13-1-2矩形的性質(zhì)及判定.講義教師版

1、中考要求知識點(diǎn)A要求B要求C要求矩形會識別矩形掌握矩形的概念、判定和性質(zhì)，會用矩形的性質(zhì)和判 定解決簡單問題會運(yùn)用矩形的知識解決有關(guān) 問題:L hL中考要求1 矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2 矩形的性質(zhì)矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，？還具有自己獨(dú)特的性質(zhì): 邊的性質(zhì)：對邊平行且相等. 角的性質(zhì)：四個角都是直角 對角線性質(zhì)：對角線互相平分且相等. 對稱性：矩形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.直角三角形中，30角所對的邊等于斜邊的一半.點(diǎn)評：這兩條直角三角形的性質(zhì)在教材上是應(yīng)用矩形的對角線推得，用三角形知識也可推得.3

2、 .矩形的判定判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.判定：對角線相等的平行四邊形是矩形.判定：有三個角是直角的四邊形是矩形.目IMI匸重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握矩形的性質(zhì)，并學(xué)會應(yīng)用.難點(diǎn)：理解矩形的特殊性.關(guān)鍵：把握平行四邊形的演變過程，遷移到矩形概念與性質(zhì)上來，明確矩形是特殊的平行四邊形.D、矩形的判定【例1】 在矩形ABCD中，點(diǎn)H為AD的中點(diǎn)，P為BC上任意一點(diǎn)，PE _ HC交HC于點(diǎn)E , PF _ BH 交BH于點(diǎn)F ,當(dāng)AB, BC滿足條件 時，四邊形PEHF是矩形【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】BC =2AB【例2】 如圖，在四邊形 AB

3、CD中，.ABC BCD =90， AC =BD，求證：四邊形 ABCD是矩形.【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】 J 乙ABC ZBCD =90 ,二 AB CD(BC - CB在 Rt ABC 和 Rt DCB 中(AC = BD Rt. ABC 也 Rt DCB (HL)/ AB =CD , 四邊形ABCD是平行四邊形/ AC =BD , 四邊形ABCD是矩形【鞏固】 矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)為()A .對角線相等B .對角相等C.對角線互相平分D .對邊相等【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】選擇【難度】1星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】

4、A【例3】 如圖，已知在四邊形 ABCD中，AC_DB交于O, E、F、G、H分別是四邊的中點(diǎn)，求證四 邊形EFGH是矩形.【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】 E、F、G、H分別是四邊的中點(diǎn) EF、GH為中位線1 EF / GH / BD 且 EF =GH BD2四邊形EFGH為平行四邊形/ AC _ DB , EF _ FG四邊形EFGH是矩形.【鞏固】如圖，在平行四邊形 ABCD中, 求證：四邊形 ABCD是矩形.M是AD的中點(diǎn)，且MB =MC ,【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】/四邊形ABCD是平行

5、四邊形， AB =CD ,. A . D =180 M 是 AD 的中點(diǎn)， AM =MDAM =DM在ABM 和CDM 中 MB =MCIAB =CDX. ABM 也.CDM ( SSS), . A- D MA =90 , 四邊形ABCD是矩形【例4】 如圖，平行四邊形 ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分別是.DAB、 ABC、. BCD、 CDA的 平分線，AQ與BN交于P , CN與DQ交于M，證明：四邊形 PQMN是矩形.【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】/四邊形ABCD為平行四邊形 AB / CD , AD / BC AQ、BN分別是.DA

6、B、. ABC的平分線 . BAD . ABC =180 . QPN =90同理.PQM =/QMN =/MNP =90四邊形PQMN是矩形.【例引 如圖，在 ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長 線于點(diǎn)F，且AF = BD，連結(jié)BF .求證：BD =CD .如果AB =AC，試判斷四邊形 AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2009年，安順市中考【解析】省略【答案】/ AF / BC , /AFE ZDCEE是AD的中點(diǎn)， AE=DEAFE = DCE/ AE =DE. ：AEF 也.：DECZA

7、EF /dec AF =DC , AF =BD BD = CD(2)四邊形AFBD是矩形/ AB =AC , D是BC的中點(diǎn)(利用全等) AD _BC ./ADB =90/ AF =BD , AF / BC四邊形AFBD是平行四邊形又 ADB =90四邊形AFBD是矩形.【鞏固】 如圖，在ABC中，點(diǎn)D是AC邊上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn) D作直線MN / BC，若MN交乙BCA的 平分線于點(diǎn)E，交.BCA的外角平分線于點(diǎn) F(1) 求證：DE =DF(2) 當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到何處時，四邊形 AECF為矩形？請說明理由！A【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】證明： E

8、D =DC , DF =DC當(dāng)D為AC的中點(diǎn)時，四邊形 AECF為矩形【例6】 如圖所示，在Rt.lABC中，三ABC =90，將RL ：ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)60得到.：DEC點(diǎn)E 在AC上，再將RtAABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180得到 MBF連接AD . 求證：四邊形 AFCD是菱形； 連接BE并延長交AD于G連接CG 請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形？為什么？【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2009年，襄樊市中考【解析】省略【答案】Rr DEC是由RL ：ABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60得到 AC 二 DC , . ACB 二.ACD =60

9、/ ACD是等邊三角形- AD = DC 二 AC又/ Rt ABF是由RL ：ABC沿AB所在直線翻轉(zhuǎn)180得到 AC =AF , ZABF ZABC =90 乙 FBC =180點(diǎn)F、B、C三點(diǎn)共線 AFC是等邊三角形 AF =FC =AC AD =DC =FC =AF四邊形AFCD是菱形.四邊形ABCG是矩形.由可知：ACD是等邊三角形，DE _AC于E AE 二 EC，又/ AG / BC . EAG ECB , AGE = EBC AEG 也.CEB , AG =BC四邊形ABCG是平行四邊形，而.ABC =90 四邊形ABCG是矩形.AF CD于F , zi AEF的兩條高相交于M

10、，AC=20 ,【鞏固】 如圖，在 ABCD中，AE_BC于E , EF =16，求AM的長.A【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，三角形的三線五心 【題型】解答【難度】6星【關(guān)鍵詞】【解析】過C作CG _ AD于G，連接EG、FG . AE _BC , FM _AE , FM / EC又 EM _AF , CD _AF , EM / CF四邊形EMFC為平行四邊形， MF =EC又/ AE _ BC , CG _ AD 且 BC / AD . EAG =. AGC 二.GCE 二.AEC =90四邊形AGCE為矩形 EC =AG , EG =AC , MF = AG 又 MF

11、/ AG四邊形AGFM為平行四邊形， GF二AM AM _EF , GF _EF，即.GFE =90 GF =：；EG2 -EF2 , AM = ：202 -162 =12【答案】12【例7】 已知，如圖矩形 ABCD中，延長CB到E，使CE =AC , F是AE中點(diǎn).求證：BF _ DF .【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】延長BF交AD于M，連結(jié)DB ./ 四邊形 ABCD 是矩形， AD / BC , AD =BC , AC =BD M 二 EBF , F 是 AE 中點(diǎn)， AF 二 EF，在 AFM 和 EFB 中， M =. E

12、BF , . MFA = BFE , AF = EF lAFM 也二EFG . AM =BE, MF = BF , AD AM = BC BE = CE 二 DM / CE =AC , AC =BD , DM =DB MF =BF , BF _DF【答案】見解析板塊二、矩形的性質(zhì)及應(yīng)用【例8】 如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE =AD , DF _ AE，垂足為F 線段DF與圖中的哪一條線段相等？先將你猜想出的結(jié)論填寫在下面的橫線上，然后再加以證明。（寫出一條線段即可）【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】2006年，瀘州市中考【解析】連接DE 四邊形ABC

13、D是矩形， AB =CD , AD /BC , . C =90 . ADE 二 AEC .又 AD =AE , /ADE ZAED , . AED = AEC ,又： DFE = . C =90 , DEF 也 DEC , DF =DC .【答案】DF二DC.【例9】 如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的F點(diǎn)處，如果 BAF =60 , 則 NDAE =【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】15【鞏固】 如圖，矩形 ABCD中，AC , BD相交于點(diǎn) O , AE平分 BAD交BC于E，若.CAE =15，求ZBOE =【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和

14、判定【題型】填空【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】四邊形 ABCD是矩形 . DAB = ABC =90，OA =0Bt AE 平分/BAD，所以 MBEA =1 . BAD =452 BA=BE . CAE =15 , BAC =60 所以ABO為等邊三角形 OB =AB =BE, ABO =60 ,所以.OBE =301 . BOE 180 /OBE =75【答案】75 .【例10】如圖所示，在長方形 ABCD中，點(diǎn)M是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊DC的中點(diǎn),AN與MC交于點(diǎn)p .若.MCB = NBC 33，求.MPA 的度數(shù).【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】略【

15、答案】如圖所示，將 MC平移至AQ，此時Q為CB的中點(diǎn).連接 MB，則 MBC = MCB ,故.MBN - . MCB _NBC =33 .由于 ：ADN 幻 ：BCN , NAD = NBC ,故.MPA = NAQ MAQ - NAD MCB - NBC =33 .【例11】如圖，把矩形ABCD的對角線AC分成四段，以每一段為對角線作矩形，對應(yīng)邊與原矩形的邊平行，設(shè)這四個小矩形的周長和為P，矩形ABCD的周長為L，則P與L的關(guān)系式 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】如圖，將四個小矩形的邊分別向外平移，正好拼接成矩形ABCD的四邊，所以P = L【答案】P=

16、L.【鞏固】 如圖，在矩形 ABCD中，E,F分別是BC, AD上的點(diǎn)，且BE =DF .求證：JABE：CDF .【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】2星【關(guān)鍵詞】2006年，泉州市中考【解析】省略【答案】四邊形 ABCD是矩形 AB =AD , B =. D =90 . 在ABE和CDF中， 又 BE 二DF , . ABE也.CDF .【例12】如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn)E, F分別在邊 AB, CD上，BF II DE，若AD =12cm , AB =7cm ,且AE :EB =5:2，則陰影部分EBPD的面積為【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析

17、】省略【答案】20cm2【例13】如圖，矩形 ABCD中，對角線 AC、BD交于0 , AE _ BD于E , . DAE :. BAE =3 ： 1，則 NEAC =.A【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】 I . DAB = DAE . BAE =90 . DAE =67.5 , . BAE =22.5/ AO =BO , . EAC =67.5 _22.5 =45 .【答案】45【鞏固】 如圖，在矩形ABCD中，EF / AB, GH / BC , EF , GH的交點(diǎn)在BD上，圖中面積相等的四邊形 有（）A . 3對B. 4對C . 5對D . 6對【考點(diǎn)

18、】矩形的性質(zhì)和判定【題型】選擇【難度】3星【關(guān)鍵詞】2006年，佳木斯中考【解析】省略【答案】D【例14】如圖，周長為68的矩形ABCD被分成7個全等的矩形，則矩形 ABCD的面積為【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】設(shè)每個小矩形的較短邊為x，較長邊為y，則 7x 68 gy = 5x口 x = 4，解得”10故矩形的面積 S =AB -BC =280【答案】280【例15】如圖，有一矩形紙片ABCD , AB =10, AD =6 ,將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE ,在將.AED以DE為折痕向右折疊， AE與BC交于點(diǎn)FU .CEF的面積為【考點(diǎn)】

19、矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】.AED =45，EC =AB _AD =4, CEF =45 , CF =EC =4，所以可得面積為 8【答案】8【鞏固】 如圖，是一塊電腦主板的示意圖，每一轉(zhuǎn)角處都是直角，數(shù)據(jù)如圖所示，則該主板的周長為r 24mm 】16mm4mm【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】濟(jì)南市中考【解析】【答案】88mm【例16】如圖在矩形 ABCD中，已知AD =12，AB =5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE _ BD , PF _ AC，E、F分別是垂足，求PE PF的值.【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定，三角形的面積【題型】解答【難度

20、】3星【關(guān)鍵詞】【解析】法一：作 AG_BD于G , PM _AG于M，貝U PE = MG 又易證.1=. 23，從而 Rt PAM 也 Rt APF ,AM 二 PF，所以 PE PF =MG AM =AG 而 AD =12 , AB =5 , BAD =90，貝U BD =13 .11在 ABD中，根據(jù)面積公式有 AB -AD二一 BD AG ,22【答案】【鞏固】則 AG 二竺5 12 60BD, PE +PF =昱131313DCCM法二：利用面積相等，1S pod 石。1S qoc 石。連接PE,PO 并作 AG _ BDSAOP 1aO PFAG , AO = OD ,S aod

21、 = S aop S dop ,AB AD 5 02 AGBDAG =PF PE136013延長OP過點(diǎn)D作DM _OP的延長線，垂足為易證 Sdmp 也 Sdep , PM = PE，由矩形 DMFNA皿単pE pf竺.AC 1313BN6013如圖，在矩形 ABCD中，BC =2， AE_BD于E，M，過點(diǎn)可知 DN =MF , DND 作 DN _ AC 于 N . PF PEC【考點(diǎn)】 【題型】 【難度】【關(guān)鍵詞】 【解析】矩形的性質(zhì)和判定 填空3星【答案】/ AD 二 BC =2 , . BAE =30AE =1, DE = . 3-Secda =3 .3【例17】如圖，AB=CD，

22、四邊形 ABDE和CBFG都是矩形,/BAC =70 ,貝U . DBF 等于D. BFAG154【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】4星【關(guān)鍵詞】第18屆，江蘇競賽【解析】省略【答案】140【例18】某臺球桌為如圖所示長方形ABCD，小球從 A沿45角出擊，恰好經(jīng)過5次碰撞到B處，則AB : BC =B【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】5星【關(guān)鍵詞】重慶市競賽【解析】由圖形可知：可推出【答案】2 : 5AB : BC =2:5【鞏固】 矩形ABCD中，AB =3, AD =4，將矩形沿EF對折，使點(diǎn)C與A重合，如圖，求折痕 EF的長B ED【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解

23、答【難度】4星【關(guān)鍵詞】5【解析】設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G，根據(jù)條件，易求得 AC =5, AG =亍，EF _ AC，且G是EF中點(diǎn)，由5.AGF s . ADC，得 GFAG即=215求得GF,15所以EFDCAD34 84【答案】【例19】如圖，矩形ABCD中，對角線OF =3cm，且 BE: ED =1:3，【考點(diǎn)】 【題型】 【難度】【關(guān)鍵詞】矩形的性質(zhì)和判定 解答3星1 OB =OD =OA，所以 OE 二丄 BO =2 AOB =60， . ：ABO是等邊三角形，即 BO =AB，由條件易得 AB =2OF =6cm，所以 BD =2BO =2AB =12cm【答案】12【解析】因?yàn)?/p>

24、BE:ED =1:3，且矩形中因?yàn)锳E _ B0，所以-AO2OF是ABD的中位線,【例20】已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)時，試求證:pbc = pac spcd【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】過點(diǎn)P作EF垂直BC，分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn).11 Sapbc Sa padBC PF AD PE22EF =_S矩形 ABCD2BC(PF PE)24BC1又-Sa pacSa PCDSa PAD = S矩形 ABCD2=2 PACSA PCD SAPADSA PCDSPBC S PAD-SPBC - S PAC【答案】見解析【例21】AC，B

25、D相交于點(diǎn) O， AE _ BO于E，OF _ AD于F，已知 求BD的長【考點(diǎn)】勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】過P點(diǎn)分別作AD、AB、BC、CD的垂線，垂足分別為 E、F、G、H， 顯然AFPE，EPHD， FBGP，PGCH都是矩形，貝U2 2 2 2AP =AE EP =PF - PE ,PC2 二 PG2 PH2 , PB2 二 PF 2 PG2 , PD2 二 PE2 PH 2 ,22 2 22 2 2 2 PA PC 二PE PF PG PH 二 PB PD , PD2 =PA2 PC2 - PB2 =32 52 -42 =18 , PD =3

26、 2 .另解：如圖所示，連接 AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO .111因?yàn)锳O =OC , BO二DO，故OP2 =丄PA2PC2 -丄AC2 （中線定理）,224 212121 2OP =PB+ PDBD .224而ACBD ,故PA2PC2 =PB2 PD2 ,貝U PD = 3252 -42 =3、2【答案】3 2【例22】如圖，O是矩形ABCD的對角線交點(diǎn)，過點(diǎn)O作EF _ AC分別交AD、BC于F、E，若AB =mBC =4cm，求四邊形 AECF的面積.【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】由ABCD為矩形可知，OA =OC又 AD / BC , NCAD

27、 =NBCA又 EF _AC , . ：AOF 也. COE . 故 OE =OF從而可知AECF為菱形， AE二CE .又 BE 二 BC -CE =4 -CE , AB = 2在直角二ABE中，由勾股定理有，（4-CE）2 22 =CE255o解得CE.故四邊形 AECF的面積為25（ cm2）22【答案】5B落在點(diǎn)E處，連接DE、CE，過【例23】（西城區(qū)抽樣測試）如圖，將矩形ABCD沿AC翻折，使點(diǎn)點(diǎn)E作EH _ AC，垂足為H .判斷ACED是什么圖形，并加以證明；若AB =8 , AD =6 .求DE的長；四邊形ACED中，比較 AE EC與AC EH的大小.ECA【考點(diǎn)】矩形的性

28、質(zhì)和判定，等腰梯形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】西城抽樣測試【解析】等腰梯形；易證得 CD旦CEA , DE / AC，結(jié)論易得.過點(diǎn)D作DF丄AC，垂足為F ./ ACED 為等腰梯形 . DAF =/ECH/ AD =CE/ DE / /AC ,- AB =8 , AD小1/ S aceEH . ：DAF 也 ECHEH 丄 AC AC =10DF _ AC ,=6 AF =CH DE =FHACJae CE2EH24，CH-62-2181418 DE =102 =55由可知，AE EAC EH/ AE _CE AE2 CE2 =AC2 AE2 EC2 2AE EC = A

29、C22AC2 2 2 2 2 (AE EC) =AC 2AC EH : AC 2AC EH EH =(AC EH) AE +EC AC【答案】見解析EH2 -【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】EH【例24】已知，如圖，矩形【解析】連結(jié)AC交BD于O , /四邊形ABCD為矩形,11OA AC , OD BD , AC 二 BD , BAD 二 90 22 OA =OD , . OAD = ODA AF 平分.BAD , . FAD =45 , . 2 二/FAD _/OAD =45/ODAt /3 =. FAD /ODA , . 3 =45. ODA/ CE _ BD

30、, . F . 3 =90 , . F =90 _(45 . ODA) V-/ODA =/2 , CF 二AC , CF =BD【答案】見解析fOJKi畦課后練習(xí)1. 如圖，矩形 ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn) O , . AOB =60 , AB =2，則矩形的對角線 AC的長 是（）A. 2 B. 4 C. 2 3D. 4 3DC【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】選擇【難度】2星【關(guān)鍵詞】2009年，長沙市中考【解析】t /AOB =60 , AO =BO , .SOB為等邊三角形, AC = 4【答案】B2. 矩形ABCD的對角線 AC、BD交于O，如果- ABC的周長比 ：AOB的周長大10 cm，則邊AD的【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】t AC 二 AO BO , AD 二 BC 二 AB AC BC - AB AO BO =10cm .【答案】10cm3.設(shè)凸四邊形ABCD的4個頂點(diǎn)滿足條件：每一點(diǎn)到其他3點(diǎn)的距離之和都要相等試判斷這個四邊形是什么四邊形？請證明你的結(jié)論。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】這個四邊形是矩形.由已知