高中數(shù)學(xué) 1.1.1任意角 新人教A版必修4

1、成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,人教A版 必修4,三角函數(shù),第一章,到過海邊的人都知道，海水有漲潮和落潮現(xiàn)象，漲潮時，海水上漲，波浪滾滾，景色十分壯觀；退潮時，海水悄然退去，露出一片海灘在我國，有聞名中外的錢塘江漲潮，當(dāng)潮流涌來時，潮端陡立，水花四濺，像一道高速推進(jìn)的直立水墻，形成“滔天濁浪排空來，翻江倒海山為摧”的壯觀景象科學(xué)地講，潮汐是海水在月球和太陽引潮力作用下發(fā)生的周期性運動，是海洋中常見的自然現(xiàn)象之一實際上，現(xiàn)實中的許多運動變化都有著循環(huán)反復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱為周期性在唐代詩人王灣的江南戀中有這樣的詩句：“客路青山外，行舟綠水前潮平兩岸闊，風(fēng)正一帆懸 .

2、海日生殘夜，江春入舊年”詩中生動地描述了潮汐運動、晝夜交替的周期性變化規(guī)律,如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫這種周期性的變化規(guī)律呢？本章將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)就是刻畫這種變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型通過本章的學(xué)習(xí)，我們將知道：三角函數(shù)是怎樣的一種函數(shù)？具有哪些特有的性質(zhì)？在解決周期性變化規(guī)律的問題中能發(fā)揮哪些重要作用,1.1 任意角和弧度制,第一章,1.1.1 任意角,1初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過角，那么初中對角的定義是什么呢？所謂角就是_ 答案由兩條具有公共端點的射線組成的圖形 2角按大小進(jìn)行分類，可分為銳角、鈍角和直角銳角的范圍為_，鈍角的范圍為_，直角的度數(shù)為_ 答案0909018090,知識銜接,1角 (1)定義：平

3、面內(nèi)一條射線繞著_從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形稱為角，所旋轉(zhuǎn)射線的端點叫做角的_，開始位置的射線叫做角的_，終止位置的射線叫做角的_如圖所示,自主預(yù)習(xí),端點,頂點,始邊,終邊,2)分類：如下表. (3)記法：用一個希臘字母表示，如、；也可用3個大寫的英文字母表示(字母前面要寫“”)，其中中間字母表示角的頂點，如AOB、DEF,逆,順,旋轉(zhuǎn),破疑點(1)確定任意角的大小要明確其旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量；(2)零角的始邊和終邊重合，但始邊和終邊重合的角不一定是零角，如周角等；(3)角的范圍由0360推廣到任意角后，角的加減運算類似于實數(shù)的加減運算(4)畫圖表示角時，應(yīng)注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方

4、向代表角的正負(fù),2象限角 使角的頂點與_重合，角的始邊與_軸的非負(fù)半軸重合那么，角的_(除原點外)在第幾象限，就說這個角是第幾_，即象限角的終邊在第一或第二或第三或第四象限內(nèi)，不與_重合 如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就說這個角不屬于任何象限,原點,x,終邊,象限角,坐標(biāo)軸,3終邊相同的角 (1)研究終邊相同的角的前提條件是：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合 (2)終邊相同的角的集合：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|_，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和,k360,破疑點理解集合S|k360，kZ要注意以下幾點： (1)式中角為任意角；

5、(2)kZ這一條件必不可少； (3)k360與之間是“”，如k36030應(yīng)看成k360(30)，即與30角終邊相同； (4)當(dāng)與的終邊相同時，k360(kZ)反之亦然,拓展1.象限角與軸線角(終邊在坐標(biāo)軸上的角)的集合表示 (1)象限角,2)軸線角,1將射線OM繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120所得的角為() A120B120 C60 D240 答案A 230是() A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案D,預(yù)習(xí)自測,3與95角終邊相同的角是() A5 B85 C395 D265 答案D 4已知角是第二象限角，是第_象限角 答案一、三 解析可用不等式來表示第二象限角，然后對式

6、中的k進(jìn)行討論討論時分奇數(shù)和偶數(shù)兩類進(jìn)行；也可采用幾何法，即將每一象限分成兩等份，從第一象限開始按逆時針方向在每一個區(qū)域依次標(biāo)上1、2、3、4，循環(huán)標(biāo)注，則標(biāo)有2的區(qū)域即為所求,5下列說法中，正確的是_ (1)終邊落在第一象限的角為銳角； (2)銳角是第一象限角； (3)第二象限角為鈍角； (4)小于90的角一定為銳角 答案(2) 解析終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400的角是第一象限角，但不是銳角，故(1)的說法是錯誤的；同理第二象限角也不一定是鈍角，故(3)的說法也是錯誤的；小于90的角不一定為銳角，如負(fù)角，故(4)的說法是錯誤的；綜上，只有(2)的說法是正確的,警誤區(qū)注意銳角、鈍角

7、、直角、平角、周角的概念與象限角、正角、負(fù)角、零角等概念的區(qū)別以及它們之間的關(guān)系,寫出圖(1)、(2)中的角、的度數(shù) 探究1.弄清角的始邊與終邊,任意角,互動探究,2弄清逆時針還是順時針 解析圖(1)中，36030330； 圖(2)中，36060150150； 36060()36060150570,1)時鐘走了3小時20分，則時針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為_，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為_ (2)如圖，射線OA繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)45到OB位置，并在此基礎(chǔ)上順時針旋轉(zhuǎn)120到達(dá)OC位置，則AOC_,答案(1)1001 200(2)75,1)與457角的終邊相同的角的集合是() A|457k360，kZ B|97

8、k360，kZ C|263k360，kZ D|263k360，kZ (2)已知1 910，把寫成k360(kZ,0360)的形式，指出它是第幾象限角；求，使與的終邊相同，且7200,終邊相同的角,3)若角的終邊在函數(shù)yx的圖象上，試寫出角的集合,規(guī)律總結(jié)寫出終邊落在某條過原點的直線上的角集合有兩種方法：一是分別寫出每條終邊所代表的角的集合，再取并集；二是在其中一條終邊上找出一個角，然后再加上180的整數(shù)倍,1)與405角終邊相同的角是() Ak36045，kZ Bk360405，kZ Ck36045，kZ Dk18045，kZ,2)已知角2016. 把改寫成k360(kZ,0360)的形式，并

9、指出它是第幾象限角； 求，使與終邊相同，且360720. (3)已知角的終邊在直線xy0上 寫出角的集合S；寫出S中適合不等式360720的元素 答案(1)C,解析(1)40536045，是與45終邊相同的角，即與405終邊相同的角是k36045，故選C. (2)用2016除以360商為5，余數(shù)為216， k5， 5360216(216)， 為第三象限角 k360216，kZ， 又360720，k1,0,1， 144、216、576,區(qū)域角及其表示方法 區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個區(qū)域內(nèi)的角其寫法可分為三步： (1)先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界； (2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終

10、止邊界對應(yīng)的360到360范圍內(nèi)的角和，寫出最簡區(qū)間x|x； (3)起始、終止邊界對應(yīng)角、再加上360的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合,區(qū)域角的表示,若角的終邊在下圖中陰影所表示的范圍內(nèi)，則角組成的集合為_ 解析在0360范圍內(nèi)，終邊落在陰影范圍內(nèi)的角是60150，故滿足條件的角的集合為|k36060k360150，kZ 答案|k36060k360150，kZ,寫出圖中陰影區(qū)域所表示角的集合(包括邊界) 解析(1)|k36030k36090，kZ|k360210k360270，kZ或?qū)懗蓔k18030k18090，kZ (2)|k36045k36045，kZ,探究解決這類問題有兩種方法：分類討論或幾何

11、法 解析是第一象限角， k360k36090(kZ) (1)k36090k360(kZ)， 所在區(qū)域與(90，0)范圍相同， 故是第四象限角,探索延拓,判斷角所在的象限,規(guī)律總結(jié)此題幾何法依據(jù)的是數(shù)形結(jié)合的思想，簡潔直觀；分類討論要對n的取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；被n除余n1.然后方可下結(jié)論,答案B,已知集合A|k18045，kZ，集合B|k9045，kZ，則A與B的關(guān)系正確的是() AAB BBA CAB DAB且BA,易錯點集合概念理解錯誤,誤區(qū)警示,辨析錯解對集合概念理解錯誤應(yīng)從集合中角的終邊所在位置隨k的變化入手解決，或用列舉法解決 正解當(dāng)k為偶數(shù)時

12、，集合A中角的終邊為一、四象限角的平分線，當(dāng)k為奇數(shù)時，集合A中角的終邊為二、三象限角的平分線，角的終邊如圖所示，故可以表示為k9045，AB，故選C,已知集合A|k18030k18090，kZ，集合B|k36045k36045，kZ求AB. 思路點撥在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，分別找出集合A，B中角的終邊所在的區(qū)域，結(jié)合圖形寫出AB,解析如下圖所示，AB中的角的始邊和終邊對應(yīng)30和45角的終邊， AB|k36030k36045，kZ,1下列命題中，正確的是() A第一象限角必是銳角 B終邊相同的角必相等 C相等角的終邊位置必相同 D不相等的角其終邊位置必不相同 答案C 解析銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角，因此A錯誤；由終邊相同角的概念知C正確,2215是() A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 答案B 解析由于215360145，而145