暑假專題-多邊形

1、暑假專題一一多邊形（一）知識(shí)整理1. 知識(shí)結(jié)構(gòu)三角形的三邊關(guān)系2. 主要知識(shí)內(nèi)容：通過本章的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)掌握以下知識(shí)內(nèi)容：（1）瓷磚的鋪設(shè)：1密鋪的特征：相鄰幾個(gè)多邊形中，在同一頂點(diǎn)的幾個(gè)角的和等于3602常見的地磚形狀：三角形、四邊形和正六邊形（2 ）三角形：1三角形的分類 三角形按邊分類：不等邊三角形三角形仁腰和底不相等的等腰三角形等腰三角形2等邊三角形 三角形按角分類：”銳角三角形三角形（直角三角形鈍角三角形銳角三角形斜三角形三角形$、鈍角三角形或直角三角形注意：等邊三角形是特殊的等腰三角形，切記不能將三角形按邊分成不等邊三角形、等腰三角形和等 邊三角形三類。2三角形各角之間的關(guān)系： 三

2、角形的內(nèi)角和等于180 三角形的外角和等于 360 （每個(gè)頂點(diǎn)處只取一個(gè)外角） 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角3三角形的三邊關(guān)系： 三角形的任何兩邊的和大于第三邊 判斷三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形時(shí)，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊，其簡(jiǎn)便 方法是看兩條較短線段的和是否大于第三條最長(zhǎng)的線段。（3）多邊形的內(nèi)角和與外角和n邊形的內(nèi)角和等于（n- 2） 180，n邊形的外角和等于 360 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 （n -2） 180，每個(gè)外角都等于 360nn n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（n - 3）條對(duì)角線，n邊形共有 垃 可條

3、對(duì)角線2（4）用正多邊形拼地板： 正多邊形拼地板的必要條件：圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角。 一種正多邊形能密鋪平面的只有：正三角形、正方形和正六邊形 兩種或兩種以上正多邊形組合密鋪平面的設(shè)計(jì)?！纠}分析】例 1.（ 1）如圖（a），求證：/BDC=NA+NB+NC（2）如圖（b），若 NBGC =130。，求 NA +NB +NC 中藝D +NE +NF的度數(shù)。FC分析：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和，這里是求證一個(gè)角等于三個(gè)角的 和，這就啟示我們要將此圖化為三角形進(jìn)行研究。解：（1）法一：如圖1,延長(zhǎng)BD交AC于E圖1BDCDEC CDE

4、CABBDCAB C法二：如圖2，連結(jié)AD并延長(zhǎng)至E則 BDE B BAECDE =/C CAEBDE CDE = B C BAE CAE 即 BDC =/B C BAC法三：如圖3，連結(jié)BCAABC ACB = D DBC DCB = 180即 A ABD DBC ACD DCB D DBCDCBD = A ABD ACD(2)BGC A B CEGF D E FA B C D E F二/BGCEGF=2 BGC =2 130-260Ah，角平分線BE、CF相交于O,如圖所示,BOCA.190B.190 -22心1C.180D.180 -2例2.（遼寧省03年中考）已知 ABC中, 的度數(shù)應(yīng)

5、為（）A分析：.BOC與已知角.A不在一個(gè)三角形中, 定理，通過.OBC與.OCB建立它們之間的聯(lián)系。要建立.BOC和.A的聯(lián)系，需應(yīng)用三角形內(nèi)角和解：；BE, CF分別是角平分線1 1OBC ABC， OCB ACB 221BOC =180( ABC ACB)ABC ACB =180A1 BOC =180 -尹80 -. A)1= 180 -90 A21 =90 A21 =902（拓展延伸）（1） 本題是近幾年全國(guó)各省市中考題的熱點(diǎn)之一，陜西省、山西省、遼寧省幾省市近三年的中考題都 考了本題的特例。（2）如圖，角平分線 AD BE、CF交于0,類似的有1AOC = 90 ABC21AOB 二

6、 90 ACB2A（3）由上述結(jié)果，11.EOC =180 -. BOC =180 -（90 BAC） = 90 BAC2 21故乙EOC與 ZBAC互余，圖中還有其它互余的角嗎？2例3.（山東省03年中考題）已知一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為x, 2x -1 , 5x-3，其周長(zhǎng)為 分析：從等腰三角形的兩腰相等入手，根據(jù)題意，設(shè)其中兩邊為腰，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)而可求各邊長(zhǎng)，同時(shí)應(yīng)考慮到應(yīng)分三種情況討論。解：（1）若x = 2x - 1，則x = 1，三邊分別為1，1，22 112（2 ）若2x -53 -，則x二一，三邊長(zhǎng)分別為，3 3333 3 13（3 ）若x = 5x - 3，則x，三

7、邊長(zhǎng)分別為，一，一4 4 2 4 （ 1）（ 2）兩種情況不符三邊關(guān)系定理，故舍去3 13其周長(zhǎng)為24 24易錯(cuò)分析：解本題除注意分類討論外，還應(yīng)注意到等腰三角形三邊也應(yīng)滿足三角形三邊關(guān)系這一隱含 條件。例4.如果多邊形的邊數(shù)增加 1，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加多少度？將n邊形的邊數(shù)增加1倍，則它的內(nèi)角和增加多少度？上述兩種情況下外角和怎樣變化？解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 n，當(dāng)邊數(shù)增加1后，多邊形的邊數(shù)變?yōu)椋╪ +1），則兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之 差為（n1）-2 180 （n -2） 180 =180當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1倍時(shí)，邊數(shù)變化為2n，則此時(shí)兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之差為（2n 2） 180 （

8、n 2） 180 =n 180上述兩種變化情況下，多邊形的外角和保持不變，都是360例5. （ 1）已知如圖（a），在也ABC中，N CaNBA D丄BC于D，AE平分N BAC，則N EAD與B， C有何數(shù)量關(guān)系?（a）（2）如圖（b）, AE平分N BAC , F為其上一點(diǎn)，且 FDB C于D,這時(shí)N EFD與三B、藝C又有何數(shù)量關(guān)系？(b)（3）如圖（c），AE平分.BAC，F(xiàn)為AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)DB C于D，這時(shí).AFD與.B、 C又有何數(shù)量關(guān)系?分析：在（1）問中，要找出 EAD與B C的數(shù)量關(guān)系，可考慮利用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)注意靈活運(yùn)用圖中隱含的角與角

9、的和差關(guān)系，在解決第（2）、（3）問時(shí)，應(yīng)注意把它轉(zhuǎn)化為第（1 ）問的情形，運(yùn)用第（1）問的結(jié)論，過點(diǎn) A作AG_2C，則有.EFD EAG解：（1） AD_BCADC = 90CAD =180 - CA DCCAD =180/C -909二 0 - CAE平分 BAC1EAC BAC2.BAC =180 B - . C111.EAC (180-ZB-/C) =90B C22211/EAC -/CAD =90BC-(90 )2211=90BC - 90 C221c C - B)21即.EAD ( . C- . B)21(2)如圖(b)，過 A作 AGB C于 6,由(1)知 NEAG = (N

10、C ZB)2AG_BCAGC =90FD_BCFDG =90AGC =/FDG.FD /AG . EFD EAG/ 1 / /EFD ( C- /B)21(3)如圖(c),過點(diǎn) A 作 AGB C于 6由(1)知 NEAG =2(CB)AG_BCDF_BCAGB = /FDCAFD 二 EAGAGB =90FDC =90FD/AB1AFD ( C - B)2說明：在處理三角形中角的問題時(shí)，有時(shí)需要從整體出發(fā)進(jìn)行思考，有時(shí)也可以通過適當(dāng)添加輔助線 使未知問題轉(zhuǎn)化成已解決的問題，像本題這種類型的題目，既要看到圖形的變化，又要抓住變化中的內(nèi)在 聯(lián)系。例6.如圖，點(diǎn)A、0、B在同一直線上，點(diǎn) C、0、

11、D在同一直線上， ADO的平分線交 CBO的平分 線于點(diǎn)P(1 )若 A =50， C =40，求.P 的度數(shù);（2）試歸納.A、. C與.P之間的關(guān)系B分析：本題圖形較復(fù)雜，涉及的三角形較多,雖然.A與.C的度數(shù)是已知的，但 AOD和 COB的 形狀是可以改變的，因此圖中許多角的度數(shù)在變化，為什么 P是不變量呢？解：（1）在 BCF和 PDF中，有三P 三3 = C 在PBE和ADE中，有 P 2A 4 .2 P 23 =/AC 14BP平分 CBO，DP平分 ADOP = * A C)弓(50 40 ) = 45(2 )由(1 )知 A C與P之間的關(guān)系為 P=l(. A C)2【模擬試題

12、】（答題時(shí)間：60分鐘）1. 已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為 4和9,則第三邊的長(zhǎng)為 2. 兩個(gè)木棒的長(zhǎng)分別為 3cm和5cm，要選擇第三根木棒， 將它們釘成一個(gè)三角架，若第三根木棒長(zhǎng)為偶數(shù)，則第三根木棒長(zhǎng) cm。3. 已知a、b、c為三角形三邊的長(zhǎng)，且|a-b（3a-2bc ）2 = 0，則這個(gè)三角形的形狀為 4. 如圖，已知NA8 0，（ 1）若點(diǎn)O為兩角平分線的交點(diǎn)，貝U BOC=；（2）若點(diǎn)O為兩條高的交點(diǎn)，BOC=。A5.女口圖，在四邊形 ABCD 中1=2, 3=4,5=6,78 ,則NE +NF=6. 等腰三角形的周長(zhǎng)為 20cm, （1）若其中一邊長(zhǎng)為6cm,則腰長(zhǎng)為 ; （2）若

13、其中一邊長(zhǎng)為5cm,則腰長(zhǎng)為7. 過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有2m條對(duì)角線，m邊形沒有對(duì)角線，k邊形有k條對(duì)角線，則(n _km =28.如圖，ABC的面積等于12cm , D為AB的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，且 AE=2EC, O為DC與BE交點(diǎn)，若也DBO的面積為acm2, N CEO的面積為bcm2，則a-b=A9. 三角形中，最大角:的取值范圍是（）A. 0- - 90B. 60 ： ： : 180C. 60 豈：:：90D. 60 乞：18010. 一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為奇數(shù)，其中兩條邊長(zhǎng)分別為4和1997,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)是（）A. 3B. 4C. 5D. 611. 能鋪滿地面的正多邊形

14、組合是（）A.正三角形和正八邊形B.正五邊形和正十邊形C.正三角形和正十二邊形D.正六邊形和正八邊形12如圖，在厶ABC中，D是BC上一點(diǎn)，若 B= /C, 1 =/3，則 1與2的關(guān)系為（ ）A. 1 =22B. 12 =180C. Z1 - 3/2 =180D. 3/1/2 =180A13. 一個(gè)多邊形除去一個(gè)內(nèi)角之外，其余各內(nèi)角的和為2570，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（）A. 90 B. 105 C. 130 D. 12014如圖，已知在 ABC 中，.C=90 , B=34 ,1 = /2, AEB=104，問 AD 平分 BAC嗎？請(qǐng)說明理由。15.已知：如圖是不規(guī)則的六邊形地磚，在六邊形

15、 ABCDEF中，每個(gè)內(nèi)角為120 ，且AB=BC=3，AF=DE=2，求該六邊形地磚的周長(zhǎng)。16.如圖中的幾個(gè)圖形是五角星和它的變形（1 ）圖（1 ）中是一個(gè)五角星，求A：BC：D：E（2 ）圖（1）中點(diǎn)A向下移到BE上，五個(gè)角的和有無(wú)變化？（即 CAD B C D E）如圖（2）,說明你的結(jié)論的正確性。（3）把圖（2）中點(diǎn)C向上移動(dòng)到BD上，五個(gè)角的和（即.CAD . B . ACE . D E ）有 無(wú)變化？如圖（3），說明你的結(jié)論的正確性。【試題答案】一.1. 92. 4 或 63. 等邊三角形（提示： ab =03 a-2b-c = 0）4. （ 1）130（2）100 （點(diǎn)撥：此題

16、中，.BOC=/A . ABO . ACO）5. 180(點(diǎn)撥： E F 二(180 -. 2 - . 3)(1806 -. 7)=360 -( 2 3. 6. 7)1= 360( BAC ABC BCD ADC)1=3603602-180把.E與.F的和當(dāng)作一個(gè)整體去考慮）6. （ 1） 6cm 或 7cm（ 2） 7.5cm7. 12（點(diǎn)撥：m=3，有 n3 = 2m，即 n 3= 6* 9，又企尹5是(n - k) m =(9 -5)3 =12 )c28. 2cm11(a - b = SBDC - S .Bec = 2SABC - 3S ABC = 6 - 4 = 2 )239. D11. C10. B( 1994，1996，1998，2000 四種情況)12. D13. C14. AD 平分