高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)匯編

1、【基本概念與公式】高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)數(shù)學(xué)必會(huì)基礎(chǔ)題型 平面向量【任何時(shí)候?qū)懴蛄繒r(shí)都要帶箭頭】1.向量：既有大小又有方向的量。記作：ab或a 。2.向量的模：向量的大小（或長(zhǎng)度），記作：|AB| 或 | a |。3.單位向量：長(zhǎng)度為1的向量。若e是單位向量，則|e|=1。4. 零向量：長(zhǎng)度為0的向量。記作：0?！?方向是任意的，且與任意向量平行】5. 平行向量（共線(xiàn)向量）：方向相同或相反的向量。6. 相等向量：長(zhǎng)度和方向都相同的向量。7. 相反向量：長(zhǎng)度相等，方向相反的向量。 AB =-BA。8. 三角形法則：T T T TAB BC CD DE -AB BC =AC ；9.平行四邊形法

2、則：-AC=CB （指向被減數(shù)）以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)分別為a b，a-b。10.共線(xiàn)定理：a b= a/b。當(dāng) 0時(shí)，a與b同向；當(dāng)：0時(shí)，a與b反向。11.基底：任意不共線(xiàn)的兩個(gè)向量稱(chēng)為一組基底。12.向量的模：若 a=（x,y），則 |a ,x2 y2,22 2a =|a|，|a b| =(5)(6)cos a b|a|b|13.數(shù)量積與夾角公式：a b =|a | |b|cosr ；14.平行與垂直：a/b= a=b：= x.,y2 = x2y1 ；1.基本概念判斷正誤： 共線(xiàn)向量就是在同一條直線(xiàn)上的向量。若兩個(gè)向量不相等，貝U它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。 與已知向量共線(xiàn)

3、的單位向量是唯一的。四邊形ABCD是平行四邊形的條件是 總CD。題型（1）（2）（3）(4)a - b 二 a b = 0 二 xix2yiy2 =0若AB=CD，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€(xiàn)段，所以數(shù)軸是向量。(7)若a與b共線(xiàn)， b與c共線(xiàn)，則a與c共線(xiàn)。4444(8) 若 ma=mb，貝U a=b。(9) 若 ma 二 na，貝U m 二 n。IIII(10) 若a與b不共線(xiàn)，則a與b都不是零向量。44T(11) 若 a b =|a| |b|，則 a/b。(12) 若 |a b|=|a b|，則 a _b。題型2.向量的加減運(yùn)算、4 t ”4 t ”，”_, 4

4、1. 設(shè)a表示“向東走8km” , b表示“向北走6km” ,則| a b 2. 化簡(jiǎn)(AB MB)( BO BC) 8M =3. 已知| OA5, |OB3,則|AB|的最大值和最小值分別為 、4. 已知AC為AB與AD的和向量，且AC =a,BD =b，則AB =5. 已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，且AC = 3 AB,則AC二 BC，AB二 BC。5題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算1.計(jì)算：(1) 3(a b) -2(a b)二(2) 2(2； 51? 一 3C) 一3(一2：3b - 2c)=2. 已知 a = (1,-4),b =(-3,8)，則 3：-丄：二2 題型4.作圖法球向量的和1 3*已知向

5、量a,b，如下圖，請(qǐng)做出向量3a -b和2a- b。2 21a *AB,AC 表示 AD o題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1. 已知在 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量2. 在平行四邊形 ABCD中，已知AC二a,BD二；，求AB和 AD。題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算T1. 已知AB =(4,5)，A(2,3)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是。2. 已知PS = ( -3, -5)，P(3,7)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是3. 若物體受三個(gè)力F1 =(1,2) , F2 =(-2,3), F3二(-1, -4),則合力的坐標(biāo)為 4. 已知：=(-3,4), b =(5,2)，求 a b , a -b , 32b。5.

6、已知 A(1,2),B(3,2),向量 =(x 2,x-3y-2)與 AB 相等，求 x, y 的值7.已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,-1),B(-4,8)，且 AB 3B = 0，求 0C 的坐標(biāo)。6.已知 AB 二(2,3)， =(m, n)，C5 =(_1,4)，則 DA-題型7.判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底1. 已知e,e2是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底:A. e +e2和G -e2 B. 3e1 -2e2和4-6C. e, - 3e2ft 今-斜 D. eHe,-e2. 已知二(3,4)，能與a構(gòu)成基底的是()A./) B. (5,5) C.卜汀 D.題型8.結(jié)合

7、三角函數(shù)求向量坐標(biāo)(“再)1. 已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限,|0A|=2，. xOA = 150，求 0A的坐標(biāo)。2. 已知0是原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|0A|=4爲(wèi)，.xOA = 60，求0A的坐標(biāo)。題型9.求數(shù)量積1. 已知|門(mén)=3,|；|=4，且 a與 b 的夾角為 60，求(1)a b，(2)a a b)，1(3) (a b) b，(4) (2a -b) (a 3b)。2彳亠444442. 已知 a =(2, -6),b =(-8,10)，求(1) |a|,|b|，(2) a b，(3) a (2 a b)，4 4 H(4) (2a -b) (a 3b)。題型10.求向量的夾角1.

8、 已知 |a|=8,|b| = 3，a b =12，求 a 與 b 的夾角2. 已知, = (-2 j3,2)，求 a與 b的夾角。3. 已知 A(1,0) , B(0,1), C(2,5)，求 cos. BAC。題型11.求向量的模1. 已知 |齊3,|；| = 4，且 a 與 b 的夾角為 60，求(1) |a b |, (2) |2a-3b|2. 已知 a =(2, _6),b =(-8,10)，求(1) |a|,|b|，(5) |a b|，(6) |-b|。23. 已知 |靳=1,*| = 2，|3 -2b3，求 | 3a b |。題型12.求單位向量【與a平行的單位向量：:a】|a|

9、1. 與a =(12,5)平行的單位向量是 。12. 與m=(-1,)平行的單位向量是 。2題型13.向量的平行與垂直1. 已知 a =(6,2)，b =(-3,m)，當(dāng) m 為何值時(shí)，(1) a/b ？ ( 2) a_b ？2. 已知a=(1,2)，b=(-3,2)，( 1)k為何值時(shí)，向量ka b與a_3b垂直？(2) k為何值時(shí)，向量ka b與一3；平行？.44 4 i 4443. 已知a是非零向量，a b = a c，且b = c，求證：a _ (b - c)。題型14.三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題1. 已知 A(0, -2)，B(2,2)，C(3,4)，求證：A,B,C 三點(diǎn)共線(xiàn)。A、B、D二點(diǎn)共線(xiàn)

10、。2. 設(shè) AB 2(a 5b), B = -2a 8b,CD =3(； -；)，求證:23. 已知A = a 2&BC二-5a 6b,CD =72b，則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是 。4. 已知A(1,O)，B(8,-1)，若點(diǎn)C(2a -1,a 2)在直線(xiàn)AB上，求a的值。5. 已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)0(0,0)，A(3,4)，B(-1,2)，C(1,1)，是否存在常數(shù)t，使 oA tOT1 oT 成立？題型15.判斷多邊形的形狀1. 若A =3e，CD5；，且| AD |BC |,則四邊形的形狀是 。2. 已知 A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，證明四邊形 ABCD 是梯形。3. 已

11、知A -2,1)，B(6, -3)，C(0,5)，求證：ABC是直角三角形4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),OA = (-1,8),OB =(-4,1),OC =(1,3),求證：厶ABC 是等腰直角三角形。題型16.平面向量的綜合應(yīng)用1. 已知a=(1,0)，b =(2,1)，當(dāng)k為何值時(shí)，向量ka_b與a 3b平行?2. 已知；h(、,3,、；5)，且 a_b，|b2，求 b 的坐標(biāo)。4 H *4 4*3. 已知a與b同向，b=(1,2)，則ab=10，求a的坐標(biāo)。b4443. 已知 a =(1,2), b =(3,1), c=(5,4)，則 c =4. 已知 =(5,10), b=(-3,-4)

12、, c= (5,0)，請(qǐng)將用向量 a,b 表示向量 c。5. 已知a=(m,3) , b=(2, _1) , (1)若a與b的夾角為鈍角，求m的范圍；I(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍。6. 已知a = (6,2) , b=(3,m)，當(dāng)m為何值時(shí)，(1) a與b的夾角為鈍角？( 2) a與b的夾角 為銳角？7. 已知梯形 ABCD 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(-1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且 AB/DC，AB = 2CD， 求點(diǎn)C的坐標(biāo)。8. 已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2,1)，B(-1,3), C(3,4)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)。9. 一航船以5km/h

13、的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30角，求水流速度與船的實(shí)際速度。10. 已知 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，(1)若ABAC =0，求c的值；(2)若c = 5，求sin A的值?！緜溆谩?. 已知|a|=3,|b| = 4,|a b5，求 |a-b|和向量 a,b的夾角。44 4 H 4 44444 TT2. 已知 x=a，b， 2a b，且 |a|=|b| = 1， a_b，求 x, y 的夾角的余弦。斗4!441. 已知 a =(1,3),b =(-2,-1)，則(3a 2b) (2a -5b)二 65。4444 4 44

14、. 已知兩向量a =(3,4),b =(2, -1)，求當(dāng)a xb與a -b垂直時(shí)的x的值。44斗屮5. 已知兩向量a = (1,3),b =(2, )， a與b的夾角二為銳角，求的范圍。*44 H變式：若a =，2),b =(-3,5)，a與b的夾角二為鈍角，求的取值范圍。選擇、填空題的特殊方法：1.特例法例：全品P27: 4。因?yàn)镸,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情況，即M,N與B,C 重合時(shí)，可以得到 m = n=1，- m，n=2。2. 代入驗(yàn)證法例：已知向量 a=（i,i）t=（i,_i）;=（_i,_2），則二（d ）烏一弐 b. 一丄：呂 c. 3t1b d. 2 2 2 2 2 2 2 2 變式：已知 a = (1,2),b=(_1,3),c=(_1,2)，請(qǐng)用 a,b表示 C。解：設(shè)c=xa yb，則(1,2)