熱力學統(tǒng)計物理課后習題答案

1、第一章 熱力學的基本規(guī)律11 試求理想氣體的體脹系數(shù)a，壓強系數(shù)b和等溫壓縮系數(shù)kT。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為由此得到 體脹系數(shù)，壓強系數(shù)等溫壓縮系數(shù)12證明任何一種具有兩個獨立參量T，P的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實驗測量的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得，如果，試求物態(tài)方程。解： 體脹系數(shù) 等溫壓縮系數(shù) 以T，P為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為 其全微分為 這是以T，P為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，得根據(jù)題設 ， 若 則有 ， PV=CT要確定常數(shù)C，需要進一步的實驗數(shù)據(jù)。14描述金屬絲的幾何參量是長度L，力學參量是張力，物態(tài)方程是(,L,T)=0，實驗通常在大氣壓下進行，其

2、體積變化可以忽略。線脹系數(shù)定義為 ，等溫楊氏模量定義為 ，其中A是金屬絲的截面。一般來說，a和Y是T的函數(shù)，對僅有微弱的依賴關系。如果溫度變化范圍不大，可以看作常數(shù)。假設金屬絲兩端固定。試證明，當溫度由T1降至T2時，其張力的增加為。解： f (,L,T)=0 ，=F(L,T) (dL=0) 所以 16 1mol 理想氣體，在27oC的恒溫下發(fā)生膨脹,其壓強由20Pn準靜態(tài)地降到1Pn，求氣體所做的功和所吸收的熱量。解：將氣體的膨脹過程近似看做準靜態(tài)過程。 根據(jù)，在準靜態(tài)等溫過程中氣體體積由VA膨脹到VB，外界對氣體所做的功為氣體所做的功是上式的負值，- W = 8.31300ln20J= 7

3、.4710-3J在等溫過程中理想氣體的內(nèi)能不變，即DU=0根據(jù)熱力學第一定律DU=W+Q，氣體在過程中吸收的熱量Q為 Q= - W = 7.4710-3J1.7 在25oC下，壓強在0至1000pn之間，測得水的體積為 V=18.066-0.71510-3P+0.04610-6P2cm3mol-1如果保持溫度不變，將1mol的水從1pn加壓至1000pn，求外界所作的功。解：將題中給出的體積與壓強的關系記為 V=A+BP+CP2由此得到 dV=(B+2CP)dP保持溫度不變，將1mol的水從1Pn加壓至1000Pn，在這個準靜態(tài)過程中，外界所作的功為=33.1Jmol-1111滿足PVn=C的

4、過程稱為多方過程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證明，理想氣體在多方過程中的熱容量為 解： 理想氣體多方過程 PV=RT PVn=C 有 所以 另一方面，理想氣體 所以得 ， 證畢112 試證明，理想氣體在某一過程中的熱容量Cn如果是常量，該過程一定是多方過程。多方指數(shù)。假設氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。解：根據(jù)熱力學第一定律，dU=dQ+dW （1）對于準靜態(tài)過程 有dW= - pdV對于理想氣體有 dU = Cv dT氣體在過程中吸收的熱量為 dQ = CndT則 熱力學第一定律 （1）可表達為 (Cn - Cv ) dT=pdV 用理想氣體的物態(tài)方程 gRT= pV 去除 上式，以及代

5、入Cp -Cn= gR得到 （2）理想氣體的物態(tài)方程的全微分為 （3）以上兩式聯(lián)立，消去，得（4）令，上式（4）表示為 若Cp,Cv,Cn都是常量， 將上式積分得 PVn=C上式表明，過程是多方過程。116假設理想氣體的定壓熱容量和定容熱容量之比g是溫度的函數(shù)，試求在準靜態(tài)絕熱過程中T和V的關系。該關系式中要用到一個函數(shù)F（T），其表達式為。 解： , 對準靜絕熱過程， dS0， 得到 另一方面，理想氣體 且 PVRT于是， ，即得到 令 ， 有 ， 1.21溫度為00C的1kg水與溫度為1000C的恒溫熱源接觸后，水溫達到1000C。試分別求水和熱源的熵變，以及整個系統(tǒng)的總熵變。欲使參與過程

6、的整個系統(tǒng)的熵保持不變，應如何使水溫從00C升至1000C？已知水的比熱容為4.18Jg-1K-1解：00C的水與溫度為1000C的恒溫熱源接觸后，水溫達到1000C。這一過程是不可逆過程。為求水、熱源和整個系統(tǒng)的熵變，可以設想一個可逆過程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來不可逆過程中的同樣的變化。通過設想的可逆過程來求不可逆過程前后的熵變。為了求水的熵變，設想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源。其溫度分布在00C與1000C之間。令水依次從這些熱源吸收熱量，使水溫由00C升至1000C。在這可逆過程中，水的熵變?yōu)?(1)水從00C升至1000C所吸收的總熱量Q為 Q=mCPDT=1034.18100J=

7、4.18105J為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為1000C的另一熱源放出熱量Q。在這可逆過程中，熱源的熵變?yōu)?(2)由于熱源的變化相同，式子（2）給出的熵變也就是原來的不可逆過程中熱源的熵變。整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)镈S總=DS水+DS熱源=184 J K-1為使水溫從00C升至1000C而參與整個過程的整個系統(tǒng)的熵保持不變，應令水與溫度分布在00C與1000C之間的一系列熱源吸熱。水的熵變DS*水仍由式子（2）給出。這一系列熱源的熵變之和為參與過程的整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)?DS*總=DS*水+DS*熱源=0 （5）1.22 10A的電流通過一個25W的電阻器，歷時1S。（A）若電阻器保持為室溫270C，試求電阻器的熵增加值。（B）若電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為270C，電阻器的質(zhì)量為10g，比熱容CP為0.84Jg-1k-1，問電阻器的熵增加值為多少？解：（A）以T，P為電阻器的狀態(tài)參量，設想過程是在大氣壓下進行的，如果電阻器的溫度也保持為室溫270C不變，則電阻器的熵作為狀態(tài)函數(shù)也就保持不變。 （B）如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產(chǎn)生的焦耳熱Q將全部被電阻器吸收而使其溫度由T1升為T2，所以有mCPDT= mC