暑假專題-多邊形

1、暑假專題一一多邊形（一）知識整理1. 知識結構三角形的三邊關系2. 主要知識內容：通過本章的學習，我們應掌握以下知識內容：（1）瓷磚的鋪設：1密鋪的特征：相鄰幾個多邊形中，在同一頂點的幾個角的和等于3602常見的地磚形狀：三角形、四邊形和正六邊形（2 ）三角形：1三角形的分類 三角形按邊分類：不等邊三角形三角形仁腰和底不相等的等腰三角形等腰三角形2等邊三角形 三角形按角分類：”銳角三角形三角形（直角三角形鈍角三角形銳角三角形斜三角形三角形$、鈍角三角形或直角三角形注意：等邊三角形是特殊的等腰三角形，切記不能將三角形按邊分成不等邊三角形、等腰三角形和等 邊三角形三類。2三角形各角之間的關系： 三

2、角形的內角和等于180 三角形的外角和等于 360 （每個頂點處只取一個外角） 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角3三角形的三邊關系： 三角形的任何兩邊的和大于第三邊 判斷三條線段能否構成一個三角形時，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊，其簡便 方法是看兩條較短線段的和是否大于第三條最長的線段。（3）多邊形的內角和與外角和n邊形的內角和等于（n- 2） 180，n邊形的外角和等于 360 正n邊形的每個內角都等于 （n -2） 180，每個外角都等于 360nn n邊形從一個頂點出發(fā)有（n - 3）條對角線，n邊形共有 垃 可條

3、對角線2（4）用正多邊形拼地板： 正多邊形拼地板的必要條件：圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角。 一種正多邊形能密鋪平面的只有：正三角形、正方形和正六邊形 兩種或兩種以上正多邊形組合密鋪平面的設計?！纠}分析】例 1.（ 1）如圖（a），求證：/BDC=NA+NB+NC（2）如圖（b），若 NBGC =130。，求 NA +NB +NC 中藝D +NE +NF的度數(shù)。FC分析：我們知道，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內角之和，這里是求證一個角等于三個角的 和，這就啟示我們要將此圖化為三角形進行研究。解：（1）法一：如圖1,延長BD交AC于E圖1BDCDEC CDE

4、CABBDCAB C法二：如圖2，連結AD并延長至E則 BDE B BAECDE =/C CAEBDE CDE = B C BAE CAE 即 BDC =/B C BAC法三：如圖3，連結BCAABC ACB = D DBC DCB = 180即 A ABD DBC ACD DCB D DBCDCBD = A ABD ACD(2)BGC A B CEGF D E FA B C D E F二/BGCEGF=2 BGC =2 130-260Ah，角平分線BE、CF相交于O,如圖所示,BOCA.190B.190 -22心1C.180D.180 -2例2.（遼寧省03年中考）已知 ABC中, 的度數(shù)應

5、為（）A分析：.BOC與已知角.A不在一個三角形中, 定理，通過.OBC與.OCB建立它們之間的聯(lián)系。要建立.BOC和.A的聯(lián)系，需應用三角形內角和解：；BE, CF分別是角平分線1 1OBC ABC， OCB ACB 221BOC =180( ABC ACB)ABC ACB =180A1 BOC =180 -尹80 -. A)1= 180 -90 A21 =90 A21 =902（拓展延伸）（1） 本題是近幾年全國各省市中考題的熱點之一，陜西省、山西省、遼寧省幾省市近三年的中考題都 考了本題的特例。（2）如圖，角平分線 AD BE、CF交于0,類似的有1AOC = 90 ABC21AOB 二

6、 90 ACB2A（3）由上述結果，11.EOC =180 -. BOC =180 -（90 BAC） = 90 BAC2 21故乙EOC與 ZBAC互余，圖中還有其它互余的角嗎？2例3.（山東省03年中考題）已知一個等腰三角形的三邊長分別為x, 2x -1 , 5x-3，其周長為 分析：從等腰三角形的兩腰相等入手，根據(jù)題意，設其中兩邊為腰，列出關于x的方程，進而可求各邊長，同時應考慮到應分三種情況討論。解：（1）若x = 2x - 1，則x = 1，三邊分別為1，1，22 112（2 ）若2x -53 -，則x二一，三邊長分別為，3 3333 3 13（3 ）若x = 5x - 3，則x，三

7、邊長分別為，一，一4 4 2 4 （ 1）（ 2）兩種情況不符三邊關系定理，故舍去3 13其周長為24 24易錯分析：解本題除注意分類討論外，還應注意到等腰三角形三邊也應滿足三角形三邊關系這一隱含 條件。例4.如果多邊形的邊數(shù)增加 1，那么這個多邊形的內角和增加多少度？將n邊形的邊數(shù)增加1倍，則它的內角和增加多少度？上述兩種情況下外角和怎樣變化？解：設這個多邊形的邊數(shù)為 n，當邊數(shù)增加1后，多邊形的邊數(shù)變?yōu)椋╪ +1），則兩個多邊形的內角和之 差為（n1）-2 180 （n -2） 180 =180當多邊形的邊數(shù)增加1倍時，邊數(shù)變化為2n，則此時兩個多邊形的內角和之差為（2n 2） 180 （

8、n 2） 180 =n 180上述兩種變化情況下，多邊形的外角和保持不變，都是360例5. （ 1）已知如圖（a），在也ABC中，N CaNBA D丄BC于D，AE平分N BAC，則N EAD與B， C有何數(shù)量關系?（a）（2）如圖（b）, AE平分N BAC , F為其上一點，且 FDB C于D,這時N EFD與三B、藝C又有何數(shù)量關系？(b)（3）如圖（c），AE平分.BAC，F(xiàn)為AE延長線上一點，F(xiàn)DB C于D，這時.AFD與.B、 C又有何數(shù)量關系?分析：在（1）問中，要找出 EAD與B C的數(shù)量關系，可考慮利用三角形內角和定理及三角形的外角性質轉化，同時應注意靈活運用圖中隱含的角與角

9、的和差關系，在解決第（2）、（3）問時，應注意把它轉化為第（1 ）問的情形，運用第（1）問的結論，過點 A作AG_2C，則有.EFD EAG解：（1） AD_BCADC = 90CAD =180 - CA DCCAD =180/C -909二 0 - CAE平分 BAC1EAC BAC2.BAC =180 B - . C111.EAC (180-ZB-/C) =90B C22211/EAC -/CAD =90BC-(90 )2211=90BC - 90 C221c C - B)21即.EAD ( . C- . B)21(2)如圖(b)，過 A作 AGB C于 6,由(1)知 NEAG = (N

10、C ZB)2AG_BCAGC =90FD_BCFDG =90AGC =/FDG.FD /AG . EFD EAG/ 1 / /EFD ( C- /B)21(3)如圖(c),過點 A 作 AGB C于 6由(1)知 NEAG =2(CB)AG_BCDF_BCAGB = /FDCAFD 二 EAGAGB =90FDC =90FD/AB1AFD ( C - B)2說明：在處理三角形中角的問題時，有時需要從整體出發(fā)進行思考，有時也可以通過適當添加輔助線 使未知問題轉化成已解決的問題，像本題這種類型的題目，既要看到圖形的變化，又要抓住變化中的內在 聯(lián)系。例6.如圖，點A、0、B在同一直線上，點 C、0、

11、D在同一直線上， ADO的平分線交 CBO的平分 線于點P(1 )若 A =50， C =40，求.P 的度數(shù);（2）試歸納.A、. C與.P之間的關系B分析：本題圖形較復雜，涉及的三角形較多,雖然.A與.C的度數(shù)是已知的，但 AOD和 COB的 形狀是可以改變的，因此圖中許多角的度數(shù)在變化，為什么 P是不變量呢？解：（1）在 BCF和 PDF中，有三P 三3 = C 在PBE和ADE中，有 P 2A 4 .2 P 23 =/AC 14BP平分 CBO，DP平分 ADOP = * A C)弓(50 40 ) = 45(2 )由(1 )知 A C與P之間的關系為 P=l(. A C)2【模擬試題

12、】（答題時間：60分鐘）1. 已知等腰三角形兩邊長分別為 4和9,則第三邊的長為 2. 兩個木棒的長分別為 3cm和5cm，要選擇第三根木棒， 將它們釘成一個三角架，若第三根木棒長為偶數(shù)，則第三根木棒長 cm。3. 已知a、b、c為三角形三邊的長，且|a-b（3a-2bc ）2 = 0，則這個三角形的形狀為 4. 如圖，已知NA8 0，（ 1）若點O為兩角平分線的交點，貝U BOC=；（2）若點O為兩條高的交點，BOC=。A5.女口圖，在四邊形 ABCD 中1=2, 3=4,5=6,78 ,則NE +NF=6. 等腰三角形的周長為 20cm, （1）若其中一邊長為6cm,則腰長為 ; （2）若

13、其中一邊長為5cm,則腰長為7. 過n邊形的一個頂點有2m條對角線，m邊形沒有對角線，k邊形有k條對角線，則(n _km =28.如圖，ABC的面積等于12cm , D為AB的中點，E是AC邊上一點，且 AE=2EC, O為DC與BE交點，若也DBO的面積為acm2, N CEO的面積為bcm2，則a-b=A9. 三角形中，最大角:的取值范圍是（）A. 0- - 90B. 60 ： ： : 180C. 60 豈：:：90D. 60 乞：18010. 一個三角形的周長為奇數(shù)，其中兩條邊長分別為4和1997,則滿足條件的三角形的個數(shù)是（）A. 3B. 4C. 5D. 611. 能鋪滿地面的正多邊形

14、組合是（）A.正三角形和正八邊形B.正五邊形和正十邊形C.正三角形和正十二邊形D.正六邊形和正八邊形12如圖，在厶ABC中，D是BC上一點，若 B= /C, 1 =/3，則 1與2的關系為（ ）A. 1 =22B. 12 =180C. Z1 - 3/2 =180D. 3/1/2 =180A13. 一個多邊形除去一個內角之外，其余各內角的和為2570，則這個內角的度數(shù)為（）A. 90 B. 105 C. 130 D. 12014如圖，已知在 ABC 中，.C=90 , B=34 ,1 = /2, AEB=104，問 AD 平分 BAC嗎？請說明理由。15.已知：如圖是不規(guī)則的六邊形地磚，在六邊形

15、 ABCDEF中，每個內角為120 ，且AB=BC=3，AF=DE=2，求該六邊形地磚的周長。16.如圖中的幾個圖形是五角星和它的變形（1 ）圖（1 ）中是一個五角星，求A：BC：D：E（2 ）圖（1）中點A向下移到BE上，五個角的和有無變化？（即 CAD B C D E）如圖（2）,說明你的結論的正確性。（3）把圖（2）中點C向上移動到BD上，五個角的和（即.CAD . B . ACE . D E ）有 無變化？如圖（3），說明你的結論的正確性?！驹囶}答案】一.1. 92. 4 或 63. 等邊三角形（提示： ab =03 a-2b-c = 0）4. （ 1）130（2）100 （點撥：此題

16、中，.BOC=/A . ABO . ACO）5. 180(點撥： E F 二(180 -. 2 - . 3)(1806 -. 7)=360 -( 2 3. 6. 7)1= 360( BAC ABC BCD ADC)1=3603602-180把.E與.F的和當作一個整體去考慮）6. （ 1） 6cm 或 7cm（ 2） 7.5cm7. 12（點撥：m=3，有 n3 = 2m，即 n 3= 6* 9，又企尹5是(n - k) m =(9 -5)3 =12 )c28. 2cm11(a - b = SBDC - S .Bec = 2SABC - 3S ABC = 6 - 4 = 2 )239. D11. C10. B( 1994，1996，1998，2000 四種情況)12. D13. C14. AD 平分