假設檢驗《統(tǒng)計學原理》課件

1、假 設 檢 驗,假設檢驗在統(tǒng)計方法中的地位,參數估計和假設檢驗,參數估計和假設檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個組成部分，都是利用樣本對總體進行某種推斷，但推斷的角度不同。參數估計討論的是用樣本統(tǒng)計量估計總體參數的方法。假設檢驗討論的是用樣本信息去檢驗對總體參數的某種假設是否成立的程序和方法,一、 假設檢驗的一般問題,1、什么是假設檢驗 2、假設檢驗的基本思想 3、雙側檢驗和單側檢驗 4、假設檢驗中的拒絕域和接受域 5、假設檢驗的兩類錯誤 6、假設檢驗的步驟,1、什么是假設檢驗,假設檢驗是推論統(tǒng)計的重要內容，是先對總體的未知數量特征作出某種假設，然后抽取樣本，利用樣本信息對假設的正確性進行判斷的過程,統(tǒng)計假

2、設有參數假設、總體分布假設、相互關系假設（兩個變量是否獨立，兩個分布是否相同）等。 參數假設是對總體參數的一種看法?？傮w參數包括總體均值、總體比例、總體方差等。分析之前必需陳述,我認為該企業(yè)生產的零件的平均長度為4厘米,參數假設檢驗,參數假設檢驗是通過樣本信息對關于總體參數的某種假設合理與否進行檢驗的過程。即先對未知的總體參數的取值提出某種假設，然后抽取樣本，利用樣本信息去檢驗這個假設是否成立。如果成立就接受這個假設，如果不成立就放棄這個假設。 下面主要討論參數假設檢驗的問題。 舉例如下,參數假設檢驗舉例,例1：根據1989年的統(tǒng)計資料，某地女性新生兒的平均體重為3190克。為判斷該地1990

3、年的女性新生兒體重與1989年相比有無顯著差異，從該地1990年的女性新生兒中隨機抽取30人，測得其平均體重為3210克。從樣本數據看，1990年女新生兒體重比1989年略高，但這種差異可能是由于抽樣的隨機性帶來的，也許這兩年新生兒的體重并沒有顯著差異。究竟是否存在顯著差異？可以先假設這兩年新生兒的體重沒有顯著差異，然后利用樣本信息檢驗這個假設能否成立。這是一個關于總體均值的假設檢驗問題,參數假設檢驗舉例,例2：某公司進口一批鋼筋，根據要求，鋼筋的平均拉力強度不能低于2000克，而供貨商強調其產品的平均拉力強度已達到了這一要求，這時需要進口商對供貨商的說法是否真實作出判斷。進口商可以先假設該批

4、鋼筋的平均拉力強度不低于2000克，然后用樣本的平均拉力強度來檢驗假設是否正確。這也是一個關于總體均值的假設檢驗問題,參數假設檢驗舉例,例3：某種大量生產的袋裝食品，按規(guī)定每袋重量不得少于250克，現從一批該種食品中任意抽取50袋，發(fā)現有6袋重量低于250克。若規(guī)定食品不符合標準的比例達到5就不得出廠，問該批食品能否出廠?？梢韵燃僭O該批食品的不合格率不超過5，然后用樣本不合格率來檢驗假設是否正確。這是一個關于總體比例的假設檢驗問題,2、假設檢驗的基本思想,假設檢驗所依據的基本原理是小概率原理。 什么是小概率？ 概率是01之間的一個數，因此小概率就是接近0的一個數 著名的英國統(tǒng)計家ronald

5、fisher 把20分之1作為標準，也就是0.05，從此0.05或比0.05小的概率都被認為是小概率 fisher沒有任何深奧的理由解釋他為什么選擇0.05，只是說他忽然想起來的,什么是小概率原理,小概率原理發(fā)生概率很小的隨機事件（小概率事件）在一次實驗中幾乎是不可能發(fā)生的。 根據這一原理，可以先假設總體參數的某項取值為真，也就是假設其發(fā)生的可能性很大，然后抽取一個樣本進行觀察，如果樣本信息顯示出現了與事先假設相反的結果且與原假設差別很大，則說明原來假定的小概率事件在一次實驗中發(fā)生了，這是一個違背小概率原理的不合理現象，因此有理由懷疑和拒絕原假設；否則不能拒絕原假設。 檢驗中使用的小概率是檢驗

6、前人為指定的,小概率原理舉例,某工廠質檢部門規(guī)定該廠產品次品率不超過4方能出廠。今從1000件產品中抽出10件，經檢驗有4件次品，問這批產品是否能出廠? 如果假設這批產品的次品率p4，則可計算事件“抽10件產品有4件次品”的出現概率為： 可見，概率是相當小的，1萬次實驗中可能出現4次，然而概率如此小的事件，在一次實驗中居然發(fā)生了，這是不合理的，而不合理的根源在于假設次品率p4 ，因而認為假設次品率p4是不能成立的，故按質檢部門的規(guī)定，這批產品不能出廠,假設檢驗的基本思想,因此我們拒絕假設 = 50,樣本均值,50,抽樣分布,h0,假設檢驗的兩個特點,第一，假設檢驗采用邏輯上的反證法，即為了檢驗

7、一個假設是否成立，首先假設它是真的，然后對樣本進行觀察，如果發(fā)現出現了不合理現象，則可以認為假設是不合理的，拒絕假設。否則可以認為假設是合理的，接受假設,第二，假設檢驗采用的反證法帶有概率性質。所謂假設的不合理不是絕對的，而是基于實踐中廣泛采用的小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原則。至于事件的概率小到什么程度才算是小概率事件，并沒有統(tǒng)一的界定標準，而是必須根據具體問題而定。如果一旦判斷失誤，錯誤地拒絕原假設會造成巨大損失，那么拒絕原假設的概率就應定的小一些；如果一旦判斷失誤，錯誤地接受原假設會造成巨大損失，那么拒絕原假設的概率就應定的大一些。 小概率通常用表示，又稱為檢驗的顯著性水平。通常取0.05

8、或0.01，即把概率不超過0.05或0.01的事件當作小概率事件,原假設和備擇假設,假設檢驗中，我們稱作為檢驗對象的待檢驗假設為原假設或零假設，用h0表示。原假設的對立假設稱為備擇假設或備選假設，用h1表示。 例如，設 為總體均值 的某一確定值。 （1）對于總體均值是否等于某一確定值的原假設可以表示為： h0： （如h0： 3190克） 其對應的備擇假設則表示為： h1： （如h1： 3190克,原假設和備擇假設,2）對于總體均值x是否大于某一確定值x0 的原假設可以表示為： h0：xx0 （如h0：x2000克） 其對應的備擇假設則表示為： h1：xx0 （如h1： x 2000克) （3）

9、對于總體均值x是否小于某一確定值x0的原假設可以表示為： h0：xx0 （如h0：x 5） 其對應的備擇假設則表示為： h1：xx0 （如h1：x5） 注意：原假設總是有等號： 或 或,3、雙側檢驗和單側檢驗,根據假設的形式不同，假設檢驗可以分為雙側假設檢驗和單側假設檢驗。 若原假設是總體參數等于某一數值，如h0： x x0 ，即備擇假設h1： x x 0，那么只要x x 0和x x 0 二者中有一個成立，就可以否定原假設。這種假設檢驗稱為雙側檢驗。 若原假設是總體參數大于等于或小于等于某一數值，如h0： x x 0 （即h1：xx0）；或h0 ：xx0 （即h1：xx0），那么對于前者當xx

10、0時，對于后者當xx0 時，可以否定原假設。這種假設檢驗稱為單側檢驗?？梢苑譃樽髠葯z驗和右側檢驗,雙側檢驗與單側檢驗 (假設的形式,4、假設檢驗中的拒絕域和接受域,在規(guī)定了檢驗的顯著性水平后，根據容量為n的樣本，按照統(tǒng)計量的理論概率分布規(guī)律，可以確定據以判斷拒絕和接受原假設的檢驗統(tǒng)計量的臨界值。 臨界值將統(tǒng)計量的所有可能取值區(qū)間分為兩個互不相交的部分，即原假設的拒絕域和接受域。 對于正態(tài)總體，總體均值的假設檢驗可有如下圖示,正態(tài)總體，總體均值假設檢驗圖示：（1） 雙側檢驗,設h0：xx0 ， h1：xx0，有兩個臨界值，兩個拒絕域，每個拒絕域的面積為/2。也稱雙尾檢驗,雙側檢驗示意圖,x0,雙

11、側檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域,雙側檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域,觀察到的樣本統(tǒng)計量,雙側檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域,觀察到的樣本統(tǒng)計量,雙側檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域,觀察到的樣本統(tǒng)計量,2）單側檢驗有一個臨界值，一個拒絕域，拒絕域的面積為。分為左側檢驗和右側檢驗兩種情況。 單側檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域,左側檢驗,設h0：xx0 ，h1：xx0；臨界值和拒絕域均在左側。也稱下限檢驗,x0,左側檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域,左側檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域,觀察到的樣本統(tǒng)計量,右側檢驗,設h0 ：xx0 ，h1：xx0； 臨界值和拒絕域均在右側。也稱上限檢驗,x0,右側檢

12、驗示意圖（顯著性水平與拒絕域,右側檢驗示意圖（顯著性水平與拒絕域,觀察到的樣本統(tǒng)計量,5、假設檢驗的兩類錯誤,根據假設檢驗做出判斷無非下述四種情況： 1、原假設真實， 并接受原假設，判斷正確； 2、原假設不真實，且拒絕原假設，判斷正確； 3、原假設真實， 但拒絕原假設，判斷錯誤； 4、原假設不真實，卻接受原假設，判斷錯誤。 假設檢驗是依據樣本提供的信息進行判斷，有犯錯誤的可能。所犯錯誤有兩種類型： 第一類錯誤是原假設h0為真時，檢驗結果把它當成不真而拒絕了。犯這種錯誤的概率用表示，也稱作錯誤(error)或棄真錯誤。 第二類錯誤是原假設h0不為真時，檢驗結果把它當成真而接受了。犯這種錯誤的概率

13、用表示，也稱作錯誤(error)或取偽錯誤,假設檢驗的兩類錯誤正確決策和犯錯誤的概率可以歸納為下表,假設檢驗中各種可能結果的概率,假設檢驗兩類錯誤關系的圖示以單側上限檢驗為例，設h0 ：xx0 ，h1：xx0,從上圖可以看出，如果臨界值沿水平方向右移，將變小而變大，即若減小錯誤，就會增大犯錯誤的機會；如果臨界值沿水平方向左移，將變大而變小，即若減小錯誤，也會增大犯錯誤的機會,圖(a) xx0 h0為真 圖(b) xx1x0 h0為偽,錯誤和 錯誤的關系,在樣本容量n一定的情況下，假設檢驗不能同時做到犯和兩類錯誤的概率都很小。若減小錯誤，就會增大犯錯誤的機會；若減小錯誤，也會增大犯錯誤的機會。要

14、使和同時變小只有增大樣本容量。但樣本容量增加要受人力、經費、時間等很多因素的限制，無限制增加樣本容量就會使抽樣調查失去意義。因此假設檢驗需要慎重考慮對兩類錯誤進行控制的問題,兩類錯誤的控制準則,假設檢驗中人們普遍執(zhí)行同一準則：首先控制棄真錯誤（錯誤）。假設檢驗的基本法則以為顯著性水平就體現了這一原則。 兩個理由: 統(tǒng)計推斷中大家都遵循統(tǒng)一的準則，討論問題會比較方便。 更重要的是: 原假設常常是明確的，而備擇假設往往是模糊的。如h0：xx0很清楚， 而h1：xx0則不太清楚，是xx0還是xx0 ？大多少小多少都不清楚。對含義清晰的數量標準進行檢驗更容易被接受。 因此，第一類錯誤成為控制兩類錯誤的

15、重點,6、假設檢驗的步驟,根據研究需要提出原假設h0和備擇假設h1 確定適當的檢驗統(tǒng)計量 確定顯著性水平和臨界值及拒絕域 根據樣本數據計算檢驗統(tǒng)計量的值（或p值） 將檢驗統(tǒng)計量值與臨界值比較，作出拒絕或接受原假設的決策,假設檢驗的步驟根據研究需要提出原假設h0和備擇假設h1,應該注意： 對任一假設檢驗問題，其所有可能結果均應包括在所提出的兩個對立假設中，原假設與對立假設總有一個、也只能有一個成立。 原假設一定要有等號： 或 或。 原假設不是隨意提出的，應該本著“不輕易拒絕原假設”的原則,雙側檢驗原假設與備擇假設的確定,雙側檢驗屬于決策中的假設檢驗。即不論是拒絕h0還是接受h0，都必需采取相應的

16、行動措施。 例如，某種零件的尺寸，要求其平均長度為10厘米，大于或小于10厘米均屬于不合格。待檢驗問題是該企業(yè)生產的零件平均長度是10厘米嗎?(屬于決策中的假設)則建立的原假設與備擇假設應為 h0: x = 10 h1: x 10,單側檢驗原假設與備擇假設的確定,應區(qū)別不同情況采取不同的建立假設方法。 對于檢驗某項研究是否達到了預期效果 一般是將研究的預期效果（希望、想要證明的假設）作為備擇假設h1，將認為研究結果無效作為原假設h0。先確立備擇假設h1。因為只有當檢驗結果與原假設有明顯差別時才能拒絕原假設而接受備擇假設，原假設不會輕易被拒絕，就使得希望得到的結論不會輕易被接受，從而減少結論錯誤

17、。 例如，有研究預計，采用新技術生產后將會使某產品的使用壽命明顯延長到1500小時以上。則建立的原假設與備擇假設應為： h0: x 1500 h1: x 1500 例如，有研究預計，改進生產工藝后會使某產品的廢品率降低到2%以下。則建立的原假設與備擇假設應為： h0: x 2% h1: x 2,單側檢驗原假設與備擇假設的確定,對于檢驗某項聲明的有效性 一般可將所作的聲明作為原假設。將對該聲明的質疑作為備擇假設。先確立原假設h0。因為除非有證據表明“聲明”無效，否則就應認為該“聲明”是有效的。 例如，某燈泡制造商聲稱，該企業(yè)生產的燈泡平均使用壽命在1000小時以上。通常除非樣本能提供證據表明使用

18、壽命在1000小時以下，否則就應認為廠商的聲稱是正確的。建立的原假設與備擇假設應為： h0: x 1000 h1: x 1000,對于上述問題還可以結合不同背景建立假設。同樣的問題背景不同可以采用不同的原假設。 例如，一商店經常從某工廠購進某種商品，該商品質量指標為x，x值愈大商品質量愈好。商店提出的進貨條件是按批驗收，只有通過假設“xx0 ”檢驗的批次才能接受。有兩種可能情況,如果根據過去較長時間購貨記錄，商店相信該廠產品質量好，于是同意把原假設定為xx0 ，而且選擇較低的檢驗顯著性水平。這對工廠是有利的，使得達到質量標準的產品以很小的概率被拒收。雖然這會使商店面臨接受不合標準產品的風險，但

19、歷史記錄顯示出現這種情況的可能性很小，而且商店也可因此獲得較好的貨源。 如果過去一段時期的記錄表明，該廠產品質量并不理想，商店則會堅持以xx0為原假設，并選定較小的檢驗顯著性水平。這對商店是有利的，不會輕易地拒絕原假設，有 1的可能把劣質產品拒之門外,確定適當的檢驗統(tǒng)計量,假設檢驗根據檢驗內容和條件不同需要采用不同的檢驗統(tǒng)計量。 在一個正態(tài)總體的參數檢驗中，z統(tǒng)計量和t統(tǒng)計量常用于均值和比例的檢驗，2統(tǒng)計量用于方差的檢驗。選擇統(tǒng)計量需考慮的因素有被檢驗的參數類型、總體方差是否已知、用于檢驗的樣本量大小等,確定顯著性水平和臨界值及拒絕域,顯著性水平是當原假設為正確時被拒絕的概率，是由研究者事先確

20、定的。 顯著性水平的大小應根據研究需要的精確度和可靠性而定。通常取0.05或0.01，即接受原假設的決定是正確的可能性（概率）為95或99。 根據給定的顯著性水平，查表得出相應的臨界值，同時指定拒絕域,根據樣本數據計算檢驗統(tǒng)計量的值,例如，總體標準差已知時根據樣本均值計算統(tǒng)計量z的公式為 將檢驗統(tǒng)計量的值與臨界值比較，作出拒絕或接受原假設的決策 如果檢驗統(tǒng)計量的值落入拒絕域，則拒絕原假設，接受備擇假設；如果檢驗統(tǒng)計量的值落入接受域，則接受原假設，拒絕備擇假設,二、總體均值的假設檢驗,總體方差2已知時均值的檢驗,假定條件 總體服從正態(tài)分布 若總體不服從正態(tài)分布, 可用正態(tài)分布來近似(要求n30)

21、 使用z統(tǒng)計量,1.總體方差2 已知時均值的雙側檢驗 (舉例,例4】某機床廠加工一種零件，根據經驗知道，以前加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為x0=0.081mm，總體標準差為=0.025 。今換一種新機床進行加工，抽取n=200個零件進行檢驗，得到的橢圓度均值為0.076mm。試問新機床加工零件的橢圓度均值與以前有無顯著差異？（0.05,解：已知：x0=0.081mm，=0.025，n=200， 提出假設：假定橢圓度與以前無顯著差異 h0: x= 0.081 h1: x 0.081 =0.05雙側檢驗/2=0.025 查表得臨界值:z0.025=1.96,決策,z值落入拒絕域，在

22、=0.05的水平上拒絕h0,結論: 有證據表明新機床加工的零件的橢圓度與以前有顯著差異,得兩個拒絕域： (-,-1.96)和(1.96,) 計算檢驗統(tǒng)計量值,2.總體方差2 已知時均值的單側檢驗,總體方差2已知時均值的單側檢驗（左檢驗舉例,例5】某批發(fā)商欲從生產廠家購進一批燈泡，根據合同規(guī)定，燈泡的使用壽命平均不能低于1000小時。已知燈泡使用壽命服從正態(tài)分布，標準差為20小時。在總體中隨機抽取100只燈泡，測得樣本均值為960小時。批發(fā)商是否應該購買這批燈泡？ (0.05,解：已知：x0=1000小時，=20，n=100， 提出假設：假定使用壽命平均不低于1000小時 h0:x 1000 h

23、1: x 1000 = 0.05 左檢驗臨界值為負 得臨界值: -z0.05=-1.645,計算檢驗統(tǒng)計量值,z值落入拒絕域，在=0.05的顯著性水平上拒絕h0，接受h1,有證據表明這批燈泡的使用壽命低于1000小時,決策,結論,得拒絕域：(-,-1.645,總體方差2已知時均值的單側檢驗（右檢驗舉例,例6】根據過去大量資料，某廠生產的燈泡的使用壽命服從正態(tài)分布n(1020，1002)?，F從最近生產的一批產品中隨機抽取16只，測得樣本平均壽命為1080小時。試在0.05的顯著性水平下判斷這批產品的使用壽命是否有顯著提高？(0.05,解：已知：0=1020小時，=100，n=16， 提出假設：假

24、定使用壽命沒有顯著提高 h0: x1020 h1: x 1020 = 0.05 右檢驗臨界值為正 得臨界值:z0.05=1.645,計算檢驗統(tǒng)計量值,z值落入拒絕域，在=0.05的顯著性水平上拒絕h0，接受h1,有證據表明這批燈泡的使用壽命有顯著提高,決策,結論,得拒絕域：(1.645,總體方差2未知時均值的檢驗,假定條件：總體為正態(tài)分布 2未知時檢驗所依賴信息有所減少，樣本統(tǒng)計量服從t分布，與正態(tài)分布相比在概率相同條件下t分布臨界點距中心的距離更遠，意味著推斷精度有所下降 使用t 統(tǒng)計量，其自由度為n-1，s為樣本標準差 n較小時t分布與z分布差異明顯，隨著n增大二者差異逐漸縮小，因此在大樣

25、本條件下2未知也可以用z統(tǒng)計量進行檢驗,1.總體方差2 未知時均值的雙側檢驗 (舉例,例7】某廠采用自動包裝機分裝產品，假定每包產品的重量服從正態(tài)分布，每包標準重量為1000克。某日隨機抽查9包，測得樣本平均重量為986克，樣本標準差為24克。試問在0.05的顯著性水平上，能否認為這天自動包裝機工作正常,解：已知：x0=1000克，s=24，n=9， 提出假設：假定每包產品的重量與標準重量無顯著差異 h0: x=1000 h1: x1000 =0.05雙側檢驗/2=0.025 df =9-1=8 得臨界值:t0.025(8)=2.306,計算檢驗統(tǒng)計量值,t值落入接受域，在=0.05的顯著性水

26、平上接受h0,有證據表明這天自動包裝機工作正常,決策,結論,得兩個拒絕域： (-,-2.306)和(2.306,2.總體方差2 未知時均值的單側檢驗 (舉例,例8】一個汽車輪胎制造商聲稱，某一等級的輪胎的平均壽命在一定的汽車重量和正常行駛條件下大于40000公里，對一個由20個輪胎組成的隨機樣本作了試驗，測得平均值為41000公里，標準差為5000公里。已知輪胎壽命的公里數服從正態(tài)分布，我們能否根據這些數據作出結論，該制造商的產品同他所說的標準相符？(=0.05,解：已知：x0=40000公里，s=5000，n=20， 提出假設：假定平均壽命不低于40000公里 h0: x 40000 h1:

27、 x 40000 =0.05 左檢驗臨界值為負 df=20-1=19 得臨界值: -t0.05(19)=-1.7291,計算檢驗統(tǒng)計量值,t值落入接受域，在=0.05的顯著性水平上接受h0,結論: 有證據表明輪胎使用壽命顯著地大于40000公里，可以認為該制造商的聲稱是可信的,決策,得拒絕域：(-,-1.7291,三、總體成數的假設檢驗,總體成數的檢驗,1. 假定條件 有兩類結果 總體服從二項分布 可用正態(tài)分布來近似（要求大樣本，np5，n(1-p)5） 2. 使用z統(tǒng)計量 p0為假設的總體成數。分母為樣本成數的抽樣標準差，一般采用p0計算，也有人認為可以用樣本成數p計算,總體成數的檢驗（雙側

28、檢驗舉例,例9】某研究者估計本市居民家庭的電腦擁有率為30%?，F隨機抽查了200個家庭，其中68個家庭擁有電腦。試問研究者的估計是否可信？ (=0.05,解：已知：p0=0.3，n=200， 提出假設：假定估計可信 h0: p0=0.3 h1: p00.3 =0.05雙側檢驗/2=0.025 得臨界值:z0.025=1.96,計算檢驗統(tǒng)計量值,z值落入接受域，在=0.05的水平上接受h0,有證據表明研究者的估計可信,決策,結論,得兩個拒絕域： (-,-1.96)和(1.96,總體成數的檢驗（單側檢驗舉例,例10】某公司估計有75%以上的消費者滿意其產品的質量。某調查公司受該公司委托調查此估計是

29、否屬實。現隨機抽查了625位消費者，其中表示對該公司產品滿意的有500人。試問該公司的估計是否屬實？ (=0.05,解：已知：p0=0.75，n=625， 提出假設：假定滿意者不超過75 h0: p0.75 h1: p0.75 =0.05 右檢驗臨界值為正 得臨界值:z0.05=1.645,計算檢驗統(tǒng)計量值,z值落入拒絕域，在=0.05的水平上拒絕h0，接受h1,有證據表明該公司的估計屬實,決策,結論,得拒絕域：(1.645,關于單側檢驗如何建立假設,單側檢驗應區(qū)別不同情況采取不同的建立假設方法。 可以把希望(想要)證明的假設作為備擇假設，將相反情況作為原假設。由于原假設不容易被拒絕，因此只有檢驗結果與原假設有明顯差別時才能拒絕原假設而接受備擇假設，這就使得希望得到的結論不是輕易被接受，從而減少結論錯誤,還可以考慮統(tǒng)計量取值的正負，使統(tǒng)計量(z)與臨界值(z)位于同一方向。當統(tǒng)計量值為負時，通常選xx0 為原假設，xx0為備擇假設，強調雖然統(tǒng)計量值小于x0，但不能