歷年高等數學期末考試試題

1、2008-2009學年第一學期期末試題 一、填空題（每題5分，共30分） 1)eln(?yx 1曲線 的斜漸近線方程是_ xyx?2?cos(xy)e?e?1(0,1)y(xy?處的法線方程是由_ 2若函數確定，則在點2?1x4?x?)dtf(tf(8)?f(x)_ 連續(xù)，且設，則30?n2?sinxdx?_ 4積分0_?0?y?4?4yy 的通解為5微分方程_ xxy?1x?y?0, ，曲邊三角形繞軸旋轉所得的旋轉體體積為6二選擇題（每題3分，共15分） ?x0x?等價的無窮小是（ 當 ）時，與 11?x x1?cosxe1?ln1?1x)D)A)(C(B( 1?x1?1)(2x?f(x)?

2、)f(x ）處不連續(xù)2. 若在（ ，則 ? x?113?x2x?xx?)(A)(D(B)(C) 23x?xsin?cosxf(x) ） ，則（3若 ?)(B)f()(f(0)f)(0)f(A 是極小值， 是極大值， 是極大值是極小值， 22?)()f(f(0)f()f(0)D)(C 是極大值，也是極小值 是極小值，也是極大值 22?yy,y,)xf(?q(x)yyp?(x)y?的解，都是二階非齊次線性方程4設線性無關的函數312c,c是任意常數，則該方程的通解為（ ） 21cy?cy?ycy?cy?(c?c)y)(B(A)， ， 332112221211cy?cy?(1?c?c)ycy?cy?

3、(1?c?c)y)D(C)(， ， 31111211223222n3i3?n?2(lim)極限5 ） 可表示為（ nn?ni?121212222?dxdxx3xdx?dx?x1)x1)(33(3)(A()D)B()(C 0?11?0三、計算題（每題6分，共36分） xxxe1?sinex?dxlim2. 1 2(1?x)20?xx?11?y?f(x)g(x)f(1)?2, 為其反函數，若為單調函數， 且二階可導，3設 3?(1)?f(2)?f2g(1). , 求 322tt ?0?t?11?udu1?x?udu,y?)xfy?(確定，求該曲線對應于由4若曲線的，11 弧長。2?xtanyy?c

4、osx?0?y(0) 5. 求微分方程的特解。滿足3?at?x1?x1t?ba,軸所圍圖形的面積最6設曲線在使曲線與, 試確定處切線斜率為? 32bt?ty?大 四綜合題（1題7分，2、3題6分，共19分，） x12g(2x?)sin?g(2x)f(x)?limtg(x)可導，其中設 1 tt?t?(2x)?xgf(x；）證明： （11?f(x)dx)x)ln(1?g(x. 的一個原函數為，求（2）若 01 11cosn(1)? ?0?xlimf()2(0)(0)f)?1,f?xf(n 在2設的某鄰域內可導，且，求 n?nx2?dt)f(t)dt?x)g(x?t2f)f(x2的連續(xù)函數，證明：

5、2也是周期為是周期為3設00的函數。 五附加題（共20分，本題的得分記入總分） 1?1?f()(0,1)?f)0,1(0,1)(0)?f(1)?0?(fx，在連續(xù)，1設，證明：可導，且， 2?1()f?. 使得4?f(t)f?()3dt(2,4)f(x?0?)?(3)f2,4 ，證明：上連續(xù)，且，使得設2在2 2008-2009學年第二學期期末試題 一、選擇題（每題3分，共15分） 1下列結論正確的是（ ） ?(x,y,y)(x,y)f)(x)yxf,()yf(A)(x,處一定連續(xù)。，在 處可微，則在若00x00y?(x,y)y)f,(x),fy(x),y(B)f(x處沿任意方向的方向導數都存

6、在，若存在；， 則在0000x0y0?limf(x,y),y)(x,fy(x,y)f(x)(C存在；處連續(xù)，所以 在存在，則一元函數若0x00000x?x0? b)?x,fy(a?yf)(x,)(Ddz?adx?bdy；， 若，則00y0x0)(x,y00222zxy?1?0,y,z)?f(x,y,z)f(x為橢球面2設，具有一階連續(xù)偏導數，且曲面 222abc的外側在第二卦限內的部分，則下列積分小于零的是（ ） ?f(x,y,z)dxdy)(x,y,zds(B(A)f ?f(x,y,z(,z)dzdxD)dydz(C),f(xy ?nx?2x?21)?a(x處（ 處條件收斂，則此級數在 3設

7、冪級數在） n0?n(A)(B)(C)(D)收斂性不能確定 絕對收斂 條件收斂 發(fā)散 2?n?1)(?（ 4設為非零實數，則級數 ） nn?ln2n?a)(D)(C)(A)B有關 收斂性與 發(fā)散 絕對收斂 條件收斂 2u(x,y)?0u(x,y)在平面有界閉區(qū)域上具有二階連續(xù)偏導數，且滿足5設函數， ?x?y22u(x,)?y)?,u(xy?0u(x,y)的（ ） ，則 22?x?y(A)D的內部 ； 最大值點和最小值點都在 (B)D的邊界上； 最大值點和最小值點都在(C)DD的邊界上； 最大值點在的內部，最小值點都在(D)DD 的邊界上。的內部，最大值點都在最小值點在 15分）二、填空題（每

8、題3分，共z3?z?xye?(2,1,0)_ 在點曲面處的切平面方程是11 2 x?x113 ?dy)x,yf(x,y)dyI?fdxdx(2為分累2積次積分極坐標系下的在1000 2_ 4 ?24du?f(u)x2x?y?(0,0)A(u)fL，具有連續(xù)導數，且3設為半圓周，起點為022?)?ydy?y)(xdxf(x(2,0)B_ 終點為，則Lbydx?axdy? ?2?yxL，則設為正向閉曲線_ 4yx?L2?)x(?f(x)?x?x 的付立葉級數展開式為5設函數?a?0b)sinnxcosanx?b(的值為，則其中系數_ 3nn2n?1 三、計算題（每題8分，共48分） xz?z?ln

9、)(z?zx,y所確定，求1設由方程 zy?y22222?ds?z)(sinxya?z?:x?y 2設 ，求? ?2222dV)x?z(sinyx?z?1z?x?y?所圍的區(qū)域是由曲面，其中與3求 ?f(x)1?f(1)?ydx?f(x)dy1?)(xf與路徑無關，具有連續(xù)的導數，曲線積分4若且 x2L)(xf 求y?z?e2?dxdy)(1?z4xzdydz?2yzdzdx?(0?y?a)z軸旋為曲線，其中5計算繞?x?0?轉而成的曲面的上側 21?x?)?)?ln(3?2xx(fx 6求級數在處展開成冪級數，并指出收斂域 分）分，共22四、綜合與證明題（選作兩題，每題11222nx?yyx

10、yx),(fxy?(1,1)ALL的為的有向弧段，自原點至點為拋物線，設1?ff(x,y)M(x,y)L處沿法向量在曲線上點角所得的法向量，表示切向量順時針旋轉 2?n?f?nds 的方向導數，計算 ?nL?R,z,QPx,y,?所圍成的閉區(qū)域， 2設閉曲面上任一點為，處的法向量為?P?Q?R 222?ds?R(P)?QdV? ）證明：（1 ?x?y?z? 22zz2222?1?:x?y?ds4x?4y?）中所得的結論計算：，其中2 ）利用（1（ 44?f(x)? 22220x?t?z?(x,y,z)xy?1lim?)f(x 在的某領域內連續(xù)，且設3.， x0x?F(t) 222?lim)z?

11、ydxdydzf(x?)tF( = （1）計算其中 4?t0?t?11?)F(為何值時，級數）問（收斂 2 ?nn1n?)zx,yf?(x,y),P(y上的正向邊界曲線為及其邊界設為曲面，在的上側，4?P?P?dx,yz),(dxdydzdx?Px 有一階連續(xù)偏導數，證明： ?Z?y? 考生注意：第四大題如選作兩個以上，可酌情加分，但卷面總分不得超過100分。 2009-2010學年第一學期期末試題 一. 填空題（每題3分，共15分） xe?)(xf(0)f=_ 1 設 ，則 1?xf(x)?lim(0,0)x?y(x)y?siny_ 與在2若函數點處相切， x0x?2 22?dxx?14x?

12、1?x?)ln(_ 3積分2?2xe?dx積分=_ 4 xe1?111?L?lim?_。 5? n?1n?2n?n?n 二選擇題（每題3分，共15分） 1?21?x x?1e?1x? 1?x?x)f(的（ 是函數 1）間斷點。 1?x?1?0x?（A）可去 (B) 跳躍 (C) 無窮 (D) 振蕩 2x4x?0時，與等價的無窮小量是（ ） 2 3 ? 2?x?lnx12)tan(x?2 (A) (B) 342?xxx?sin1?4x3?1 (C) (D) 3x?1x?11)(x?f)?f(1)(x)f(x（ 處時，與 為等價無窮小量，則在3. 若） ?(1)?0f 可導，但 (B) (A) 連

13、續(xù)，但不可導 ?(1)?0,f(1()fx)f)f(x)f,(1)?0f(1的極小值(C)不是且是 的極值 但 (D) ?xx?x0)?0,f?(xf(x?xy)dy?yf(與具有二階導數，且在為4設，點處的增量，0?x?0x)f(x，則（ 處對應的增量與微分，若分別為 ）在點 0(A)0?dy?y(B)0?y?dy (C)?y?dy?0(D)dy?y?0 ax3?dt)(x)?tf(?dx?f(x)a(2)(x)?f 為連續(xù)的奇函數，且5.設， 40253?2)(3)?(2)(3)? (B) （A) 4453?2)(?(?3)?(2)?3)(? (D) (C) 44三、計算題（每題8分，共4

14、8分） sinx?xcosxlim 1 3x0?xarctanx?dx 2. 22)xx(1?2?tsinx?2dy?f(u). 3若 其中可導，求?21?cost 2dx?f(u)y?du?021x2?t?dx)xf(xI?dtxf()?e 設，求401 ?n2?)xf(sinxf(x)dx 為周期的連續(xù)函數，求是以5. 設0?2 ?dx)f(f(2x)f(x)?sinx?dxx0,)x(f24 ，求6. 若在上連續(xù)，且 200四綜合題（共22分，選作三題） x?dtt)xlncos(?)xf(00?xlim1lim?)xf(，求在1若 的鄰域內可導，且 x30x?0?x1)?2f(x1?n

15、x1?dxa 設 2. nx?10a的遞推關系式； （1）寫出nlima?0 （2）證明：nn?1111n?1?L?ln1)?L?1(?2 (3) 證明： 234n? x1?x0x?1?1?x，設數列滿足 3. 1nn1n?limx存在，并求該極限； ）證明（1 n?n1 ?x2sinxn1n?lim ）計算（2? x?n?n?0,1?(0)?0f)f(x0,1，使，證設4. 明得導在有上連續(xù)的數，且1?dxx)?ff( 0 2009-2010學年第二學期期末試題 分，共15分）一、選擇題（每題3 下列命題正確的是（ ）1?),ylimf(x)f(x,y)(x,yf(x,y)(A 在存在，則函

16、數處連續(xù)，所以若存在；0000x00xx?0?),y)y(fx(x,),fy(x)y(B)f(x,處沿任何方向的方向導數都存在，在若則存在； ，000x00y0?dy?2y)?y)?1dxdf(xf,(x,2?yf)(x,)(C ；，則，若0x0000y03?u? ?1,11?x,yf)(2)?(x,fy?2)(y(D)x,f ，的方向導數，則沿若0x000y)(x,yl?20032223?dvsinxy?I?xyz)(xcosy?x)dvI?(， 2設21? 232?222dvxyI?x)(zcos?1xz?y?(x,y) ，其中），則（3?I?I?I?I(D)()I?I?IC)I?I?(A

17、)I?II(B 223221113313? )tf(1?x?1,0?yD?(x,y)0? 是連續(xù)的奇函數，區(qū)域） 則 （3設 ，?0?)dxdy(x?x?y)dxdy?0yf(f)B(A)( ； ；DD?0dxdy?2y)dxdy?0)f(xf(x?2y)D(C)( ； DD?u?1?nu?lim 條件收斂，且）4設，則（ nu?n1n?n?1?1? )1(B)?1(C)()(AD? 225?xy?3y?f(x,y)2x(0,0) 5.函數在）點處（ )()DB)(C(A)( 不能確定取得極小值取得極大值 不取得極值 15分）二、填空題（每題3分，共?kj?i?2j?2k?Fi ）在向量上的分

18、力為（ 1力111?L?L1?（ ）級數2 2!3!n!?22xdy?2ydx?l1x?y?（ ）3設，則為正向圓周 L2222?Rzx?y?22?(x?y?z)dl:?=（ 4設曲線，則） ?0?z?y?x? 2,?1?x?0,?)f(x1,1f(x)(? 5設2的周期函數，它在區(qū)間上定義為是周期為?31,?x?,0x?1?x)xf( ）則的付立葉級數在處收斂于（ 分）三、計算題（每題10分，共50xy11?dydx 1.計算二重積分 23x0y1?2z?z?f(2x?y,ysinx),f(u,v)具有連續(xù)二階偏導數，求. 2.設其中 ?x?y2xx212?ldydx?x?2y)(1,A2)

19、(2,B的弧段，計算是從到3. 設沿 2yy2l323232?)dxdy?(?(yz?zx(x)?ydzdx)dydz?為上半球積分其中面4.計算曲面? 22y?1?xz的上側. x?e?2?y2y?3y(0,1)y?y(x)處的切線與曲線5設滿足微分方程，且其圖形在點2?x?x1yy?y(x) 在該點的切線重合，求函數四、綜合與證明題（20分） 22?a?a?1?nna0a? 分） （1證明：若，證明：6收斂單調遞減，且 nna1?nnn?1?ynarctan?dxdya?aL,2,?1n ，設2， n022)?y?(1x)(14D? 1?,0?x0,y)?y?xD?(x 其中?naxa的收

20、斂域及和函數 （6分）（1）求；（2）求冪級數 nn0n?222S0?yz?1?S:x?yzPPxoy面3為橢球面在點處的切平面與設上的動點，若 (x?3)y?2z?ds?IC?P是橢球面；（，其中2）計算）求點（垂直，1的軌跡22yzz?4y4?SC上方的部分 （8位于曲線分） 學年第一學期期末試題2010-2011 分）分，共30一、填空題（每題52 ?x)lim1?ln(1?x ） 1（0?xt?tx?dy?（ ） 2若，則?1t?dxtlny?t?1?dx?（ 3 ） xe1?1?dx?（ 4 ） 2xlnx0?yy?0的通解是（ 5方程 ） 332?3xx?y?3y)y?f(x)xf

21、( 確定，則） 由6設 的極大值點為（ 分）3分，共15二、選擇題（每題 ） 1下列函數在其定義域內無界的是（ 112x?2xesinxxln(1)?xsinx)(B(C)(D)(A 22xx)?cosxf(1?2lim?0(0)0f?f(0)? ）2設，若，則（ 且 ?x0?x?2?22(A)D(C(B)(不能確定 ； ； ； x2)?ln(y?2x漸近線的條數為（ 3曲線） x?130)(D)(C(A)(B21 ?(x)f(fx)limlim0?xlimf()?0limg(x)存在的（ 4設，則 ）存在是 ， ?(x)gg(x)0xx?0?0x?x0(A)(B)(C)(D)既非充分也非必要

22、條件 充要條件充分條件 必要條件 2?,x?x0x?)f(xf(t?)dt(x)，則（ ， 5設 ） ?sinx?1,x?00?(x)(?,(Bf(x)(x)?)(A)上不連續(xù)；在是 的一個原函數； ?(x)(?,?)f(C)(x)的原函數；上可導，但不是. 在?(x)(?,?)D()f(x). 的原函數；上連續(xù)，但不是在三、計算題（每題7分，共35分） 2y?x)xx)(0,0)f(f(2相具有連續(xù)的二階導數，在1設凹函數的曲率半徑為處，且與2xlim 切，求 f(x)0x?sintx?xxlndt?的取值范圍 2若成立，求 t1xx2xy?ey?x?ey?x?e為某二階非齊次微分方程的三個

23、解，求該微分，已知，3321方程的通解 10m1m0.25kg10kg的水，計算把水，漏掉深的井中，把4從的水勻速上提，若每升高從井底提高到井口外力所做的功？ ?xx()0,(0)?0y?yy(x)ycos?y?x?sinxyy?內所軸在與滿足，5設求曲線，y軸旋轉一周所得的旋轉體體積？ 圍成平面圖形繞四、綜合題（每題10分，共20分） 2x?x?tg(t)f(x)?dt 1(0)?)g(xgT，為周期的連續(xù)函數，且，且是以 已知10?1,?f(?1,f()?)(x(x)fg)(fx 的反函數，且滿足求2設可微，為 22?1?sin3txx)f(? dtdtg(t)?dx)(xf2 , 求?

24、?t?cos1? 222五、附加題（共10分） f(x)?lim1f(1)?2xf()0,1，具有連續(xù)的二階導數，且1若， 在 2x0x?)?(3f?(0,1) 使得證明： 2011-2012學年第二學期期末考試試題 一、選擇題：（每題4分，共20分） 22?1?x?yydx2xdy?L ），方向為順時針，則（ 、設1 為圓周 L?1212?33)(B)D(C(A) - 22)yx)(2by?f(x)?(2ax?)bf(a, ）2、設 ，則 （(A)(B)不能確定是極值； 不是極值 (C)(D)是極大值； 是極小值 f(x,y)A?0Alim?(0,0)z?f(x,y) 、設的領域內連續(xù)，在3

25、 22yx?0x?e1?0y?則（ ） (A)(0,0)f(x,y)f(x,y)(0,0)可微；的極值點，且 在點是(B)(0,0)f(x,y)f(x,y)(0,0)不可微；的極值點，但 點是在(C)(0,0)f(x,y)f(x,y)(0,0)可微； 點不是在的極值點，但(D)(0,0)f(x,y)f(x,y)(0,0)也不可微；點不是 的極值點，且在a?0(0,0)fx(x)f(x)y?asiny?的一階導數連續(xù)，（ 相切，且與）在4、設?1?nf?1)()(（ ） 則級數 n1?n(B)(D)a)(C(A)有關斂散性與 發(fā)散，絕對收斂 條件收斂 n? ?a(a)kk?1k?lima的值為（

26、 條件收斂，則 、設級數5 ） nn?n?1n? (a?a)kk1?k0(B)(C)(D(A)11?不存在 二、填空：（每題4分，共20分） _2221x?y?z?yz?0?2zy?xoy ）曲面面的投影曲線為與平面的交線在；（1?arcsin1y?xdxdy?_；）（2 y0arcsin_yx?e1)?yxx,(0?LL ；的質量為，則，其質量密度分布為為）設曲線3（?,0)(?(,0)xy?cosx,(?L ，起點為（4）設有向曲線為，終點為 22222yx?_?)dx?edysin(xy 則；L?1?_p0?a1?limn(1?cos)aap；的取值范圍是收斂，則 ，且，若（5）設 nn

27、nn?nn?12zz?x),ye?f(xz,f 分）存在二階連續(xù)偏導數，求；（三、設，其中10 yx?x?1 22?4?x?yD:1?dxdyI?x3?y?x （10分）；四、計算，其中 22x?yD222?2?xz?y1?22?;1:x?y?(x?y?)dv五、計算10分） （，其中? z?z?1?22?dxdy)?2(1?3zz)dydz?4yzdzdxI?(2x?是旋轉曲面，其中 六、計算曲線積分? 22y?x2)ee?z?(1z?的下側； （10分）x?11)?arctan(x?xf(處展開冪級數，并指出收斂域；在（七、將函數10分） ?2n?1?n)(2nfxxf(x)?(1)ff(

28、x)的和； 八、設，（，且為正整數），求級數 nnnnn!n?1（10分） 2013學年第一學期期末試題2012 分，共25分）一、填空題：（每個小題5xsinxln_?f(x) 函數1的可去間斷點是 1x?1)x?2xcos(?(x?1)ef(x)（x?1)e_?(1)f 2設，則 222n12)=_?+Llim(+ 設3 333nnn?nxarctan?x?)dtf(t_?(x)f(0)f 連續(xù)，則4設0_?0?23yyy? 的通解為設 5 15分）二、選擇題：（每個小題3分，共2x_x?y?ln條曲線 的漸近線條數為1(x?1)(x?2)(A)(B)(C)(D)4 3 1 2 _ 2下列

29、函數在區(qū)間其定義域內無界的是 )?xxx(1sin)?xxx(1sin)(A)B( 32x x2 )(1?xsinxx)(1?xsinxx)C(D) xx?(x)?x)?0limg()?g(?x(?,?)x(x)?f(x，總有，且 3設對任意的?xlimf(x)_ 則x?(A)(B)存在當不一定等于零 存在且一定等于零 (C)(D)不一定存在 一定不存在 ?0,2?6?f(1)?f(2)f(x)0,2f(0)使得，上連續(xù)，且 在，則必設函數4_?)(f 等于(A)(B)(C)(D)3621 22232_?)(yy?x?y2a1?(b)? ，則，設5(A)(B)(C)(D)a?9bb?a32a?

30、bba? 三、解答題：（共60分） sinx?ln(1?sinx)lim 求極限 （8分） 1 x?ln(1?sinx)0x?ydy 22)yarctan?x?ln()xy(y?所確定，求 2設（ 由方程8分） xdx1f(x?)? nxcotnf(?e)?1,lim)(xf(x)f可導，且 設8 ，求分） 3 （ 2f(x)?nxxe?dx計算： 4. （ 8分） 2)?x(12a 2?dx?xx2axa?0) 5.（計算：7分） ( 022(y?x)dy?2xydx?0的通解（76計算：微分方程分） 20?x?1)xlnx?k(k) 分的取值范圍？ 恰有兩個不同的根，求7若方程(71 2)

31、?x1?x(0?y?x) 繞求曲線分軸旋轉所得旋轉體的體積和側面積 (78 2 四、附加題：（共20分）1x?)()x?x(f(x)?xe(1)?0(0)?0(x)0,1, 1設, ，其中在,上二階可導f(x)(1,0)f(x)1x?的拐點？說明你的理由；（1）問的極值點， 是否為點是否為?)(0,1)f?(?0? 使得，2（）證明：2?x?1?)x0?f(0?)f(x0,?)(f? 上可導，證明：,設2且使得，在 222?x?1)(1? 20122013學年第二學期期末試題 一、選擇題（每題3分，共15分） xy?_lim 1、 y?x(0,0),y)?(x0(B)(C)(D(A) 1 -1

32、 不存在； _),y(x),x,y)yf(xf( 、函數處的偏導數存在是在點在該點連續(xù)的200(A)(B)(C)(D) 充分必要 必要但不充分 既不充分也不必要； 充分但不必要 tt?_(2)f(x)F?dxf(dyxF(t)?) 為連續(xù)函數，、設，則3y10)(D?f(2)f(2)(C)(A)2f(2)(B x?1yz_?z 繞軸旋轉一周所得旋轉面的方程為4、直線 011222222?1?1xzx?yy?z?)(B(A) 222222zy1?xx?y?z)D(C)； 2?x?f(x)_?b?, 上展開成傅里葉級數，其中在5、函數n10)D()(C)(A)(B1?1 n二、 填空題（每題3分，

33、共15分） rrrrrrrrrrrr? g?b)3,(a,?6,b?3,c?a)bab(?c?c?_a,c? ，則、已知，且1 6r_?)(cos,sinl?)x,y(xy?z 處沿方向、函數2在點的最大方向導數為22yx22?ila1?_?)?4y(2xy?3xds ，則為周長為3、設的橢圓 43l222?z?y1)zln(x?222?1z?x?y?dV?圍成的閉區(qū)域，則4、設是由球面 222zy?x? ?_? 2?ydyxy)dx?x(y)(0)?0具有一階連續(xù)的導數，5、設積分，與路徑無關，其中L(1,2)2?ydy?xx_(y)dx 則(0,1)三、 計算（每題10分，共70分） 2z

34、?xy22),ey?(?zfxf ，求、若1具有連續(xù)的二階偏導數，且 y?x?22y?z?x1?y?zx 2、求旋轉拋物面之間的最短距離；與平面 ?22,dxdy?y)x(1?yxx?D:其中3、計算 D 2222?zdVz1?x?x?yyz?是曲面、計算，其中與所圍成的區(qū)域 4V 2222?ds)?(xyyx?:z?z?1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面； 、及平面其中5?22lx?y?ax(y?0)(0,0)Oa,0)A(，、設6得上半圓是由到 xx?dy?m)dx?(ecosye(siny?my ；計算l?1?的和；、求級數 7 n1)2(2n?0n?四、選作（共10分） 222?2222dx

35、dyzyxdydz?dzdx?Rcz)?ax:?(?)(?yb?(?)?的外、，計算其中1? 側； 2014學年第一學期期末試題2013 24分）一、填空題（每題3分，共2 _?x)lim(1?ln(1x 、 10x?sinxlnx_?)f(x 2的可去間斷點是、函數x?1xcos(2x?1)?,?1)e?(x)?(x?1)ef(x(1)?f_ 、則 3ax?,xe?0f(x)?a?_,b?_0x? 處可導，則 在4、設 ?b?sinx,x?0?arctanx?f(t)dt?xff(x)(0)?_ 5、設連續(xù)，則 023222?)(y),b?2a?(1?(y)x?ya?2b?_ ，則， 6、設

36、 2 32?dx?_4?1)?(sinxx 、7 2?_?0yy3?y?2? 的通解為 8、設二、簡答題（每題8分，共48分） 2x?y?cos(xye)?e?1yy?f(x)?f(x)(0,1)的切線方程；1、設 是由在所確定，求3xy? 、討論的漸近線； 2 23?x?tttcost,y?ex?esin?t0?)(xy?f 所確定，求該曲線對應于3、若曲線由參數方程 2 的弧長；tsin?x?xf(x)d,fdt)?(x 4、若 求 ?t?001?dx 5、； 302 )x?(12xF(x)?f(x)f)F(xf(x)(x) 6的一個原函數，且；是 、已知求 21?x 28分，共分）三、證

37、明題與綜合題（每題7(1,1)，它的切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標，求曲線方程 1、已知某曲線過點21)x?(xlnx?kk 得取值范圍；恰有兩個不同的根，討論、若方程2112x?y(x?0)xM軸圍成的面積為 、曲線 3上一點處作切線，曲線及 32M坐標； 1）切點M的切線方程 2）過點x?2 旋轉一周得到的旋轉體的體積；3）上述平面繞 x1)?e(1?x1x? 當時，4、證明 20分）附加題：（21000? n3的整數部分；1 求1?n?xf(x)?00,(x)(?)f?x()f，又使得在，且上二階可導，且設2 00?0x)?f?0lim?(limfx()f(x)有且僅有兩個零點。，證

38、明：， x?x 20132014學年第二學期期末試題 一、選擇題（每題3分，共計15分） x?1yz?1=?1z?x?y?1 、直線 與平面 ）的位置關系是（ 1?21?)D(A)(B)(C)( 垂直 夾角為夾角為 平行 44),bb)?f(a?hf(a?h,?lim),y)(a,bf(x 偏導數存在，且 在）2、已知（ h0?h0f(2a,b)f(a,b)2f(a,b)(B)C)(A()D xxx2?)t?o(x,y)dxdyf0?tf(0,0)f(x,y)=3、設（ ,則是連續(xù)函數，當 ） 時,222t?yx?1)DC)(A)(B)( 1 2 0 22f?2f(x,0)?xf(x,y)?z

39、?f(x,y)f(x,0)?1 有（ ，且 ，則 ） 、設函數4y2y?222222y?xy1yy1?x1?x?y?y?1xy?y)(C)(B)D(A) 1n)?(?1)ln(1a?，則級數（ 設5 ） nn?22aaaa)A)B(與 與 都收斂 都發(fā)散 nnnnn?1n?1n?1n?1?22aaaa)(C)D(發(fā)散而 收斂而收斂 發(fā)散nnnn1n?1n?1n?1n?二、填空題（每題3分，共計15分） 222?zy2?xyzx?z?f(x,y)(1,0,?1)處的切 在點由方程所確定的函數1、_. 平面方程是 22?yx?z?z?0,z?1之間的部分 設介于為曲面, 2、22?dSyI?)(x

40、?_.? 則曲面積分? ?2_.xds2,?x,0?x:Ly 、3則L 22x2?x?f(x,ydx)dy?_. 4、交換積分次序1x?2?1?n?_.? 、5 !n1?n三、解答題(每題10分，共計70分) 2u?u,fu?f(x,xy)，求、設為連續(xù)的可微函數，； 1 2?x?x8 222?xx?y?xD:dxdy,y)f(?1?xy?xxf(,y)軸所圍區(qū)域2，、設 與 ?Df(x,y)的表達式。求 ?2222dv)x?I?z(yx?z?xz?1?y?所圍成是由曲面、計算3，其中與?的封閉區(qū)域。 22?2dyy)sinx?y)dx?(x?(xx?L:y?2(1,1)(0,0) 、，其中的

41、一段弧。從到4L12?220?zzdxdyz?x)I?dydz?()?y(x?:z2?z之間介于5、計算，其中至 2?部分的下側。 22y?yln?y)?x(2y)(fx, 的極值。6、求11?xx)f(x?ln()xf(的冪級數。，試將7展開成 、已知 41?x 山西大學大東關校區(qū)第一屆高等數學預賽試題 32分）一、填空：（每題4分，共1?1)3(2n?L?lim? ） （ ）（1? 222nnn?n2?tx?sin2yd?)uf(可導，則其中）. （2）若 （ ?2tcos1? 2dx?du)f(y?u?0?3f?f(1,2)(1,2)?2,?)x(x,2(x,2x),2f(x)(1f,2

42、)?1?f(f ）若，（3yx?(1) ）（ 則 )x,yz?f(?3,1,3(0,0),y)z?f(x在（4）設曲面，則曲線 在點處切平面的法向量為?0y?(0,0)(0,0,f ） 點 處的切向量為（ rrrr?zz?i?l?il?|xy?z（ （5） 設 ，則）（， ， ） ，(0,1)21(0,1)l?l?12? 22?xdxdy?1?,y)x?y?x?D(x（ 6 ）若區(qū)域 ） ，則（D2?1z?:?x?y? ?y)xyds?(（，則 （7 ）設曲面 ?xdydz?ydzdx?zdxdy2222?a?x?yz?（ （8）設）是的外側，則 222z?x?y?xz2221z?cosy?c

43、osxu?e?sinyzcos?z所確定的二元函數，二、設，其中是由方程du 8求分）（? ?)sincos(r?,)r?cot?cscD?(r,drdI? （，其中8分）、計算三? ?sin42?D2?1)xydy2xdx?2(siny?sinx(0,0)L到點 四、計算曲線積分，其中 是曲線上從點L?,0)(的一段（8分） 1b2?y?x?ax、已知?xdxy?b)bx?ba,(a0 所，求曲線圍五滿足 與直線 2a 分）8區(qū)域的面積的最值（? x?y?1dxdyy)dzdxz)dydz?(3x?z)?(x?(y?1z?x?y?內六、計算為在，?的部分，取下側（8分） 22220?z?y?

44、x?1zyz?x?1?與圍成，密度為與由，區(qū)域七、設區(qū)域由21?0z?(0,0,0)1（8分）密度為，若區(qū)域與 求常數組成的立體重心位于原點圍成，21?xx)x(最近的整數的距離，（10分）是 到離八、設nn?1x?1n?nx?n(t?)dt? （1為正整數，且）當；時，證明： 4401x?(t)dtlim 2）求（ x0?x?(x)是周期為提示：1的函數。 九、已知容器甲的容積為100公升，盛滿鹽水，含鹽10公斤，現(xiàn)以每分鐘3公升的勻速注入淡水，使鹽水沖淡，同時又以同樣的速度將鹽水抽入原先盛滿凈水的同樣大小的另一容器乙內，多余的水便從容器內流出，問經過多少時間，兩容器內的含鹽量相等？（10分

45、） 山西大學大東關校區(qū)第一屆高等數學決賽試題 一、計算（每小題5分，共10分） ?1?tanxn1?2k1? ?dxsinlim4）2（1） （ x?tan1nn0?n1?k?g(x,y)?g(x,y)x?dtf(x?t)y?y?2,y)f(x,?1?1),yg(x， ，二、設函數滿足， y?x?01f(,n) nnlim0g(0,0)?，求) 且 (10分 g(n,1)?n10x?1lnx，、設，且滿足 三 nnxn?11?x1?lnx?的極限存在。(10分證明：（1）；（2）數列) nnxn11?dxx)f(0?f(x)0,1(0,1)f(0)，在 四、設上連續(xù)，在，內可導， 20?1f)

46、?(?(0,1)f?(?)?) 分 使，證明： (1032y?y0?(x?e)(y，五、設有二階微分方程 xy為函數值的新方程；(10分1）試將所給微分方程化為以) 為自變量，（2）求該微分方程的通解 ?0f,gg)?g(x?ky)z?f(x?y,x?y，若數二階連六、設續(xù)，且偏導，具有222zzz?k?2?4f) (10，求常數分的值 2222?x?x?y?y1?xf(x)dx?11)x(x)f(x)?f(?f，, 是連續(xù)的奇函數，且滿足 七、設0xvu?dt)dv(dutf)(x?(1)(x) 分若 （2）求 ，（1）將(10 表示為定積分的形式；000?(1)?x()4L上，、設函數具有

47、連續(xù)導數，且，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線八xdy?ydxxdy?ydx?A?)(xA 的表達式；（2）常數曲線積分；）（3），求（1函數 22?y?)yx)?(xLL 22221?y?x(),A1)?B(0,L是從點分 至點 的有向弧段 沿 (15) 其中 22A(1,0,0)B(1,1,1)ABz軸旋轉一周而成的旋轉曲面方程；，求直線與）已知點 繞九、（122?dxdy1)z?(?y?yf(xy)dzdxxxyI?xf()?2dydz?是由直，其中）計算（2 ?z?0f1ABz?z具線之間部分的外側，繞軸旋轉一周而成的旋轉曲面介于平面與函數有連 續(xù)導數。 (15分) 山西大學大東關校

48、區(qū)第二屆高等數學競賽預賽試題 分）（每題4分，共40一、填空： 2)n?1?ln(nlim?1.（ ） nln?nxsin2? 2.若）（ ，則ex)f(x)?(1?x?f(0)4?4)dxx?2)(x?3)(xxx(?1)( （3. ） 0bydxaxdy?)?(2?yx 4.設，則為正向閉曲線Lyx?L222?25z?2y?2x?222z?x?y,y,z)?f(x在該點處沿曲線在點5.函數處，4,5)(3,?222z?x?y? ）的切線方向的方向導數為（ 225?yx? ）的條件極大值為（6.函數滿足方程 1y?y)?2x?f(x, ）條件極小值為（ 2?i?dsxy)1?xcos(x ）7.（ 222a?xy? zz?yy2?（+）則 ） 8.（,1)arctan?(z?xxe? yx?x(1,0)? ,?y?1D?(x,y)x(x?y)dxdy?（ ）則積分設9. D2011?2x)?sinf(xb(n?1,2,L)?（ 10.的以） 為周期的傅里葉級數系數n2二、解答題（60分） ?(x,y)?f(xf,y)，具有一階連續(xù)的偏導數，且設1 )y(x,z?fx?，求的表達式， ytan(0,y)?f),y?1f(xf(0,0)yf(x)?與路徑無關，且具有連續(xù)導數，曲線積分2已知dyx)1?ydx?f()xf( xL1，求的表達式 ?f(1)xf( 2?m