大學(xué)物理真空中的靜電場

1、第7章 真空中的靜電場,本章內(nèi)容,7. 1 電荷 庫侖定律,7. 2 電場 電場強度e,7. 3 電通量 高斯定理,7. 4 靜電場的環(huán)路定理 電勢能,7. 5 電勢 電勢差,7. 6 等勢面 *電勢與電場強度的微分關(guān)系,7. 7 靜電場中的導(dǎo)體 電容,7. 8 靜電能,7.1 電荷 庫侖定律,7.1.1.電荷,1. 正負(fù)性,2. 量子性,3. 守恒性,在一個孤立系統(tǒng)中總電荷量不變,4. 點電荷,帶電體的大小、形狀可以忽略,把帶電體視為一個帶電的幾何點,一種理想模型,7.1.2. 庫侖定律,在真空中兩個靜止點電荷之間的靜電作用力與這兩個點電荷所帶電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，作

2、用力的方向沿著兩個點電荷的連線,電荷q1 對q2 的作用力f21,電荷q2對q1的作用力f12,真空中的介電常數(shù),1) 庫侖定律適用于真空中的點電荷,2) 庫侖力滿足牛頓第三定律,3) 電荷之間距離小于 時, 庫侖定律仍保持有效.至于 大距離方面,雖然未作過實驗驗證,但也并沒有特殊的理由 預(yù)料在大距離情況下庫侖定律將失效,討論,氫原子中電子和質(zhì)子的距離為,解,例,此兩粒子間的電力和萬有引力,求,兩粒子間的靜電力大小為,兩粒子間的萬有引力為,7.2 電場 電場強度e,7.2.1. 電場,場的概念,超距作用,電場的特點,1) 對位于其中的帶電體有力的作用,2) 帶電體在電場中運動, 電場力要作功,

3、7.2.2. 電場強度e,檢驗電荷,帶電量足夠小,質(zhì)點,在電場中,電荷,電荷,電荷,電荷,電場,電場中某點的電場強度的大小等于單位電荷在該點受力的大小，其方向為正電荷在該點受力的方向,7.2.3. 電場強度疊加原理,點電荷產(chǎn)生的場,定義,點電荷系,點電荷系在某點p產(chǎn)生的電場強度等于各點電荷單獨在該 點產(chǎn)生的電場強度的矢量和。這稱為電場強度疊加原理,連續(xù)分布帶電體,: 電荷線密度,:電荷面密度,:電荷體密度,p,p,r,求電偶極子在中垂線上一點產(chǎn)生的電場強度,例,解,p,它在空間一點 p 產(chǎn)生的電場強度。（p點到桿的垂直距離為 a,解,dq,由圖上的幾何關(guān)系,2,1,例,長為l的均勻帶電直桿，電

4、荷線密度為,求,無限長直導(dǎo)線,討論,圓環(huán)軸線上任一點p 的電場強度,r,p,解,dq,r,例,半徑為r 的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，帶電量為q,求,由于圓環(huán)上電荷分布關(guān)于x 軸對稱,1) 當(dāng) x = 0（即p點在圓環(huán)中心處）時,2) 當(dāng) xr 時,可以把帶電圓環(huán)視為一個點電荷,討論,求面密度為的圓板軸線上任一點的電場強度,解,p,r,例,r,桿對圓環(huán)的作用力,q,l,解,r,例,已知圓環(huán)帶電量為q ，桿的線密度為 ，長為l,求,例,解,相對于o點的力矩,1,力偶矩最大,力偶矩為零,電偶極子處于穩(wěn)定平衡,2,3,力偶矩為零,電偶極子處于非穩(wěn)定平衡,求電偶極子在均勻電場中受到的力偶矩,討論,7.3.1.電場

5、線（電力線,反映電場強度的分布,任何兩條電場線不會在沒有電荷的地方相交,起始于正電荷（或無窮遠(yuǎn)處），終止于負(fù)電荷（或無窮遠(yuǎn)處,7.3 電通量 高斯定理,電場線的特點,場強方向沿電場線切線方向,場強大小取決于電場線的疏密,靜電場的電場線不會形成閉合曲線,dn,7.3.2.電通量,穿過任意曲面的電場線條數(shù)稱為電通量,1.均勻場中ds 面元的電通量,矢量面元,2.非均勻場中曲面的電通量,2) 電通量是代數(shù)量,穿出為正,穿入為負(fù),3. 閉合曲面電通量,方向的規(guī)定,1,穿出、穿入閉合面電力線條數(shù)之差,3) 通過閉合曲面的電通量,說明,7.3.3.高斯定理,q 在任意閉合面內(nèi),e 與曲面的形狀和 q 的位

6、置無關(guān)的，只與閉合曲面包圍的電荷電量 q 有關(guān),1. 點電荷 q,穿過球面的電力線條數(shù)為 q/ 0,穿過閉合面的電力線條數(shù)仍為 q/ 0,q 在球心處,球面電通量為,電通量為,q,q 在閉合面外,2. 多個電荷,穿出、穿入的電力線條數(shù)相等,任意閉合面電通量為,反映靜電場的性質(zhì),真空中的任何靜電場中，穿過任一閉合曲面的電通量，等于該曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)和乘以,不連續(xù)分布的源電荷,連續(xù)分布的源電荷,有源場,電荷就是它的源,意義,是所有電荷產(chǎn)生的; e 只與內(nèi)部電荷有關(guān),3. 高斯定理,與電荷量，電荷的分布有關(guān),與閉合面內(nèi)的電量有關(guān),與電荷的分布無關(guān),2,3,凈電荷,就是電荷的代數(shù)和,4) 利

7、用高斯定理求解特殊電荷分布電場的思路,1) 靜電場的高斯定理適用于一切靜電場,說明,分析電荷對稱性,根據(jù)對稱性取高斯面,根據(jù)高斯定理求電場強度,均勻帶電球面，總電量為q，半徑為r,電場強度分布,q,r,解,取過場點p的同心球面為高斯面,對球面外一點p,r,根據(jù)高斯定理,例,求,對球面內(nèi)一點,電場分布曲線,例,已知球體半徑為r，帶電量為q（電荷體密度為,r,解,球外,r,均勻帶電球體的電場強度分布,求,球內(nèi),r,r,電場分布曲線,r,解,電場強度分布具有面對稱性,選取一個圓柱形高斯面,已知“無限大”均勻帶電平面上電荷面密度為,電場強度分布,求,例,根據(jù)高斯定理有,已知“無限長”均勻帶電直線的電荷

8、線密度為,解,電場分布具有軸對稱性,過p點作高斯面,例,距直線r 處一點p 的電場強度,求,根據(jù)高斯定理得,7.4 靜電場的環(huán)路定理 電勢能,單個點電荷產(chǎn)生的電場,b,a,l,與路徑無關(guān),o,7.4.1.靜電力的功 靜電場的環(huán)路定理,1.靜電力的功,q0,電場力做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)，所以靜電力是保守力，靜電場是保守場,任意帶電體系產(chǎn)生的電場,在電荷系q1、q2、的電場中，移動q0，靜電力所作功為,a,b,l,q0,q0,結(jié)論,在靜電場中，沿閉合路徑移動q0，電場力作功,l1,l2,2. 靜電場的環(huán)路定理,a,b,1) 環(huán)路定理要求電力線不能閉合,2) 靜電場是有源、無旋場，可引進電

9、勢能,討論,7.4.2. 電勢能,電勢能的差,自 a 點移至 b 點過程 中電場力所做的功,定義,q0 在電場中a、b 兩點 電勢能之差,電勢能,取電勢能零點 w“b” = 0,等于把 q0,q0 在電場中某點 a 的電勢能,1) 電勢能應(yīng)屬于 q0 和產(chǎn)生電場的源電荷系統(tǒng)所共有,3) 選電勢能零點原則,2) 電荷在某點電勢能的值與電勢能零點有關(guān),而兩點的差值與電勢能零點無關(guān),實際應(yīng)用中取大地、儀器外殼等為勢能零點,當(dāng)(源)電荷分布在有限范圍內(nèi)時，一般選無窮遠(yuǎn)處,無限大帶電體，勢能零點一般選在有限遠(yuǎn)處一點,說明,如圖所示, 在帶電量為 q 的點電荷所產(chǎn)生的靜電場中，有一帶電量為q 的點電荷,解

10、,選無窮遠(yuǎn)為電勢能零點,q 在a 點和 b 點的電勢能,求,例,選 c 點為電勢能零點,兩點間的電勢能差為,7.5 電勢 電勢差,電勢定義,電勢差,移動單位正電荷自該點“勢能零點”過程中電場力作的功,移動單位正電荷自 ab過程中電場力作的功,7.5.1. 電勢 電勢差,a,r,q,點電荷的電勢,點電荷系的電勢,p,7.5.2. 電勢疊加原理,對n 個點電荷,在點電荷系產(chǎn)生的電場中，某點的電勢是各個點電荷單獨存 在時，在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。這稱為電勢疊加原理,對連續(xù)分布的帶電體,結(jié)論,均勻帶電圓環(huán)半徑為r，電荷線密度為,解,建立如圖坐標(biāo)系，選取電荷元 dq,例,圓環(huán)軸線上一點的電勢,求,半徑

11、為r，帶電量為q 的均勻帶電球體,解,根據(jù)高斯定律可得,求,帶電球體的電勢分布,例,對球外一點p,對球內(nèi)一點p1,求電荷線密度為的無限長帶電直線空間中的電勢分布,解,取無窮遠(yuǎn)為勢能零點,例,取a點為電勢零點,a點距離直線為xa,場中任意一點p的電勢表達式最簡捷,離帶電直線的距離,xp,取,7.6 等勢面 *電勢與電場強度的微分關(guān)系,7.6.1. 等勢面,電場中電勢相等的點連成的面稱為等勢面,等勢面的性質(zhì),1,2)電力線指向電勢降的方向,3) 等勢面的疏密反映了電場強度的大小,等勢面,7.6.2. 電勢與電場強度的關(guān)系,取兩個相鄰的等勢面，把點電荷從p移到q，電場力做功為,電場強度的大小等于沿過

12、該點等勢面法線方向上電勢的變化率,某點的電場強度等于該點電勢梯度的負(fù)值，這就是電勢與電場強度的微分關(guān)系,在直角坐標(biāo)系中,r,求半徑為r,帶電量為q(電荷無規(guī)則分布)的細(xì)圓環(huán)軸線上任,意一點的電勢和電場強度按軸線的分量,x,例,解,7.7 靜電場中的導(dǎo)體 電容,7.7.1. 導(dǎo)體的靜電平衡,1. 靜電平衡,導(dǎo)體內(nèi)部和表面上任何一部分都沒有宏觀電荷運動，我們就說導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài),2. 導(dǎo)體靜電平衡的條件,導(dǎo)體表面,1) 從電場角度,2) 從電勢角度,導(dǎo)體是等勢體,表面是等勢面,導(dǎo)體的靜電平衡,1) 靜電平衡導(dǎo)體的內(nèi)部處處不帶電,證明：在導(dǎo)體內(nèi)任取體積元,由高斯定理,體積元任取,導(dǎo)體靜電平衡時，

13、電荷只能分布在導(dǎo)體表面,3. 靜電平衡導(dǎo)體上電荷的分布,導(dǎo)體中各處,如果有空腔,且空腔中無電荷,則,如果有空腔,且空腔中有電荷,則,電荷只能分布在外表面,在內(nèi)外表面都分布有電荷,q,導(dǎo)體上的電荷重新分布,2) 靜電平衡導(dǎo)體表面附近的電場強度與導(dǎo)體表面電荷的關(guān)系,設(shè)導(dǎo)體表面電荷面密度為,設(shè) p 是導(dǎo)體外緊靠導(dǎo)體表面的一點,相應(yīng)的電場強度為,確定電場強度e 和電荷密度 的關(guān)系,為導(dǎo)體表面附近的場強，是所有電荷產(chǎn)生的合場強,為導(dǎo)體外法線方向,尖端放電,導(dǎo)體球 孤立帶電,4) 靜電屏蔽(腔內(nèi)、腔外的場互不影響,由實驗可得以下定性的結(jié)論,在表面凸出的尖銳部分(曲率是正值且較大)電荷面密度較大，在比較平坦

14、部分(曲率較小)電荷面密度較小，在表面凹進部分帶電面密度最小,3) 處于靜電平衡的孤立帶電導(dǎo)體電荷分布,已知導(dǎo)體球殼a帶電量為q ，導(dǎo)體球b帶電量為q,1) 將a接地后再斷開，電荷和電勢的分布,解,a與地斷開后,q,電荷守恒,2) 再將b接地，電荷和電勢的分布,a接地時，內(nèi)表面電荷為-q,外表面電荷設(shè)為,例,求,1,b球球心處的電勢,設(shè)b上的電量為,根據(jù)孤立導(dǎo)體電荷守恒,2,電容只與導(dǎo)體的幾何因素和介 質(zhì)有關(guān)，與導(dǎo)體是否帶電無關(guān),7.7.2.孤立導(dǎo)體的電容,單位:法拉( f,孤立導(dǎo)體的電勢,孤立導(dǎo)體的電容,q,u,e,求半徑為r 的孤立導(dǎo)體球的電容,電勢為,電容為,r,通常，由彼此絕緣相距很近的兩導(dǎo)體構(gòu)成電容器,極板,極板,使兩導(dǎo)體極板帶電,兩導(dǎo)體極板的電勢差,7.7.3. 電容器的電容,電容器的電容,電容器電容的大小取決于極板的形狀、大小、相對位置以及極板間介質(zhì),d,u,s,q,q,1) 平行板