有限域-有限域的結(jié)構(gòu)-有限域特征

1、1,第二章 有 限 域 結(jié) 構(gòu),2,有限域的特征 特征的含義 無零因子含幺環(huán)的特征: 0 或者素數(shù) 素域： q 和 z/(p) = 0,1, p 1 定理 設(shè)f 是域, p 是 f 的素域. 若char f = p, 則 p z/(p). 若char f = 0, 則 p q. 有限域的特征是素數(shù) 無限域的特征一定是 0 嗎,3,有限域的元素個數(shù) 特征為 p的有限域f 都是fp上的有限（維數(shù)）擴張。 |f | = pn, n = f: fp. 任意給定素數(shù) p和正整數(shù)n, 是否一定存在 pn元有限域？ 如何構(gòu)造有限域,4,有限域的存在性與唯一性 存在性 定理 對每個素數(shù) p和每個整數(shù)n, 存在

2、 pn元有限域. 證明 q = pn, f是xq x在fp上的分裂域. s = af | aq a =0 s = f,5,唯一性 定理 設(shè)f 是q = pn元有限域, 則 f 是同構(gòu)于xq x在fp上的分裂域. q元有限域記為fq,characterization of finite fields,6,子域的存在唯一性 定理 設(shè)q = pn , 若e是fq的子域，則|e | = pm, 其中m是n的正因子；反之 ，若m是n的正因子，則fq 有唯一的 pm元子域。 例： f230的全體子域,7,設(shè) f(x)是fp上的 n次不可約多項式 fpx中的同余關(guān)系 a(x) b(x) mod f(x) f

3、(x) | a(x) b(x) over fp 任意給定的g(x) fpx與fpx中某個次數(shù)小于n的多項式（包括0）同余 g(x) = f(x) q(x) + r(x), r(x) = 0 或deg(r(x) n g(x) r(x) mod f(x) fpx模 f(x)的全體兩兩不同余的代表元為 r(x) fpx | r(x) = 0 或deg(r(x) n,pn,8,設(shè) f(x)是fp上的n次不可約多項式 f = r(x)fpx | r(x) = 0 或deg(r(x) n 多項式的加 : g(x) + h(x) 模 f(x)的乘法: g(x)h(x) (mod f(x) 是否域？ f關(guān)于加

4、法構(gòu)成群 f0關(guān)于乘法構(gòu)成群 f是 pn元有限域,fpx/(f(x) f,9,16元有限域f24 f(x) = x4 + x +1是f2上的不可約多項式 f = (0, 1, x, x+1, x2 , x2 +1, x2 +x , x2 + x +1 , x3 , x3+1 , x3 +x , x3 + x +1 , x3+ x2 , x3 + x2 +1 , x3 +x2 +x , x3 + x2 +1, +, mod f(x) ) f2x/(x4 + x +1) f,x2 + x) + (x3 +x +1) = x3 +x2 +1 (x2 + x) (x3 +x +1) = x3 +x2

5、+x+1,10,16元有限域f24 f(x) = x4 + x +1是f2上的不可約多項式 g(x) = x4 + x3 +1是f2上的不可約多項式 f2x/(f(x) f2x/(g(x) 能否給出同構(gòu)映射？（作業(yè),11,fp上n次不可約多項式的存在性 定理 記有限域fq的全體非零元fq* ，則fq*關(guān)于乘法運算是循環(huán)群,12,fp上n次不可約多項式的存在性 定理 記有限域fq的全體非零元fq* ，則fq*關(guān)于乘法運算是循環(huán)群. 證明 ord(12n) = q1,13,本原元（ primitive element ） 乘法群fq*的生成元稱為fq中的本原元。 fq中有(q1)個本原元,14,f

6、p上n次不可約多項式的存在性 定理 設(shè)有限域fr是fq的擴域，則fr是fq上的單代數(shù)擴張。 推論 存在fp上的n次不可約多項式,15,不可約多項式的根 元素 fqn在fq上的極小多項式 : 首一, 不可約 設(shè) f(x)是fq上的n次不可約多項式， 是 f(x)在fq擴域上的根 (問: 是否有重根?) f(x)的全體根 , q, q2, qn1 fq()是qn元有限域, fq() fqn 是 f(x)的分裂域 fq上的n次不可約多項式的分裂域同構(gòu) fqn,16,共軛元 設(shè)fqm是fq的擴張, fqm, 則, q, q2, qm1稱為關(guān)于fq的共軛元。 注：設(shè)fqm, 則關(guān)于fq的共軛元兩兩不同當(dāng)

7、且僅當(dāng)在fq上的極小多項式次數(shù)等于m。 注：若d 是m的因子, 關(guān)于fq共軛元的不同元素為, q, q2, qd1 , 每個元素重復(fù)m/d 次,17,共軛元 定理 設(shè)fqm是fq的擴張, fqm, 則關(guān)于fq的共軛元在乘法群fq*中有相同的階。 推論 若fqm是fqm中的本原元，則關(guān)于fq的共軛元都是fqm中的本原元,18,fqm的fq-自同構(gòu) 若是fqm的自同構(gòu)并且對于afq 有(a) = a, 則稱是fqm的fq-自同構(gòu),19,fqm的fq-自同構(gòu) 定理 fqm的全體不同的fq-自同構(gòu)為0, 1, m1, 其j() = qj , fqm , 0 j m1. 證明 驗證j 是fqm的fq-自同構(gòu) 說明0, 1, m1兩兩不同 若是fqm的fq-自同構(gòu)，則0, 1, m