決解析幾何問題的關(guān)鍵今天我們帶領(lǐng)大家探討是平面上兩點(diǎn)間距離的轉(zhuǎn)化問題，平面上兩點(diǎn)間距離公式是先求平方和再開方，運(yùn)算十分雜，但利用一條直線上兩線段長度比值與它們在同一坐標(biāo)軸上的投影比值相等性質(zhì)，可將其轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，將二維運(yùn)算簡化為一維運(yùn)算，能夠化繁為簡，打開“柳暗花明又一村”的新局面【例題】在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，是動點(diǎn)且直線與的斜率之積為 （）求動點(diǎn)的軌跡方程（）； （）設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)、，問是否存在點(diǎn)，使得與的面積相等?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【過程分析】試題中是兩條動弦與橢圓相交，不再是一條直線與橢圓相交的位置關(guān)系，避開了常規(guī)的聯(lián)立方程模

15、式套路試題中涉及、五個點(diǎn)，而且點(diǎn)、是由點(diǎn)生成的，所以先要通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為參變量，然后計(jì)算點(diǎn)、的坐標(biāo)，再利用五個點(diǎn)坐標(biāo)分別表示與的面積，將它們用引入?yún)⒆兞勘硎?，利用它們相等的關(guān)系，進(jìn)而求出的坐標(biāo)【解析】思路一：計(jì)算長與點(diǎn)到的距離，到的距離，分別計(jì)算與兩個面積，思路雖自然，運(yùn)算有一定困難依題意：設(shè)、則直線方程：，直線方程：分別令，得，（多個字母參數(shù)的運(yùn)算是學(xué)生死穴，這種計(jì)算比較復(fù)雜，學(xué)生在心理上就已經(jīng)發(fā)抖、害怕）于是（、點(diǎn)坐標(biāo)復(fù)雜導(dǎo)致三角形面積代數(shù)轉(zhuǎn)化有困難）又直線的方程為，且到直線的距離 ，且，所以由題設(shè)條件，得又，所以，得代入橢圓方程，得，故存在點(diǎn)，使得與的面積相等【評析】解析幾何的代數(shù)特征經(jīng)常

16、體現(xiàn)在“設(shè)而不求”技巧上，上述解法中困難是計(jì)算、點(diǎn)坐標(biāo)是不是一定要求出、點(diǎn)坐標(biāo)呢?這就讓我們進(jìn)一步思考，三角形面積一定要表示成“底乘以高”的形式么?思路二：我們發(fā)現(xiàn)要求的兩個三角形有共同的頂角，利用這個三角形面積公式更容易表示與的面積并可回避、點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算解決問題需要理論支撐：在解析幾何中很少直接用平面上兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算距離，多采用同一條直線上兩線段長度比值化歸轉(zhuǎn)化為兩線段在數(shù)軸上投影的線段比值，回避距離公式中的先平方再開方運(yùn)算，將平面上二維的運(yùn)算化歸到數(shù)軸上一維的運(yùn)算，極大地簡化計(jì)算依題意：假設(shè)存在點(diǎn)，使得與的面積相等設(shè)，則，所以，即（在這不可能去求平面上兩點(diǎn)間的距離，而是利用這四條線段在坐

17、標(biāo)軸上的投影也成相應(yīng)比例關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如此二維的平面兩點(diǎn)距離運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一維的數(shù)軸上兩點(diǎn)距離運(yùn)算，使運(yùn)算簡潔明了，正確率必然大大提高）即，化簡得，得（后面同解法一） 【評析】共同的頂角兩三角形面積關(guān)系，利用這個三角形面積是關(guān)鍵，如果把與的面積關(guān)系調(diào)整成比例關(guān)系，也同樣適用；幾何分析是“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，是特殊性方法，是“數(shù)形結(jié)合”思想應(yīng)用，用好它的前提是掌握好基本幾何圖形（三角形、四邊形、圓等）的幾何性質(zhì)及基本幾何關(guān)系（平行、垂直、相交、相切等）應(yīng)用主要體現(xiàn)在用比較簡潔的“形”的性質(zhì)去轉(zhuǎn)化“數(shù)”的運(yùn)算和推理論證，最后又反饋到“形”的問題完美解決通過本節(jié)微專題學(xué)習(xí)，幾何分析實(shí)現(xiàn)了解析幾何問題巧算，提示我們在求解解析幾何問題時，不能僅僅關(guān)注代數(shù)方程和方程組的求解過程，但也不要去過分拔高幾何圖形分析在解決幾何問題的地位，要讓學(xué)生在自然的代數(shù)過程中聯(lián)系幾何轉(zhuǎn)化，不要刻意分割解析幾何中的“數(shù)”與“形”，讓數(shù)形結(jié)合思想真正融入解題思