階段性測試題7

1、數(shù)學(xué)試卷階段性測試題七（圓錐曲線）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。滿分i50分?？荚嚂r間i20分鐘。第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共i2個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符號題目要求的。2i.（文）圓錐曲線卷+. )2=i a+ 8i的離心率e=寸，貝U a的值為5B.45C. 4 或一4答案Ci解析/ e=夕曲線為橢圓.(i)焦點在 y 軸上時，9a + 80, 8a9, ai.a i i2， a = 4，故選 C.此匕時a + 8（理）（2019廣東佛山）如圖，有公共左頂點和公共左焦點別為ai和a?,半焦距分別為確的是F的橢

2、圓I與n的長半軸的長分 ci和c2,且橢圓n的右頂點為橢圓i的中心.則下列結(jié)論不正（ ）A . ai+ cia2+ c2C. aiC2a2Ci答案D解析由題意知ai = 2a2, aiC22C2,ai ci = a? c2aiC2a2Ci2（m6）與曲線5 nB.離心率相等D.準(zhǔn)線相同(5n6 m0,2= i表示焦點在X軸上的橢圓，其焦距為i0 m 6 m/ m6,2X2 (10 m) (6- m) = 4.2X=i，表示焦點在y9 nn 5軸上的雙曲線，其焦距為-5n9, - - 5 n0.2 2 2 曲線 +- = i，即一5 n 9 nn)+ (n 5) = 4.故選 A.2（理）（20

3、19山東日照）已知拋物線y2= 4x的準(zhǔn)線與雙曲線 拿y2= 1（a0）交于A、B兩點, 點F為拋物線的焦點，若 FAB為直角三角形，則雙曲線的離心率是（）A. . 3B. ,6C. 2D. 3答案B解析由題意易知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x = 1,焦點為F（1,0），直線x= 1與雙彳1- a2曲線的交點坐標(biāo)為（一1 , ）,若厶FAB為直角三角形，則只能是/ AFB為直角， FABa為等腰直角三角形，所以 山二仝=2? a=，從而可得。=冬，所以雙曲線的離心率e=a55c_= 6,選 B.a2 23.（文）若拋物線y2= 2px的焦點與橢圓X6 + y2 = 1的右焦點重合，貝V p的值為（）

4、A . 2B. 2D. 4C. 4答案解析2x橢圓6 +22 = 1的右焦點為（2,0）, p= 2. p = 4.22（理）（08天津）設(shè)橢圓mm2+” 率為2,則此橢圓的方程為2 2宀 +y- = 112 162 2C y- = 1C.48 十 64答案B解析依題意得拋物線得 m2 n21(m0,2 R蘭 B.162 _ xn0）的右焦點與拋物線 y2= 8x的焦點相同,2匕=1122D.尢 + = 16448離心2y =m= 4, n2= 12,則橢圓的方程是 * + 土= 1,選B.2 2x8x的焦點坐標(biāo)是（2,0），橢圓的右焦點坐標(biāo)是（2,0），由題意2 216 12 24.設(shè)F1、

5、F2分別是橢圓 予+希=1（ab0）的左、右焦點，與直線 y= b相切的O F2交橢 圓于點E，且E是直線EF1與O F2的切點，則橢圓的離心率為（）5.6A2B.C念C. 2答案A解析由條件知 EF2+ EF1= 2a, EF2= b,22 且 e= 2 = 1,m 2-EF1 = 2a b.又 EF2丄 EF1, 4c2 = (2a b)2 + b2.將 c2= a2 b2代入得 b=|a.22.2c a 一 b2= 廠=1 a a5.設(shè)B是三角形的一個內(nèi)角,1且sin葉cos皓5則方程sin 0ycos0=1所表示的曲線為（ ）A .焦點在x軸上的橢圓B .焦點在y軸上的橢圓C.焦點在x

6、軸上的雙曲線D .焦點在y軸上的雙曲線答案C12解析由條件知 sin0cos0= 25，且 0 （0, n ,從而 sin0O, cos0|OQ|,點P的軌跡是以O(shè), Q為焦點的橢圓.（理）在正方體A1B1C1D1 ABCD的側(cè)面B內(nèi)有一點P到直線BC的距離是到直線 CQ1 距離的2倍，貝U P點的軌跡是（）A 線段B. 一段橢圓弧C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分答案B解析直線C1D1丄平面BC1, 無論點P在側(cè)面BC1內(nèi)的位置 如何，點P至煩線C1D1的距離都是PC1，則問題可等價轉(zhuǎn)化為在平面1BC1內(nèi)動點P到定點C1距離與到直線BC的距離之比為-，故P點的軌跡為橢圓的一部分.7.（文）

7、拋物線y2= 4x經(jīng)過點P（3, m）,則點P到拋物線焦點的距離等于（）9A.4B. 413C.D. 34答案B解析y2= 4x的準(zhǔn)線方程為x= 1,則點P到它的距離為3+ 1 = 4,故選B.點評利用拋物線定義，將點P到焦點距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離簡便易求.2 2（理）設(shè)P是雙曲線X2 y2 = 1（a0, b0）左支上的一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦 點，則以|PF2|為直徑的圓與以雙曲線的實軸為直徑的圓的位置關(guān)系是（）A .內(nèi)切B.外切C.內(nèi)切或外切D.不相切答案A解析取PF2的中點M，貝y 2QM|=|FiP|,且0、M為兩圓圓心，0M為圓心距.由雙曲線定義可知|PF2|-|PFi

8、|= 2a,即 2|MF2|-2|0M|= 2a, / |0M|= |MF2|- a,即圓心距等于兩圓半徑之差，則兩圓內(nèi)切.2 2& （文）從雙曲線x3- y5 = 1的左焦點Fi引圓x2+ y2= 3的切線FiP交雙曲線右支于點 P, T為切點，M為線段FiP的中點，0為坐標(biāo)原點，貝U |M0|- |MT|等于（）A. . 3B. ,5C. 5 3D. , 5+ ,3答案C解析由題可知，圓與雙曲線相切，a= 3.因為|PFi|-|PF2|= 2a, M為PFi的中點，所以 |PFi|= 2|FiM|,又 0 為 F1F2的中點，所以 |PF2|= 2|M0|,則 2|FiM|-2|M0| =

9、 2a,即|FiM|-|M0|= a,又|FiM|= |FiT|+ |TM|,則 |FiT|+ |TM|- |M0 |= a, |F訂| a = |M0|- |TM|.|FiT|=OFi|：- 0T|2= ；x(理)如圖所示，從雙曲線a2a為T,延長FT交雙曲線右支于與b- a的大小關(guān)系為由條件可知c2- a2= ,b2= 5，所以有 |M0|- |MT|= ,5- ,3. 引圓x2 + y2 = a2的切線，切點 0為坐標(biāo)原點，則|M0|- |MT|( )2-y= 1(a0, b0)的左焦點 FP點，若M為線段FP的中點,B.D.A . |M0|-|MT|b aC. |M0|-|MT|b-a

10、答案B解析 連接 PF , OT.v |FP|-|F P|= 2a, 2|FM |-2|0M |= 2a，即 |FM |- |0M |= a.又/ |0T|= a, |0F|= c, |FT|= b, |FM |= |MT|+ b, |MT|+ b - |0M|= a,即 |M0|- |MT |= b- a,故選 B.|M0| |MT |= b-a不確定9.（文）若直線y= kx+ 1與焦點在x軸上的橢圓 是A. 0m 1答案B解析橢圓焦點在x軸上， m5, 又直線過定點B. K m5D. 0m 1.2M : x2- *= 1的左頂點A作斜率為1的直線I，若I與雙曲線M的兩條漸 B、C,且|A

11、B|=|BC|,則雙曲線 M的離心率是雋B扌C. ,;5D. . 10答案D解析A(- 1,0)，漸近線為y= )x.l的方程為y= x+ 1,y x +1,由彳得|y= dx,(1 b又 |AB|= |BC|, b = 3則離心率 e=32+ 1_、10,選 D.A、B,交其準(zhǔn)線于( )D.y2= 9x10. 如圖，過拋物線 y2 = 2px(p0)的焦點F的直線L交拋物線于點 點C，若 |BC|= 2|BF|,且|AF|= 3,則此拋物線的方程為A 23A . y 2 9C. y = 2x 答案B解析過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 A1、B1,記準(zhǔn)線與x軸交點為F1,則BF BB1,A,

12、/ |CB|= 2|BF|, |CB|= 2|BB1|.a/ BQB 30 - |A1A|= !|AC|. AA11= |AF|= 3, |AC|= 6. F 為 AC 的中點.1 3- |FF11= 2AA1|= 2 拋物線方程為y2 3x.11. (文)設(shè)雙曲線的左、右焦點為F1、F2,左、右頂點為 M、弘若厶PF1F2的一個頂點P在雙曲線上，則 PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點的位置是()A .在線段MN的內(nèi)部B. 在線段F1M的內(nèi)部或NF2內(nèi)部C. 點N或點MD. 以上三種情況都有可能答案C解析若P在右支上，并設(shè)內(nèi)切圓與 PF1, PF2的切點分別為A, B則|NF1|- |NF2

13、| |PF1|- |PF2| (|PA|+ |AF1|)- (|PB|+ |BF2|)= |AF1|- |BF2|. N為切點，同理 P在左支上時，M為切點.2a2 + y2= 1的離心率互為倒數(shù)，其中a10, a2b0,那2 2 2x yx（理）已知雙曲線孑一詁=1與橢圓 么以a1 a2、b為邊長的三角形是B.直角三角形D.等腰三角形A .銳角三角形C.鈍角三角形答案解析2. b22 b2a1a2，則 a2a2= a2a2 + (a2 a2)b2 b4,所以 a2 a?=b2,則以ai、2 2,22 2 C1 C21 = e-ie2= 2 2=2 2a1 a2a1a2a2、b為邊長的三角形是

14、以 a2為斜邊的直角三角形，故選 B.12 .設(shè)直線1: 2x+ y+ 2= 0關(guān)于原點對稱的直線為I,若I與橢圓1PAB的面積為的點P的個數(shù)為D . 42X2 + y = 1的交點4為A、B,點P為橢圓上的動點，則使A. 1答案解析B直線I的方程為2x+ y 2= 0，結(jié)合圖形易知直線I|AB|= 5, / PAB 的I關(guān)于原點對稱的直線A、B分別是橢圓的長軸和短軸的兩個端點，可得面積為2，-橢圓上的點P到直線AB的距離為韋5,則確定點P的個數(shù)即為求與直線 AB平與橢圓的兩個交點一 行且與AB距離為盲的直線與橢圓交點的個數(shù)，設(shè)直線方程為2x+ y+ c = 0，利用兩平行線間的距離公式可知

15、c= 1或c= 3即直線方程為 2x+ y 1 = 0,2x+ y 3= 0，結(jié)合圖形知 直線2x+ y 1 = 0和橢圓相交，而直線2x+ y 3 = 0與橢圓相離，故滿足條件的點共有 2 個.第H卷（非選擇題 共90分）、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上）13. （文）已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線為mxy= 0，若m為集合123,4,5,6,7,8,9中任意一個值，則使得雙曲線的離心率大于3的概率是 .“亠 7答案9解析由題意，雙曲線方程可設(shè)為 m2x2 y2= 1,從而e=：m2+ 13, / m0, / m2 . 2, 故所求

16、概率是9.（理）直線I: y= k（x ,2）與曲線x2 y2= 1（x0）相交于兩點，則直線I的傾斜角的取值范 圍為.n3 nn答案4 a 5,即 |PA|+ |PF| 9，當(dāng)且僅 當(dāng)A、P、F 三點共線，即P為圖中的點P0時等號成立，故|PF|+ |PA|的最小值為9.2X2i5.過點M( 2,0)的直線m與橢圓2 + y = i交于Pi、P2兩點，線段PiP2的中點為P,設(shè)直線m的斜率為&(剛工0)，直線OP的斜率為k2,則kik2的值為1答案2. 2 2 yi y2 yi + y2 yi y2 解析令Pi(xi,yi)、B2(xi,y2),貝ykik2 =一2Xi X2 Xi + X2

17、 Xi X22i6. (08江西)過拋物線x2= 2py(p0)的焦點F作傾斜角為30的直線，與拋物線分別交 于A、B兩點(點A在y軸左側(cè))，則鴿=.|FB|i答案i解析拋物線x2= 2py(p0)的焦點F(0, p),過F傾斜角為30。的直線方程為y=_fx+ p32代入X2= 2py中，消去x得3y2 5py+十=0*設(shè)A(xi, yi), B(X2, y2),貝U yi、y2是方程*的兩實根./ A在原點左側(cè),翌2-P6?=焦半徑 AF|= yi + 2 =才,|BF|= y2+ 2 = 2p, m= i|BF| 3.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或

18、演算步驟)i7.(本小題滿分i2分)(文)已知動圓過定點 P(i,0)，且與直線X = i相切.(1) 求動圓圓心M的軌跡C的方程；設(shè)A、B是軌跡C上異于原點 0的兩個不同點，若0A丄OB ,證明直線AB恒過定點, 并求出該定點的坐標(biāo).解析(1)設(shè)圓心M(x, y).由題意知點M到點P的距離等于點 M到直線x=- 1的距離，故點M的軌跡C是以P(1,0)為焦點，直線x=- 1為準(zhǔn)線的拋物線.軌跡C的方程是y2= 4x.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y= kx+ b(k 0).代入C的方程并整理得2 2 2k2x2 + (2kb 4)x+ b2= 0.設(shè) A(X1, y”，B(x2,

19、 y2),貝U4 2kbb2X1+ X2= k2 , X1X2= 了故 y2 = (kx1 + b)( kx2 + b)22 4b=k X1X2 + kb(X1 + X2)+ b = .由 OA 丄 OB 得 X1X2 + y1y2= 0,即步 + 半=0,解得b= 4k或b= 0(舍去).此時，直線 AB的方程為：y= kx 4k,即 y = k(x 4).此時直線AB過定點(4,0).當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由 OA丄OB可知A、B兩點的坐標(biāo)分別是(4, 4)、(4,4).此時直線AB也過定點(4,0).綜上所述，直線AB恒過定點(4,0).(理)已知頂點在原點，焦點在y軸正半軸上的拋物

20、線與直線I切于點P(2，y0).(1) 若直線I的斜率為1，求拋物線方程；(2) 若直線OP與拋物線圍成陰影部分的面積為2,求拋物線的方程.2xP，解析(1)設(shè)拋物線方程為x2= 2py(p0),則y =器，,=瘡=令 y |x= 2= 1 得，p= 2,所求拋物線方程為 x2= 4y./ P(2, y。)在拋物線 x2= 2py 上， P 2,：,1直線OP的方程為：y=孑故直線OP與拋物線圍成的圖形面積為由條件得p-3p=2, p=3.43p.18. (本小題滿分12分)已知橢圓C:22i拿+ b2= l(ab0)的離心率為-,且經(jīng)過點p(i，3).3a2 4b2 = 0 ，即牙壽=。m=

21、35.20.(本小題滿分2 212分)(文)已知雙曲線C: X2 右=1(a0, b0)的兩條漸近線分別為a b11,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)F是橢圓C的左焦點，判斷以 PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān) 系，并說明理由.2 2 / 、解析T橢圓拿+ b2= 1(ab0)的離心率為舟，且經(jīng)過點P 1，2 ,a由點M在直線I上得，；=；+ m,= 4 b2= 32 2橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁+3 = j2 2(2) / a = 4, b = 3, c= a2 b2= 1.橢圓C的左焦點坐標(biāo)為(一1,0).以橢圓C的長軸為直徑的圓的方程為x2+ y2= 4,圓心坐標(biāo)是(0,0)，半徑為2

22、.以PF為直徑的圓的方程為 x2+ y 4 2= 15圓心坐標(biāo)是 0, 4，半徑為彳.兩圓心之間的距離為.(0 0)2+ 55 0 2=|= 2 5故以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切.19. (本小題滿分12分)已知橢圓E的焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為 込.(1) 求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 已知點A(0,1)和直線I: y= x+ m,線段AB是橢圓E的一條弦并且直線I垂直平分弦 AB，求實數(shù)m的值.解析(1)由 e= C =F，2a = 4 得，c = 3, v a2 b2= c2, b= 1,故橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn) a 22方程為x + y2= 1.由條件可得直線 AB的方程

23、為y= x+ 1.y= x+1由 x2_ 得，5x 8x=0,:+ y2= 1故 Xb= 8, yB= Xb+ 1 = 3.554 1設(shè)弦AB的中點為M，則Xm = , yM=:,5 5I2,過雙曲線的右焦點F作直線l，使I垂直h于P點，且與雙曲線交于點A.當(dāng)h與-的夾角為60且雙曲線的焦距為 4時，求該雙曲線方程.解析/ I1與I2的夾角為60.bb一= tan30 或一 =tan60 - - a= aaa = i 3又 c = 2, b = 1雙曲線方程為x2 -3b 或 b= 3a,la = 1 或，b = , 32 23=1 或 3 y2= 1.(理)平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點，已

24、知兩定點A(1,0), B(0， 1)，動點P(x, y)滿足：OP= mOA + (m 1)OB(m R).(1)求點P的軌跡方程；2 2設(shè)點P的軌跡與雙曲線 C: a b = 1(a0 , b0)交于相異兩點 M、N，若以MN為直 徑的圓經(jīng)過原點，且雙曲線C的離心率等于3，求雙曲線C的方程.解析(1)由已知(x, y) = m(1,0) + (m 1)(0, 1),x= m,y= 1 m. x+ y= 1，即點x+ y= 1由x2a22 2 2 2 2 2 2(b a )x + 2a x a a b = 0.點P軌跡與雙曲線 C交于相異兩點 M、N, b2 a 0, 且 = 4a2 4(b

25、2 a2)( a2 a2b2)0,即(b2 a2)(1 b2) + 10(*) 設(shè) M(X1, y1), N(x, y2)，貝U2a2a + a bX1 + X2=2， X1x2 = 22.b ab aP的軌跡方程為x+ y 1= 0.2-b2=12 2消去y得以MN為直徑的圓經(jīng)過原點， OM ON = 0,即 x1x2 + y1y2= 0. x1x2 + (1 X1)(1 X2) = 0,2 a22(a2+ a2b2)1 + X 2222 = 0b a b a即 b2 a2 2a2b2= 0.2 22 a +b2-e = 2 = 3. b = 2a .ab亞b= 2 .e= J3. / a0, b0.1經(jīng)檢驗a = ,1由解得a= 22b=W符合(*)式，雙曲線C的方程為4x2 2y2= 1.221.(本小題滿分12分)若橢圓 為原點，直徑為橢圓的短軸，O M 的切線FA、PB，切點為A、B.(1)求橢圓的方程；xy23a + b = 1(ab0)過點(3,2)，離心率為 可,O