向量數(shù)量積專題(總

1、 平面向量的數(shù)量積【知識點(diǎn)精講】一、平面向量的數(shù)量積 （1）已知兩個(gè)非零向量和，記為，則叫做向量與的夾角，記作，并規(guī)定。如果與的夾角是，就稱與垂直，記為 （2）叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)非零向量與垂直的充要條件是兩個(gè)非零向量與平行的充要條件是二、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積，即（在方向上的投影為）；在方向上的投影為三、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或性質(zhì)4 性質(zhì)5 注：利用向量數(shù)量積的性質(zhì)2可以解決有關(guān)垂直問題；利用性質(zhì)3可以求向量長度；利用性質(zhì)4可以求兩向量

2、夾角；利用性質(zhì)5可解決不等式問題。四、平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）（交換律）；（2）（為實(shí)數(shù)）；（3）（分配律).數(shù)量積運(yùn)算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，不可約分不能得到。五、平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量則，由此得到：（1） 若則或（2） 設(shè)則兩點(diǎn)間距離（3） 設(shè)是與的夾角，則 非零向量，的充要條件是 由得六、向量中的易錯(cuò)點(diǎn)（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有。當(dāng)且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但 （3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且?/p>

3、個(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于。即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形成的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng)。 （4）非零向量夾角為銳角（或鈍角），當(dāng)且僅當(dāng)且（或且）.【題型歸納】一、平面向量的數(shù)量積【例1】（1）在中，則( ). （2） （2012北京理13）已知正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，則的值為 ；的最大值為 。（3） 在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上且滿足，則等于（ ）. 【變式1】如圖5-27所示，在平行四邊形中，垂足為，且,則 .【變式2】在中，若為的重心，則 .【例2】如圖所示，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是 .【變式1】如圖所示，在中，是邊上一點(diǎn)，則 .【變式

4、2】如圖所示，在中，則 .【變式3】已知為等邊三角形，設(shè)點(diǎn)滿足，若，則（ ）。 【例3】已知向量滿足，則 .【變式1】在中，若，則 .【變式2】已知向量滿足，且，則= .【變式3】已知向量滿足，且若，則 .【例4】設(shè)是單位向量，且，則的最小值為（ ） 【變式1】已知是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是（ ）. 【變式2】（2012安徽理14）若平面向量滿足，則的最小值是 .【例5】在中，是的中點(diǎn)，則= .二、平面向量的夾角 求夾角，用數(shù)量積，由，得，進(jìn)而求得向量夾角.【例1】已知向量,則與則的夾角是 .【例2】已知是非零向量且滿足，則與則的夾角是（ ）. 【例3】已知向量滿

5、足，則與則的夾角等于（ ）. 【變式1】若是兩個(gè)非零向量，且，則與則的夾角為 .【變式2】若平面向量滿足，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是 .【例4】已知，與的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值范圍.【變式1】設(shè)兩個(gè)向量，滿足，與的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的范圍.【變式2】已知與均為單位向量，其夾角為,有下列四個(gè)命題：；.其中的真命題是（ ）. 【變式3】若向量與不共線，且，則向量與的夾角為（ ）. 三、平面向量的模長求模長，用平方，【例1】已知，向量與的夾角為，求.【變式1】已知向量滿足，與的夾角為，則.【變式2】已知向量滿足，則等于（ ）. 【變式

6、3】在中，已知，求.【例2】已知，向量與的夾角為，,則等于（ ）. 【變式1】已知向量的夾角為，且，則.【變式2】已知，則與的夾角為，【變式3】設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，則（ ） 【例3】已知平面向量，滿足，且與的夾角為，則的取值范圍是.【變式1】若均為單位向量，且，則的最大值為（ ）. 【變式2】已知是單位向量，若向量滿足，則的取值范圍是（ ）. 【例4】在平面上，.若，則的取值范圍是（ ）. 【變式1】在直角三角形中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（ ） 加強(qiáng)練習(xí)：例1：在中，為中點(diǎn)，若，則 _例2：若均為單位向量，且，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 例3：平面上的向量滿

7、足，且，若，則的最小值為_例4：已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 例5：已知平面向量的夾角，且，若，則的取值范圍是_例6：已知，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 例7：已知直角梯形中，為腰上的動點(diǎn)，則的最小值為_例8：如圖，在邊長為的正三角形中，分別是邊上的動點(diǎn)，且滿足，其中，分別是的中點(diǎn)，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 例9：已知與的夾角為，且，, 在時(shí)取到最小值。當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 類型四 平面向量與三角函數(shù)結(jié)合題1.已知向量，設(shè)函數(shù) 求函數(shù)的解析式 （2）求的最小正周期；（3）若，求的最大值和最小值2. 已知，A、B、C在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為、.(1)若，求角的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值.3. 已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的三邊分別是a、b、c，平面向量，平面向量 （1）如果求a的值； （2）若請判斷的形狀.4. 已知向量,函數(shù)(1)求的周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)若在中，角所對的邊分別是，求的取值范圍。有效訓(xùn)練題1. 下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）.若,則；若且，則；. 2. 已知向量，則向量的夾角為（ ）. 3. 已