數(shù)列題型及解題方法歸納總結

1、例 4、an中，ai 1，對于 n 1 (n N)有 an 3an 1 2，求 an.掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通 項公式、求和公式及性質，掌握了典型題型的解法和數(shù)學思想法 的應用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2， an=3an-1 +2。兩式相減:an+1-a n=3(an-a n-1 )因此數(shù)列a n+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，其首項為a2-a 1= ( 3X 1+2)-1=41、求通項公式(1 )觀察法。(2)由遞推公式求通項。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉化

2、n-1-an+1-a n=4 3an=2 3n-1-1解法二：an+1=3an+2? - - 3an+2-a n=4 3n-1成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+1=ai+d及an+1=qa( d， q為常數(shù)) 例 1、?已知a n滿足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例1、解？ t an+1-an=2為常數(shù) an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列a3-a 2=4 3，把上法得a n+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，于是有:2a4-a 3=4 3，n-1個n-2an-a n-1 =4 3 ，式 累a2-a 1=4，-an=1+2 (n-1 )例2、已知an滿足an 1(2)

3、遞推式為即 an=2n-11an，而 a12，求 an =2數(shù) an=2 3n-1-1(4)遞推式為 an+1=p an+q2c(bnbn3bn 1bnan bnn(p，1)3(2)n 2(3)nq為常數(shù))由上題的解法，得:bn 32n1 1例 3、已知a*中 a1， an 1 an 2，求 a是以2為嗣，公比為&的籌1數(shù)列求an.(5)遞推式為an 2pan 1qan飛器 1)0 1) 1(2 n 12n11)an 2pan 1 qan令 n=1， 2，(n-1 )，代入得(n-1 )個等式累加，即(a2-a 1) + (a3-a 2)+an 2 an 1(an 1an)，(an-a n-1

4、 ) 說明由 an+1 =3n+f?只要和f (1) +f (2) +f (n-1 )是可求的，就可以(n)以n=1，2,，(n-1 )代入，可得n-1個等式累加就是也(dCL + p = p J嚴而求an。(3)遞推式為an+1=psn+q (p，q為常數(shù))想于是a n+1- a an是公比為B的等比數(shù)列，就轉化為前面的類型。適用于數(shù)列an an 1(其中an求an o等差)(6)遞推式為S與an的關系式可裂項為：系;(2)試用n表示ano1 1an an1d：1),an 1SnSn / 1 1 (an an 1 )(21)an)an12an上式兩邊同乘以an 1 an an等差數(shù)列前n項和

5、的最值問題：1、若等差數(shù)列 an的首項a10 ,公差0 ,則前n項和Sn有最大2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2 3是公差為2的等差數(shù)列。 2nan= 2+ ( n-1 ) 2=2n值。數(shù)列求和的常用方法:(i)若已知通項an，則Sn最大anan 11、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉化為特 殊數(shù)列求和。(ii)若已知Sn2pn qn，則當n取最靠近金的非零自然數(shù)時2、錯項相減法：適用于差比數(shù)列(如果an等差，bn等比，那么Sn最大;anbn叫做差比數(shù)列)2、若等差數(shù)列 an的首項a10 ,公差d則前n項和Sn有最小即把每一項都乘以0的公比q，向后錯一項，再對應同

6、次項相減，轉化為等比數(shù)列求和。3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有 限幾項，可求和。(i)若已知通項an，則Sn最小anan 12q（ii）若已知Sn pn qn，則當n取最靠近的非零自然數(shù)時2p數(shù)列后，再求an 。Sn最小;數(shù)列通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。已知Sn （即a1 a2川 an f（n）aS,（ n 1）anSn Sm,（ no2)已知ai|all|anf（n）求an，用作商法：an已知條件中既有an。 若an (ana1 (nanan 1 )2)。ananan 1an 1an 2求an ,用作差法：Sn還有an，有時先求Sn，

7、再求f(1),( n 1)f(n) (n 2) f (n 1),(n 2)an ；有時也可直接求an(an 1an 1anIIIa2ai已知遞推關系求f (n)an 2)f(n)ai (n求 an|(a2a1)求 an ，2)。an，用構造法（構造等差、用累乘法等比數(shù)列）。特別地，（1）形如 an kan 1 b、a. ka“ 1 bn （ k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為k的等比數(shù)列 后，再求an ；形如an kan 1 kn的遞推數(shù)列都可以除以 kn得到一個等差（2） 形如an乩的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。kan 1 b（3）形如an 1 ank的遞推數(shù)列都可以用

8、對數(shù)法求通項。（7）（理科）數(shù)學歸納法。（8） 當遇到an 1 an 1 d或n 1 q時，分奇數(shù)項偶數(shù)項討論an 1結果可能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時， 常將“和式” 類項”先合并在一起，再運用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的 通項與組合數(shù)相關聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用 求和（這也是等差數(shù)列前 n和公式的推導方法）.（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比 數(shù)列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是

9、等比數(shù)列前公式的推導方法）.（5）裂項相消法項分裂后相關聯(lián),n n(n1 1)“同:如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰 那么常選用裂項相消法求和1n 11k2一1k21丄1一 -1 門k) kn1 1(k 1)k1(k 1)k1.常用裂項形式有:；n k）；11kn(n 1)( n 2)2F(n 1) (n 1)(n2)n 11(n 1)! n! (n 1)! 2( , n . n)2122C. n .Tl)Qn Jn 1 Jn Qn Jn 1二、解題方法：求數(shù)列通項公式的常用方法：1、公式法2、由Sn求an3、求差(商)法解：n1 時，2215,二 a114練習4、疊乘法解:無a

10、3an12n 1 an1?a1a2an 123na1 n5、等差型遞推公式練習6、等比型遞推公式練習7、倒數(shù)法2 .數(shù)列求和問題的方法(1 )、應用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。21 + 3+ 5+ (2n-1)=n【例 8】 求數(shù)列 1, (3+5), ( 7+9+10), (13+15+17+19),前 n 項的和。解？本題實際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項中，共有1+2+1+n= n(n 1)個奇數(shù)，21 2最后一個奇數(shù)為：1+ n(n +1)-1 x 2=n+n-12因此所求數(shù)列的前 n項的和為(2) 、分解轉化法*

11、對通項進行分解、組合,轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?9】求和 S=1 (n2-1 ) + 2 ( n2-2 2) +3 ( n2-32) + +n ( n2-n 2)23333解？ S=n (1+2+3+n) - (1+2+3+n )(3) 、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著 寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3C： 6C：川 3nC；例 10、解 Sn 0?C0 3Cn 6C 3nC：又入玉彈殊汁3 (n - 1) C評+ g：(4) 、錯位相減法- -如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘構成的，可把和式的

12、兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和.例11、 求數(shù)列1，3x，5x2,(2n-1)x n-1前n項的和.解？設 Sn=1+3+5x2+(2n-1)x n-1 . ?x=0 時，S=1.(3)當xm 0且xm 1時，在式兩邊同乘以 x得xS n=x+3x2+5x3+(2 n-1)x n，-，得 (1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2 n-1)x n.裂項法：把通項公式整理成兩項（式多項）差的形式，然后前后相消。 常見裂項方法：例12、求和丄一1?53?75?9 川（2 n 1）（2n 3）些項，還剩下哪些項，一般地剩下的537（如 _1）（2口+可注：在消項時

13、正項與負項一樣多。在掌握常見題型的解法的同時， 問題時的應用。二、常用數(shù)學思想方法1 函數(shù)思想運用數(shù)列中的通項公式的特點把數(shù)列問題轉化為函數(shù)問題解決?！纠?3】?等差數(shù)列an的首項ai0,前n項的和為S,若S=S （I豐k） 問n為何值時Sn最大此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)。T ai 0? Si=S （I豐k）,二dv 0 故此二次函數(shù)的圖像開口向下:-, f （1 ） =f （k）2方程思想【例14】設等比數(shù)列an前n項和為S, 若 S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q。分析？本題考查等比數(shù)列的基礎知識及推理能力。解依題意可知1。如果q=1，則S3=3a1, Se=6a1, S9=9a1。由此

14、應推出 a1=0與等比 數(shù)列不符。/ qz 1整理得？ q3 (2q6-q 3-1 ) =0? / q 豐 0此題還可以作如下思考：S6=S3+q3S3= (1+q3) S。S9=S+q3S6=S3 (1+q3+q6),由 S3+S5=2S9 可得 2+q3=2 (1+q+q6), 2q6+=03 元思想【例 15】?已知a b,逝是不為1的正數(shù)，x, y, z R+,且 求證：a, b, c順次成等比數(shù)列。證明？依題意令ax=by=cz=k x=1ogak, y=log bk, z=log ck b2=ac a, b, c成等比數(shù)列（a, b, c均不為0）數(shù)學5 （必修）第二章：數(shù)列一、選

15、擇題11 數(shù)列an的通項公式an ，則該數(shù)列的前（）項之和Jn Jn 1等于9。A. 98 B .99C.96D 972 在等差數(shù)列an中，若S41,S84，貝U a仃 a18a19a 20的值為( )A. 9 B .12C.16D 173 .在等比數(shù)列an中，若a26 ,且 a5 2a4 a3120 ,則 an 為( )A. 6B 6(1)n 2 C 62n 2 D 6或 6 ( 1)n 2 或 6 2n 2二、填空題1 .已知數(shù)列an中，a11 ,an 1 an an 1 an ,則數(shù)列通項an。2.已知數(shù)列的Sn n2 n 1,則a8a9 aio aii ai2 =。3 .三個不同的實數(shù)a,b, c成等差數(shù)列，且a,