直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算ppt課件

1、第2節(jié),一、矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算,二、一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算,直角坐標(biāo)系下 二重積分的計(jì)算,第21章,一、矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算,在,定理1,也存在,且,上可積,且對,每個(gè),存在,證,直線網(wǎng)T,先用平行于坐標(biāo)軸的,則累次積分,分割D成rs個(gè)小矩形,令,下面證,在,可積,且積分值為二重積分,因?yàn)?在,上可積,故必有界,定積分估計(jì)式得,由確界原理及,其中,由積分區(qū)間的可加性,其中,由于二重積分存在,故,由于當(dāng),因此由定積分定義,上式左邊亦可寫為,即,由迫斂性,得,類似可證下面結(jié)論,在,定理2,也存在,且,上可積,且對,每個(gè),存在,則累次積分,特別當(dāng),在,上連續(xù)時(shí),則,例1. 計(jì)算,其中,解

2、法1. 利用定理1, 則,解法2. 利用定理2, 則,二、一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算,1. D為 X 型區(qū)域,平面區(qū)域D的兩種簡單類型,D為Y 型區(qū)域,2,定理3,在X 型區(qū)域D上連續(xù),其中,上連續(xù),則,先 y 后 x,在Y 型區(qū)域D上連續(xù),其中,上連續(xù),則,先 x 后 y,證,說明,為計(jì)算方便,可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序,則有,2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干,X-型域或Y-型域(如圖),則,1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域,例2. 計(jì)算,其中D 是直線 y1, x2, 及,yx 所圍的閉區(qū)域,解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則,例3.

3、 計(jì)算,其中D 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域,解: 為計(jì)算簡便, 先對 x 后對 y 積分,及直線,則,例4. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積,解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為,則所求體積為,例5. 將二重積分,其中D 如下圖所示,化為累次積分,1,2,例6. 交換下列積分順序,解: 積分域由兩部分組成,視為Y型區(qū)域 , 則,例7. 計(jì)算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域,解: 由被積函數(shù)可知,因此先對 y 積分,先對 x 積分不行,說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序,解,例8,計(jì)算積分,例9 計(jì)算,其中 D 是由直線,所圍成,解,例10. 計(jì)算,其中D 由,所圍成,解: 令,如圖所示,顯然,內(nèi)容小結(jié),1)直角坐標(biāo)系下二重積分化為 累次積分的方法,若積分區(qū)域?yàn)?則,若積分區(qū)域?yàn)?則,2) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng),畫出積分域,選擇坐標(biāo)系,確定積分序,寫出積分限,計(jì)算要簡便,域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離,積分域分塊要少,累次積好算為妙,圖示法,不等式,先積一條線, 后掃積分域,利用對稱性,應(yīng)用換元公式,兩邊夾，一線穿,作業(yè),P222 1 (2), (4); 2 (2), (4)