高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、考點(diǎn)（限考）概要:? 1、橢圓: ? （1）軌跡定義：?定義一：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是橢 圓，兩定點(diǎn)是焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間距離是焦距，且定長(zhǎng) 2a大于焦距2c。用集合表示 為：囲雖十單?定義二：在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是 個(gè)常數(shù)e，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線叫準(zhǔn)線，常數(shù) e是離心率。?用集合表示為：0 p O.iQ)圖形1VIl1A Y丁 . - iii|iJIr/ /JNT/a a :、II金時(shí)維0仍，對(duì)城中心一質(zhì)祿i對(duì)稱軸一坐標(biāo)軸在方線廠:4為辺卑朗區(qū)幀 a在直蠅滬士為邊畀一6驅(qū)域內(nèi) b4 (-a,0

2、6 堆 i上jJ) awq嗎（0TI，烏）Sj f t,0) i % (方,0)和7切，岡（匸1只 10F-c) FJBq白*占、C關(guān)系c1 = a3 -3-&2 ? tj 01 b 沖 0撫軸備嗎=2a ( a 0)慮鈾葩葩 A 20 UQ)虧駕卜玆（tf 0）e = ( r 1 ) c漸近綻萬(wàn)程y= 土亠開(kāi)ay = 忑 b誰(shuí)娃怎睥JfM（左負(fù)右正）y蘭（下負(fù)上正）住養(yǎng)數(shù)p丘Y = U J 譙點(diǎn)魁準(zhǔn)線的距蘆） ccC?注意：當(dāng)沒(méi)有明確焦點(diǎn)在個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)， 所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩 個(gè)。?寺晞農(nóng)曲絢秋昇-丿二0.i 0 )創(chuàng)睛超蝶方程擔(dān)“沁)闘礙曲疑斬迪壽世沏=1 S磅亠召r (4 中心在康馬 坐

3、融側(cè)綿軸的橢同、aw方?8可設(shè)為 j+a=ii? 4、拋物線:? (1)軌跡定義：在平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋 物線，定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線是準(zhǔn)線，定點(diǎn)與定直線間的距離叫焦參數(shù)p。用集合(1= 1( F為定點(diǎn)，日為動(dòng)點(diǎn)到推踐的距國(guó)表示為I :? (2)標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì):?標(biāo)附程- - - 1 y2 =穌 f F 0)y2-px (.p 0)x2 = 2pyC p L* 0 )F = -2 抄 (p 0)I.-產(chǎn) X.*開(kāi)口方向右Jt下痂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0 1時(shí)稱軸7軸右團(tuán)歹軸左酎匸軸止方工軸T方離心率攜翎跌上的點(diǎn)與燦點(diǎn)即距離和它到iS娛的距離之氐C-11 y = 2?焦點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)與方

4、程符號(hào)一致，與準(zhǔn)線方程的符號(hào)相反;? 標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的字母與對(duì)稱軸和準(zhǔn)線方程的字母一致；? 標(biāo)準(zhǔn)方程的頂點(diǎn)在原點(diǎn)， 對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸， 有別于一元二次函 數(shù)的圖像;二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：? 1 、平面解析幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)：0總由?2、橢圓各參數(shù)間的關(guān)系請(qǐng)記熟“六點(diǎn)六線，一個(gè)三角形”，即六點(diǎn)：四個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)；六線：兩條準(zhǔn)線，長(zhǎng)軸短軸，焦點(diǎn)線和垂線PQ三角形：焦點(diǎn)三角形。則橢圓的各性質(zhì)（除切線外）均可在這個(gè)圖中找到。*KB5flC宅丈、悴庖ILffi JEl占孕四心的距iH與* ci f ETttWjm鳥(niǎo)頤堵吞訪E-沽和 mam婪左切 # Haunts亦密a 壬君匸石乳11湖切撬Lra*廣，卜切怡丸林內(nèi)

5、切.pj* 屈百尹;一應(yīng)用新立方fffinu建 T.齊巴L3C4砂酥）ra LIW禹距函與鬲川（e的比柚,-X 卜? 3、橢圓形狀與e的關(guān)系：當(dāng)e-0, c-0,橢圓一圓，直至成為極限位置 的圓，則認(rèn)為圓是橢圓在e=0時(shí)的特例。當(dāng)e-1，c-a橢圓變扁，直至成為極 限位置的線段岡碼，此時(shí)也可認(rèn)為是橢圓在e=1時(shí)的特例。? 4、利用焦半徑公式計(jì)算焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：若斜率為 k的直線被圓錐曲線所截得的 弦為AB, A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 山曲、珂”），貝慮長(zhǎng)這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想。? 5、若過(guò)橢圓左（或右）焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為 AB,則pX5| = 2a 4-efzXj）,或二 2口一&（兀+

6、 七）?6、結(jié)合下圖熟記雙曲線的：“四點(diǎn)八線，一個(gè)三角形”，即：四點(diǎn)：頂點(diǎn) 和焦點(diǎn)；八線：實(shí)軸、虛軸、準(zhǔn)線、漸進(jìn)線、焦點(diǎn)弦、垂線PQ三角形：焦點(diǎn)O三角形? 7、雙曲線形狀與e的關(guān)系:,e越大,? 8、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b。即漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大， 這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊。 由 此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊。? 9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙 曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三常數(shù) a、b、c中a、b不同(互換)c 相同，它們共用一對(duì)漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定 雙曲線的共軛雙曲線的方法：

7、將1變?yōu)橐?。p-冬“ (aQ, b 0)? 10、過(guò)雙曲線口 色外一點(diǎn)P (x,y )的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：? (1) P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線 平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；? (2) P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線 平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；? (3) P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行 的直線，一條是切線；? (4) P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；? 11、結(jié)合圖形熟記拋物線：“兩點(diǎn)兩線，一個(gè)直角梯形”，即：兩點(diǎn)：頂點(diǎn)和焦點(diǎn)；兩線：準(zhǔn)線、焦

8、點(diǎn)弦；梯形：直角梯形ABCDv- ipi “r? 12、對(duì)于拋物線上才=2的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化計(jì)算;? 13、拋物線的焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)為AB心$)風(fēng)“2),則有如下結(jié)論:(2)(1) |朋|二兀十光十嚴(yán).p2?心)皿二、曾=4兩條切線? 14、過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn):和一條平行于對(duì)稱軸的直線;? 15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問(wèn)題常用代點(diǎn)相減法：即設(shè)- 為曲線上不同的兩點(diǎn),是的中點(diǎn)，則可得到弦中點(diǎn)與兩點(diǎn)間關(guān)系:(1)幡區(qū)一j豐丄審三1 ( a 0 X褊擴(kuò)佗迓仝一7：a b衛(wèi)F b2雙曲線飛一尋=1b八h總盛我醒(3)?= 2px (7? 0 )5

9、% = 戸-? 16、當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，即把直線 方程代入曲線方程，消元后，用韋達(dá)定理求相關(guān)參數(shù)(即設(shè)而不求)；二是點(diǎn)差 法，即設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后把交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，兩式相減后，再求相關(guān)參 數(shù)。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件厶 0是否成立。5、圓錐曲線:? (1)統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點(diǎn)集: 其中F為定點(diǎn)，d為點(diǎn)P到定直線的I距離，嚴(yán)於，e為常數(shù)，如圖dFd? (2)當(dāng)0 e 1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲 線；當(dāng)e=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是拋物線。? (3)圓錐曲線的幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的、固有的性質(zhì), 不因?yàn)槲恢玫母淖兌淖儭?定性：焦點(diǎn)

10、在與準(zhǔn)線垂直的對(duì)稱軸上? i橢圓及雙曲線：中心為兩焦點(diǎn)中點(diǎn)，兩準(zhǔn)線關(guān)于中心對(duì)稱；? ii橢圓及雙曲線關(guān)于長(zhǎng)軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸為軸對(duì)稱，關(guān)于中 心為中心對(duì)稱；?iii拋物線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心是原點(diǎn)。?定量:? (4)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及解析量(隨坐標(biāo)改變而變)?以焦點(diǎn)在x軸上的方程為例：|r十亠霉.1(a b 0 )F 1(a 0 0 )y2 * 2p (p 0)* a= -2jpiC p 0 )頂點(diǎn)i-jpOi- A i占 ar0 | (F3A =(左負(fù)右正K=2中心iCl (h1|JT20Fgj為園龍曲建上一點(diǎn)*耳、分別溝左、占營(yíng)點(diǎn)|咼| =(JT歧暑 |P耳|=口點(diǎn)尸在在支B旺戸片|=曲十仇X在左支tth |碼|=p-叭|昭I-呵z? 6、曲線與方程：? ? (1)軌跡法求曲線方程的程序：?建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)