《新學(xué)案》2015年春高中數(shù)學(xué)蘇教版選修1-1名師導(dǎo)學(xué)：第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(含解析)

1、第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1課時平均變化率 教學(xué)過程一、 問題情境某市某年3月和4月某天日最高氣溫記載如下: 時間3月18日4月18日4月20日 日最高氣溫3.518.633.4“氣溫陡增”這一句生活用語用數(shù)學(xué)方法如何刻畫? 二、 數(shù)學(xué)建構(gòu)問題1“氣溫陡增”是一句生活用語,它的數(shù)學(xué)意義是什么?(形與數(shù)兩方面)1問題2如何量化(數(shù)學(xué)化)曲線上升的陡峭程度?2解通過討論,給出函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率:.概念理解1. 具體計算函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率可用=,應(yīng)注意分子、分母的匹配.【出處：21教育名師】2. 函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率近似地刻畫了曲線在某

2、區(qū)間上的變化趨勢,從定義看,f(x)在區(qū)間上的平均變化率就是直線AB的斜率.鞏固概念問題3回到問題1中,從數(shù)和形兩方面對平均變化率進(jìn)行意義建構(gòu).解從數(shù)的角度:3月18日到4月18日的日平均變化率約為0.5;4月18日到4月20日的日平均變化率為7.25.從形的角度:比較斜率大小.3三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用【例1】設(shè)函數(shù)y=x2-1,當(dāng)自變量x由1變到1.1時,求:(1) 自變量的增量x;(2) 函數(shù)的增量y;(3) 函數(shù)的平均變化率.(見學(xué)生用書P41)規(guī)范解答解(1) x=1.1-1=0.1.(2) y=f(1.1)-f(1)=1.12-1-(12-1)=0.21.(3) =2.1題后反思求平均變化率

3、時關(guān)鍵在于分清x與y分別指的是什么.變式甲、乙兩人投入相同的資金經(jīng)營某商品,甲用5年時間獲利10萬元,乙用5個月時間獲利2萬元,如何比較和評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果?處理建議學(xué)生討論、判斷,并且由學(xué)生給出理由或舉出實(shí)例.規(guī)范板書解甲、乙獲利的平均變化率分別為,因?yàn)?且甲、乙投入相同的資金,所以可以認(rèn)為乙的經(jīng)營成果較好.【例2】(教材第69頁例4)已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計算在區(qū)間-3,-1,0,5上f(x)及g(x)的平均變化率.(見學(xué)生用書P42)處理建議可回顧“必修2”中關(guān)于直線斜率的內(nèi)容,讓學(xué)生體會的含義.規(guī)范板書解函數(shù)f(x)在-3,-1上的平均變化率為=2.函

4、數(shù)f(x)在0,5上的平均變化率為=2.函數(shù)g(x)在-3,-1上的平均變化率為=-2.函數(shù)g(x)在0,5上的平均變化率為=-2.題后反思一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間m,n上的平均變化率就等于斜率k.變式已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s=5t+3,則在時間3,3+t中,相應(yīng)的平均速度等于5.(圖3)【例3】如圖,路燈距地面8m,一身高1.6m的人沿路燈下方的直路以84m/min的速度從A點(diǎn)走向B點(diǎn),求人影長度的變化速率.(結(jié)果以m/s為單位)處理建議先由學(xué)生討論,教師在學(xué)生中交流,了解學(xué)生的思考過程,側(cè)重于理解人影長度的變化速率的意義.規(guī)范板書解84m/min=1.4m/s.設(shè)人的影長為y,行走時間為

5、x.根據(jù)相似三角形的性質(zhì),有=,得y=x.人影長度的變化速率v=.題后反思幾何類應(yīng)用題需先觀察圖形,結(jié)合圖形求解.*【例4】已知函數(shù)f(x)=2x2+1,分別計算函數(shù)f(x)在區(qū)間1,4,1,2,1,1.5上的平均變化率.處理建議引導(dǎo)學(xué)生利用平均變化率的概念解題.規(guī)范板書解在1,4上的平均變化率為=10.在1,2上的平均變化率為=6.在1,1.5上的平均變化率為=5.變式已知函數(shù)f(x)=,計算函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的平均變化率.規(guī)范板書解在1,2上的平均變化率為=-.*【例5】求函數(shù)y=x3在x0到x0+x之間的平均變化率.處理建議本題與前面幾個例題的區(qū)別在于由字母代替具體區(qū)間,但是處理

6、問題仍然只需抓住本質(zhì),利用平均變化率的概念解題.規(guī)范板書解當(dāng)自變量從x0到x0+x時,函數(shù)的平均變化率為=3+3x0x+x2.變式求函數(shù)f(x)=在區(qū)間內(nèi)的平均變化率.規(guī)范板書解=.四、 課堂練習(xí)1. 國慶黃金周七天期間,本市某大型商場的日營業(yè)額從1500萬元增加到4300萬元,則該商場國慶黃金周期間日營業(yè)額的平均變化率是400萬元/天.提示利用平均變化率的概念.2. 函數(shù)f(x)=5x+4在區(qū)間0,1上的平均變化率是5.提示一次函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率即為斜率.3. 函數(shù)f(x)=x2-1在區(qū)間1,m上的平均變化率為3,則m的值為2.提示由=3,得m=2.4. 已知正方形原來的邊長為4m,現(xiàn)

7、在邊長以2 m/s的速度增加,若設(shè)正方形的面積為S(單位:m2),時間為t(單位:s),則由時間t到t+1正方形的面積增加了20+8tm2.提示S=(4+2t)2,則S=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t (m2).五、 課堂小結(jié)1. 函數(shù)f(x)在區(qū)間x1,x2上的平均變化率為.2. 平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,是一種粗略的刻畫.第2課時曲線上一點(diǎn)處的切線 教學(xué)過程一、 問題情境平均變化率近似地刻畫了曲線在某個區(qū)間上的變化趨勢,提出問題:如何精確地刻畫曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢呢?(點(diǎn)P附近的曲線的研究)提出“放大圖形”的樸素方法,如下圖:(圖1)二、 數(shù)學(xué)建構(gòu)問題1觀察“點(diǎn)

8、P附近的曲線”,隨著圖形放大,你看到了怎樣的現(xiàn)象?(圖2)解曲線在點(diǎn)P附近看上去幾乎成了一條直線;繼續(xù)放大,曲線在點(diǎn)P附近將逼近一條確定的直線l,這條直線是過點(diǎn)P的所有直線中最逼近曲線的一條直線.問題2“幾乎成了一條直線”,這么一條特殊的直線有明確位置嗎?又為什么說是“幾乎”? 解點(diǎn)P附近可以用這條直線l代替曲線,用直線l的斜率來刻畫曲線經(jīng)過P點(diǎn)時的變化趨勢.問題3怎樣找到經(jīng)過曲線上一點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l呢?以圖3為例.解隨著點(diǎn)Q沿曲線向點(diǎn)P運(yùn)動,直線PQ在點(diǎn)P附近越來越逼近曲線.2概念生成動畫演示,觀察點(diǎn)Q的運(yùn)動、直線PQ的運(yùn)動、直線PQ斜率的變化,生成概念.(圖3)(圖4)Q為曲線上不

9、同于點(diǎn)P的一點(diǎn),這時,直線PQ稱為曲線的割線;當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時,直線PQ最終就成為在點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l,這條直線l就稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.3問題4對比平均變化率這一近似刻畫曲線在某個區(qū)間上的變化趨勢的數(shù)學(xué)模型,在這里平均變化率表現(xiàn)為什么?我們又用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫曲線上P點(diǎn)處的變化趨勢呢?由切線的概念來求切線斜率,割線斜率無限逼近即為切線斜率.當(dāng)x無限趨近于0時,無限趨近于點(diǎn)P(x,f(x)處切線的斜率.4三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用【例1】用割線逼近切線的方法作出下列曲線在點(diǎn)P處的切線.(見學(xué)生用書P43)(例1圖(1)(例1圖(2)(1) 初中平面幾何中圓的切線的定義是什么?(2) 圖(1

10、)中和圖(2)中切線與曲線公共點(diǎn)的個數(shù)分別是多少?公共點(diǎn)的個數(shù)是否適用于一般曲線的切線的定義的討論?你能否用函數(shù)曲線的切線舉出反例?處理建議讓學(xué)生親自作圖,從圖形觀察出問題的答案,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.規(guī)范板書解(1) 與圓只有一個公共點(diǎn)的直線稱為圓的切線.(2) 圖(1)中1個.圖(2)中2個.不適用.題后反思強(qiáng)調(diào)曲線上一點(diǎn)處切線的斜率的定義,圓上一點(diǎn)處的切線只是曲線上一點(diǎn)處切線的特殊情況.5變式曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線有幾個交點(diǎn)?規(guī)范板書解2個.【例2】(教材第71頁例1)已知f(x)=x2,求曲線y=f(x)在x=2處的切線的斜率.(見學(xué)生用書P44)處理建議為求得在點(diǎn)(2,

11、4)處的切線斜率,我們從經(jīng)過點(diǎn)(2,4)的任意一條直線(割線)入手.規(guī)范板書解設(shè)P(2,4),Q(2+x,(2+x)2),則割線PQ的斜率為kPQ=4+x,當(dāng)x無限趨近于0時,kPQ無限趨近于常數(shù)4,從而曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,4)處的切線斜率為4.題后反思本題教學(xué)手法可以多樣化,比如作出圖象加強(qiáng)直觀,還可取x0,且a1);(lox)=logae=(a0,且a1);(ex)=ex;(ln x)=;(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx.1三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用【例1】求曲線y=cosx在點(diǎn)處切線的方程.(見學(xué)生用書P52)處理建議利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求出在該點(diǎn)處的切線斜率,再利用點(diǎn)

12、斜式求出切線方程.規(guī)范板書解y=-sinx,所以在點(diǎn)處切線的斜率k=-sin=-,即切線方程為x+2y-1=0.21世紀(jì)*教育網(wǎng)題后反思求一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可直接利用公式.變式求曲線y=在點(diǎn)處的切線的方程.規(guī)范板書y=-,故點(diǎn)處的切線斜率為-,則切線方程為y-=-(x-2),即x+4y-4=0.【例2】若直線y=4x+b是函數(shù)y=x2圖象上的一條切線,求b及切點(diǎn)坐標(biāo).(見學(xué)生用書P52)處理建議設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題.規(guī)范板書解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,).由f(x0)=2x0=4,得x0=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),故b=-4.題后反思本題應(yīng)抓住切點(diǎn)的雙重性:點(diǎn)既在曲線上也在切線上

13、.變式若直線y=3x+1是曲線y=ax3的切線,求a的值.規(guī)范板書解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,a).由f(x0)=3a=3,得a=1.又因?yàn)辄c(diǎn)(x0,a)滿足切線方程,所以a=3x0+1,將a=1代入,解得x0=-,則a=4.【例3】在函數(shù)y=2x的圖象上求一點(diǎn),使過此點(diǎn)的切線平行于直線xln4-y+3=0.(見學(xué)生用書P52)處理建議利用常見函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,再利用兩平行直線之間斜率相等建構(gòu)等式.規(guī)范板書解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,),由f(x0)=ln2=ln4,得x0=1,即該點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2).題后反思過一點(diǎn)有切線,但該點(diǎn)不一定是切點(diǎn);但本題有其特殊性,切線只可能與曲線

14、有一個交點(diǎn),所以對于本題,這個點(diǎn)即為切點(diǎn).變式在拋物線y=x2上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線x-y-1=0的距離最短,并求出這個最短距離.規(guī)范板書解設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,).由f(x0)=2x0=1,得x0=,則曲線在點(diǎn)P處切線方程為4x-4y-1=0,所以它與已知直線的距離d=,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為,d=.四、 課堂練習(xí)1. 已知四個命題:曲線y=x3在原點(diǎn)處沒有切線;若函數(shù)f(x)=,則f(x)=0;速度是動點(diǎn)位移函數(shù)S(t)對時間t的導(dǎo)數(shù);函數(shù)y=x5的導(dǎo)數(shù)值恒非負(fù).其中正確的命題是.(填序號)提示根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念及常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式解答.2. 設(shè)f(x)=sinx,則f(x)=cosx,f=.提

15、示利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解.3. 若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程是S=(S的單位為m,t的單位為s),則質(zhì)點(diǎn)在t=3時的速度為- m/s.提示速度是動點(diǎn)位移函數(shù)S(t)對時間t的導(dǎo)數(shù),所以v(t)=-4t-5,則質(zhì)點(diǎn)在t=3時的瞬時速度為-m/s.五、 課堂小結(jié)1. 熟記常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式.2. 靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)問題.第7課時函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)過程一、 問題情境1. 分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1) y=x2;(2) y=x;(3) y=x2+x.你能從以上計算結(jié)果中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?解前兩個函數(shù)的和(即第三個函數(shù))的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和.2. 你能證明上述結(jié)論嗎?解因?yàn)?2x+x+1,當(dāng)

16、x0時,2x+1,所以y=2x+1.3. 兩個函數(shù)的差的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的差嗎?題后反思從具體函數(shù)入手,利用導(dǎo)數(shù)的定義求出兩個函數(shù)和的導(dǎo)數(shù),在此基礎(chǔ)上,作出猜想,給出兩個函數(shù)和、差的求導(dǎo)法則,學(xué)生容易理解.兩個函數(shù)的和的求導(dǎo)法則的推導(dǎo),不要求學(xué)生掌握,可指導(dǎo)學(xué)生課外探究.二、 數(shù)學(xué)建構(gòu)問題1已知f(x),g(x),則f(x)+g(x)等于什么?1解一般地,函數(shù)和的求導(dǎo)法則:f(x)+g(x)=f(x)+g(x).即兩個函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和.問題2可以怎么驗(yàn)證大家呈現(xiàn)的結(jié)論是否正確呢?2問題3你能證明嗎?3問題4已知f(x),g(x),則f(x)-g(x)f(x)g(

17、x),等于什么?函數(shù)的和(差)的求導(dǎo)法則兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差),即f(x)g(x)=f(x)g(x).函數(shù)的積的求導(dǎo)法則兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).函數(shù)的商的求導(dǎo)法則兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積,減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積,再除以分母的平方,即=(g(x)0).對法則的理解:(1) 法則適用于兩個可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商;兩個不可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).(2) Cf(x)=Cf(x)(C為常數(shù)).(3) 求導(dǎo)法則

18、的證明不作要求.三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用【例1】(教材第83頁例2)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) f(x)=x2+sinx;(2) g(x)=x3-x2-6x+2.(見學(xué)生用書P53)處理建議先由學(xué)生寫出解題過程,讓其他學(xué)生點(diǎn)評.教師在學(xué)生的交流中,了解學(xué)生的思維過程,投影學(xué)生的解題過程,糾正出現(xiàn)的錯誤,同時強(qiáng)調(diào)書寫格式的規(guī)范.規(guī)范板書解(1) f(x)=(x2+sinx)=(x2)+(sinx)=2x+cosx.(2) g(x)=3x2-3x-6.題后反思根據(jù)函數(shù)的和(差)求導(dǎo)法則的一般步驟:先用求導(dǎo)法則轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再用導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算.變式求y=2x3-3x2+5x-4的導(dǎo)數(shù).規(guī)范板書解y=

19、(2x3-2x2+5x-4)=6x2-6x+5.【例2】(教材第83頁例3)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) h(x)=xsinx;(2) S(t)=.(見學(xué)生用書P54)規(guī)范板書解(1) h(x)=(xsinx)=xsinx+x(sinx)=sinx+xcosx.(2) S(t)=.題后反思例2中的第(2)題還有其他解法:S(t)=1-.例2第二種解法可由學(xué)生的探究活動產(chǎn)生,教師作適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.歸納根據(jù)函數(shù)的積商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的一般步驟,同時注意說明解法不唯一.要求學(xué)生正確運(yùn)用公式.變式1用兩種方法求y=(2x2+3)(3x-2)的導(dǎo)數(shù).規(guī)范板書解法一y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3

20、x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.解法二y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.變式2求y=的導(dǎo)數(shù).規(guī)范板書解y=.變式3求y=xlnx的導(dǎo)數(shù).規(guī)范板書解y=x ln x+x(ln x)=ln x+1.變式4求y=在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù).規(guī)范板書解y=,所以y=-.【例3】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x),則函數(shù)f(x)2的導(dǎo)數(shù)為2f(x).這個結(jié)論對嗎?(見學(xué)生用書P54)處理建議可將f(x)2看作f(x)f(x),再利用函數(shù)積的求導(dǎo)法則求f(x)2的導(dǎo)數(shù).規(guī)范板書解f(x)2=f(x)f(x)=f(x)f(x)+f(x)f(x)=2f(x)f(x)

21、2f(x),所以上述結(jié)論錯誤.2-1-c-n-j-y題后反思本題的實(shí)質(zhì)是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),有興趣的同學(xué)可以研究一下復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的規(guī)律.四、 課堂練習(xí)1. 函數(shù)y=x2cosx的導(dǎo)數(shù)y=2xcosx-x2sinx.2. 函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)y=.3. 若曲線y=2ax2+1過點(diǎn)(,3),則此曲線在該點(diǎn)的切線方程是4x-y-1=0.4. 若曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是x-y+1=0,則a=1,b=1.五、 課堂小結(jié)1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.2. 法則適用于兩個可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商;兩個不可導(dǎo)函數(shù)和、差、積、商不一定不可導(dǎo).3. 求導(dǎo)法則的證明不作要求.第8課時單調(diào)性

22、教學(xué)過程一、 問題情境導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性都是對函數(shù)上升和下降的變化趨勢的刻畫,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系呢?二、 數(shù)學(xué)建構(gòu)問題1由函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),對于任意x1,x2(a,b),當(dāng)x10,那么f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù);如果在某區(qū)間上f(x)0或f(x)0(或y0)是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充分不必要條件.三、 數(shù)學(xué)運(yùn)用【例1】(教材第87頁例3)確定函數(shù)f(x)=sinx,x(0,2)的單調(diào)減區(qū)間.(見學(xué)生用書P56)規(guī)范板書解f(x)=cosx.令f(x)0,即cosx0得x,由f(x)0得0x. 函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.題后反思任何函數(shù)問題

23、,定義域都是解題的前提.變式求證:當(dāng)x1.規(guī)范板書證明設(shè)f(x)=ex-x,則f(x)=ex-1.當(dāng)x0時,f(x)0,則f(x)=ex-x在區(qū)間(-,0)上是減函數(shù).故當(dāng)xf(0),即ex-x1.【例3】若函數(shù)f(x)=x2+(x0,aR)在2,+)上的導(dǎo)數(shù)的值不是負(fù)數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(見學(xué)生用書P56)規(guī)范板書f(x)=2x-(x0,aR). f(x)在2,+)上不是負(fù)數(shù), 2x-0,即2x,a2x3. x2, 2x316, a16.題后反思恒成立問題優(yōu)先考慮用“參變分離”來處理.*【例4】已知函數(shù)f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k0),且f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).(1) 求k的值;(2) 當(dāng)xk時,求證:23-.