導(dǎo)數(shù)與泰勒公式成品

1、導(dǎo)數(shù)與泰勒公式泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，它貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終。泰勒公式的重點(diǎn)就在于使用一個(gè)次多項(xiàng)式,去逼近一個(gè)已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點(diǎn)具有相同的直到階的導(dǎo)數(shù).所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的“逼近”這一思想精髓。泰勒公式的難點(diǎn)就在于它的理論性比較強(qiáng)，一般很難接受，更不用說(shuō)應(yīng)用了。但泰勒公式無(wú)論在科研領(lǐng)域還是在證明、計(jì)算應(yīng)用等方面，它都起著很重要的作用.運(yùn)用泰勒公式，對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問(wèn)題的常用方法與基本思想.本文擬在前面文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上通過(guò)舉例歸納，總結(jié)泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用方法. 泰勒公式知識(shí)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)

2、處的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)，在與之間至少存在一點(diǎn)，使得：=+ +，其中稱為余項(xiàng)，上式稱為階泰勒公式；若0，則上述的泰勒公式稱為麥克勞林公式，即= +.利用泰勒公式證明不等式：若函數(shù)在含有的某區(qū)間有定義,并且有直到階的各階導(dǎo)數(shù),又在點(diǎn)處有階的導(dǎo)數(shù),則有公式在上述公式中若(或),則可得或常見(jiàn)的泰勒公式2.泰勒公式的余項(xiàng) 可以寫(xiě)成以下幾種不同的形式：1、佩亞諾(Peano）余項(xiàng)：這里只需要n階導(dǎo)數(shù)存在2、施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche）余項(xiàng)：其中（0,1），p為任意正實(shí)數(shù)。（注意到p=n+1與p=1分別對(duì)應(yīng)拉格朗日余項(xiàng)與柯西余項(xiàng)）13、拉格朗日（Lagran

3、ge）余項(xiàng)：其中（0,1）。4、柯西（Cauchy）余項(xiàng)：其中（0,1）。5、積分余項(xiàng)：以上諸多余項(xiàng)事實(shí)上很多是等價(jià)的。1、 證明: 證明 設(shè) 則在處有帶有拉格朗日余項(xiàng)三階泰勒公式 由以上證明可知,用泰勒公式證明不等式,首先構(gòu)造函數(shù),選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)在處展開(kāi),然后判斷余項(xiàng)的正負(fù),從而證明不等式.對(duì)于欲證不等式中含有初等函數(shù)、三角函數(shù)、超越函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的證明問(wèn)題，要充分利用泰勒公式在時(shí)的麥克勞林展開(kāi)式，選取適當(dāng)?shù)幕竞瘮?shù)麥克勞林的的展開(kāi)式，對(duì)題目進(jìn)行分析、取材、構(gòu)造利用.2、 證明不等式：.不等式左邊是三次二項(xiàng)式的初等函數(shù)，右邊是三角函數(shù)，兩邊無(wú)明顯的大小關(guān)系 。這時(shí)我們可用在的二階麥克勞林公式

4、表示出來(lái)，然后進(jìn)行比較判斷兩者的大小關(guān)系。 證明 , 當(dāng)時(shí)，的泰勒展式為：0 (0, ,01)所以0,，有 .在含有無(wú)理函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的不等式證明問(wèn)題中，它們之間沒(méi)有明顯的大小關(guān)系。如果用常規(guī)方法（放縮法、比較法，代換法等），我們很難比較它們之間的大小關(guān)系，但這時(shí)用泰勒公式卻能輕易解答.3、 證明不等式：，（0）.對(duì)于此題，若我們對(duì)不等式兩邊同時(shí)平方，雖可以去掉根號(hào)，但的次數(shù)卻提高了次，這還是難以比較他們之間的大小關(guān)系，但若用泰勒公式卻可以輕易解答.證明 設(shè)，則,代入=0的二階泰勒公式，有=1+- + (01) 0, 0 所以 （x0）.在不等式的證明問(wèn)題中，若題目中出現(xiàn)了一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)

5、、初等函數(shù)、三角函數(shù)或超越函數(shù)等與冪函數(shù)結(jié)合時(shí)，可優(yōu)先考慮泰勒公式在=0時(shí)的麥克勞林表達(dá)式。當(dāng)然能做好此類(lèi)題的前提條件是要對(duì)一些基本函數(shù)的麥克勞林表達(dá)式熟悉.高中常用的泰勒公式1.變式：(1).(2)(3)(4)1. 2013 全國(guó)卷：(2)當(dāng)時(shí)，求證，。，注意取等條件。例1.2012年天津(理)(2) 恒成立，求的最小值？思路，恒成立，要使恒成立，只要成立即可，解出。變式，恒成立，求的最小值。恒成立，即要，所以。例2.2010湖北(理)(2) 在上恒成立，求的最小值。思路，恒成立，要使恒成立，只要成立即可。整理解得。例3.大一中月考卷已知函數(shù)，(2)若恒成立，證明：當(dāng)時(shí)，思路，若恒成立，則解得。變形得，即證即當(dāng)時(shí)，證明。2. ，例1.2010年全國(guó)文科設(shè)函數(shù)，(2)若當(dāng)時(shí)都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。思路，變形為，因?yàn)楹愠闪?，所以即可，所以。?. 2010年全國(guó)理科設(shè)函數(shù)，(2)若當(dāng)時(shí)都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。思路，因?yàn)楹愠闪?，所以即可，所以。?.2014年全國(guó)一卷設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為。(1) 求，的值。(2) 證明。思路，由第一問(wèn)可知，不等式，等價(jià)于不等式，借助重要不等式,變形可知，于是，因?yàn)樯鲜降忍?hào)不能同時(shí)成