雪花曲線與分形云ppt課件

1、雪花曲線和分形云,英格蘭的海岸線到底有多長(zhǎng),美國(guó)數(shù)學(xué)家B， Mandelbrot曾出這樣一個(gè)著名的問(wèn)題：英格蘭的海岸線到底有多長(zhǎng)？這個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上可以理解為：用折線段擬合任意不規(guī)則的連續(xù)曲線是否一定有效？這個(gè)問(wèn)題的提出實(shí)際上是對(duì)以歐氏幾何為核心的傳統(tǒng)幾何的挑戰(zhàn)，此外，在湍流的研究、自然畫(huà)面的描述等方面，人們發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)幾何依然是無(wú)能為力的。人類認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的開(kāi)拓呼喚產(chǎn)生一種新的能夠更好地描述自然圖形的幾何學(xué)分形幾何學(xué),分形入門(mén),在一個(gè)充滿新奇的幾何學(xué)世界. ，我們碰到的將不再是歐幾里得幾何學(xué)的直線、圓、長(zhǎng)方體等簡(jiǎn)單規(guī)則的圖形，而是海岸線、云彩、花草樹(shù)木等復(fù)雜的自然形體，它們被稱為分形（fractal）

2、.這些形體，傳統(tǒng)的歐氏幾何圖形已無(wú)法對(duì)它們進(jìn)行恰當(dāng)?shù)哪M，遺憾地留下了一道道各學(xué)科的難題,分形幾何學(xué)另辟蹊徑，用新的觀念，從新的角度，為解決這些難題提出了新的思路和方法，在許多領(lǐng)域獲得了意想不到的成功. 分形成為當(dāng)代科學(xué)最有影響和感召力的基本概念之一，分形幾何學(xué)成為探索復(fù)雜性的有效工具,另一方面，使科學(xué)家們驚訝并歡迎的是，分形幾何為研究自然界中形形色色的復(fù)雜形狀和結(jié)構(gòu)提供了十分簡(jiǎn)潔的工具，因而在天文、地學(xué)、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、材料乃至語(yǔ)言學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域得到了十分廣泛的應(yīng)用。 從80年代中期開(kāi)始，分形“熱”了，成了科學(xué)界叫得最響的名詞，吸引了幾乎所有領(lǐng)域科學(xué)家和社會(huì)工作者的注意。有關(guān)分形出

3、版了上百部專著，在國(guó)際期刊上發(fā)表了幾千篇專業(yè)論文,20世紀(jì)有四項(xiàng)發(fā)明、發(fā)現(xiàn)足以影響后世：相對(duì)論、量子論、分形、混沌；其中，前兩項(xiàng)屬于物理，后兩項(xiàng)屬于數(shù)學(xué)。 美國(guó)物理學(xué)家約翰惠勒（J.A.Wheeler）說(shuō)：“在過(guò)去，一個(gè)人如果不懂得熵，就不能說(shuō)是科學(xué)上有教養(yǎng)；在將來(lái)，一個(gè)人如果不熟悉分形，他就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人。,分形藝術(shù)作品欣賞,數(shù)學(xué)家的模式，就像畫(huà)家與詩(shī)人的一樣，必須是 美的，數(shù)學(xué)概念同油彩或語(yǔ)言文字一樣，必須非常 協(xié)調(diào)。美是第一性的，丑陋的數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)上不會(huì)有 永久的位置。 G.H.哈代 下面請(qǐng)大家欣賞一組神奇美麗的分形圖 ，感悟 數(shù)學(xué)美,美麗的四季,春 夏,美麗的四季 （秋 ，冬

4、,雨季的丁香,傍晚,蝴蝶之樹(shù),炫目的分形藝術(shù)作品,復(fù)雜的大自然與歐氏幾何的局限性,人類生活的世界是一個(gè)極其復(fù)雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測(cè)的股市變化、復(fù)雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界豐富 多彩的現(xiàn)象。 傳統(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)的各門(mén)自然科學(xué)總是把研究對(duì)象想象成一個(gè)個(gè)規(guī)則的形體，而我們生活的世界竟如此不規(guī)則和支離破碎，與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復(fù)雜性。 分形幾何則提供了一種描述這種不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象中的秩序和結(jié)構(gòu)的新方法,分 形 世 界,分形是以無(wú)窮多的形狀呈現(xiàn)出來(lái)的美妙物體。歐內(nèi)斯托切薩羅（意大利科學(xué)家，18591906）寫(xiě)過(guò)這樣一段關(guān)于幾

5、何分形即科克雪花曲線的話,分形的本質(zhì),這個(gè)曲線最使我注意的地方是任何部分都與整體相似。要想盡可能完全地想像它，必須意識(shí)到這個(gè)結(jié)構(gòu)中的每一個(gè)小三角形包含著以一個(gè)適當(dāng)比例縮小的整體形狀。這個(gè)形狀包含每一小三角形的縮小形式，后者又包含縮得更小的整體形狀，如此下去以至無(wú)窮。就是這個(gè)在它所有無(wú)論怎樣小的部分都能保持的自相似性質(zhì)，使這曲線看上去如此奇妙。要是它在現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)，那就必須把它完全除去才能摧毀它，因?yàn)榉駝t的話，它將會(huì)從它的三角形的深處重新不停地生長(zhǎng)起來(lái)，就像宇宙本身的生命一樣,什么是分形 ,在數(shù)學(xué)上說(shuō)，分形是一種形式，它從一個(gè)對(duì)象例如線段、點(diǎn)、三角形開(kāi)始，重復(fù)應(yīng)用一個(gè)規(guī)則連續(xù)不斷地改變直至無(wú)窮。這

6、個(gè)規(guī)則可以用一個(gè)數(shù)學(xué)公式或者用文字來(lái)描述。 我們可以把分形當(dāng)作不斷生長(zhǎng)的曲線。要觀察一個(gè)分性，你必須真的看到它在運(yùn)動(dòng)中。它是連續(xù)不斷地發(fā)展著的,當(dāng)我們觀察一張分形圖片或照片時(shí)，我們看到的是它在某一瞬時(shí)的樣子它凍結(jié)在成長(zhǎng)過(guò)程中的一個(gè)特定階段。實(shí)質(zhì)上正是這一成長(zhǎng)或變化的思想把分形與自然界戲劇性地聯(lián)系了。因?yàn)樵谧匀唤缰杏惺裁床皇亲兓哪?甚至一塊巖石在分子層次上也是變化著的。分形可以被設(shè)計(jì)得對(duì)你能想像出的幾乎任何形狀進(jìn)行模擬。分形不一定受制于僅僅一個(gè)規(guī)則、而可以是一系列的規(guī)則和規(guī)定，它們形成制約它的總規(guī)則。試著創(chuàng)造你自己的分形。選取一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)象，設(shè)計(jì)一個(gè)規(guī)則應(yīng)用于其上,分形初探,科克雪（瑞典，1

7、904年）花曲線的作法,第一步， 先給出一個(gè)正三角形（記為P1，）；然后把三角形的每一條邊三等分，以居中的一條線段為邊向外作正三角形，并把居中的線段去掉，這一操作稱作迭代規(guī)則，于是生成了一個(gè)有6個(gè)角12條邊的對(duì)象（記為P2,雪花曲線的作法,第二步，在對(duì)象P2的基礎(chǔ)上，將每條小邊三等分，然后以居中的一條線段為邊向外作正三角形，并把居中的線段去掉，又生成一新對(duì)象（記為P3）；以后重復(fù)此操作，如此一直進(jìn)行下去，最后生成了一個(gè)當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為是“怪物”的“雪花曲線,雪花曲線的數(shù)學(xué)探究,一、雪花曲線的形的特點(diǎn) 從形的角度，粗略的看，“雪花曲線”是一條封閉的連續(xù)的折線；不光滑（“到處都長(zhǎng)滿了角”），當(dāng)?shù)?/p>

8、代次數(shù)增多時(shí)，“角”的個(gè)數(shù)增多，“角”越來(lái)越小，曲線向外生長(zhǎng)變得越來(lái)越慢等,二、從數(shù)的角度，怎樣精確刻畫(huà)其特征？首先，應(yīng)從哪些方面刻畫(huà)？ 確定研究突破點(diǎn)：可研究“雪花曲線”的邊長(zhǎng)和邊數(shù)；“角”的個(gè)數(shù)；周長(zhǎng)和面積 下面，我們就從邊長(zhǎng)、邊數(shù)、周長(zhǎng)和面積等數(shù)量方面入手，來(lái)研究“雪花曲線”的特性,前面介紹的科赫雪花曲線: 若把初始元(或生成元)E0“”改為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，對(duì)它的三邊都反復(fù)施以同樣的變換，直至無(wú)窮，最后所得圖形稱為科赫雪花曲線（圖10）. 它被用作晶瑩剔透的雪花模型,圖10,在科赫曲線構(gòu)造過(guò)程的每一步，每次去掉中間 的1/3，用邊長(zhǎng)為初始元E0 的1/3等邊三角形的兩邊來(lái)代替時(shí)，如

9、果用擲硬幣的方法來(lái)決定新添上的部分位于被去掉部分的“上邊”或“下邊”，經(jīng)過(guò)幾步后，會(huì)得到一個(gè)看起來(lái)相當(dāng)不規(guī)則的隨機(jī)科赫曲線，用它來(lái)模擬海岸線、國(guó)境線和城市邊界線會(huì)更貼切,隨機(jī)科赫曲線和隨機(jī)康托爾集都是隨機(jī)分形，著名的隨機(jī)分形還有布朗（R.Brown）粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡（圖11-A），只要有足夠高的分辨率就可以發(fā)現(xiàn)，原來(lái)的直線段部分，其實(shí)都是由大量更小尺度的折線連接而成的（圖11-B），它們?cè)谛螒B(tài)上有（統(tǒng)計(jì)）自相似性，這種軌跡在物理學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)中非常重要,圖11,分形的創(chuàng)始人 伯諾瓦曼德布羅特,我從拉丁文形容詞 fractus（分裂的）造出了 fractal（分形）這個(gè)詞。相應(yīng)的拉丁文動(dòng)詞fra

10、gere 的意義是“使碎裂”：造成不規(guī)則的碎片。多么符合我們的需要??！這樣，除了“分裂的”（像在“分?jǐn)?shù)”或“折射”中那樣），fracus 還應(yīng)該有“不規(guī)則的”之意，這兩個(gè)意義都繼承保留了下來(lái)。 伯諾瓦曼德布羅特,分形的誕生,分形的創(chuàng)立也是基于一個(gè)巧合，頗似當(dāng)年哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大陸的意外收獲。分形的創(chuàng)立者曼得勃羅特原先是為了解決電話電路的噪聲等實(shí)際問(wèn)題，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)了幾何學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域。海岸線具有自相似性，曼得勃羅特就是在研究海岸線時(shí)創(chuàng)立了分形幾何學(xué)。幾何對(duì)象的一個(gè)局部放大后與其整體相似，這種性質(zhì)就叫做自相似性。部分以某種形式與整體相似的形狀就叫做分形,誰(shuí)創(chuàng)立了分形幾何學(xué),分形論的逐步成熟時(shí)基于一

11、大批科學(xué)家歷經(jīng)約30年的不懈努力的結(jié)果，而曼德布羅特的開(kāi)創(chuàng)性工作功不可沒(méi)。 1973年，曼德布羅特（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。分形（Fractal）一詞，是曼德勃羅創(chuàng)造出來(lái)的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義，分形幾何學(xué)是一門(mén)以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué),曼德勃羅是想用此詞來(lái)描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無(wú)規(guī)的幾何對(duì)象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無(wú)常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò)的血管，令人眼花 撩亂的

12、滿天繁星等。它們的特點(diǎn)是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說(shuō)，這些對(duì)象都是分形,分形之父曼德布羅特簡(jiǎn)介,1.生平簡(jiǎn)介 1924年出生在華沙的一個(gè)猶太家庭中，父親是成衣批發(fā)商，母親是牙科醫(yī)生。1936年遷往巴黎。他受的教育很不正規(guī)，時(shí)斷時(shí)續(xù)，他自己說(shuō)從來(lái)沒(méi)有學(xué)過(guò)字母表。 他當(dāng)過(guò)車(chē)窗維修學(xué)徒工。然而當(dāng)他回憶起個(gè)人的艱辛歷程時(shí)，始終記住在學(xué)校里與老師成為朋友，其中有幾位是因戰(zhàn)爭(zhēng)而流落的杰出學(xué)者,巴黎解放后，由于他天賦好，雖然缺乏準(zhǔn)備，卻通過(guò)了高等師范和高等工業(yè)學(xué)院的嚴(yán)格考試，筆試和口試經(jīng)長(zhǎng)達(dá)一個(gè)月，還包括繪畫(huà)課。他在臨摹維納斯雕像是表現(xiàn)出潛在的靈巧。數(shù)學(xué)考試他成功的靠幾何知覺(jué)掩蓋了缺乏訓(xùn)練。不管給出

13、什么解析問(wèn)題，他幾乎總可以用腦海中的形象加以思考。給出一個(gè)圖形，它可以設(shè)法變換它，改變它的對(duì)稱，使他更為和諧。他的變換往往直接導(dǎo)致問(wèn)題的解決。在此后的學(xué)業(yè)和工作中，他沿著自己的路走去。由于學(xué)術(shù)思想上的尖銳沖突，他離開(kāi)法國(guó)到美國(guó)居住。1958年，他接受?chē)?guó)際商用機(jī)器公司（IBM）沃森研究中心的聘請(qǐng)，開(kāi)始他的異國(guó)科學(xué)研究生涯,2.博學(xué)、執(zhí)著的科學(xué)探險(xiǎn)者,他孤獨(dú)的搜尋道路。他嘗試過(guò)語(yǔ)言學(xué)，解釋詞的一種分布規(guī)律，在哈佛大學(xué)教過(guò)經(jīng)濟(jì)學(xué)，在耶魯大學(xué)教過(guò)工程學(xué)，在愛(ài)因斯坦醫(yī)學(xué)院教過(guò)生理學(xué)，等等。他自己說(shuō)過(guò)：“當(dāng)我聽(tīng)到過(guò)去從事過(guò)的一連串職業(yè)時(shí)，常常懷疑自己是否存在，這些集合的交集肯定是空集?！彼贗BM公司工作

14、的初期，主要是研究商品價(jià)格,不久碰上公司非常關(guān)心的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。工程師們被計(jì)算機(jī)和計(jì)算機(jī)之間通訊用的電話線中的噪聲問(wèn)題所困擾。工程師們采用加強(qiáng)信號(hào)來(lái)淹沒(méi)噪聲的方法，但某些自發(fā)噪聲怎么也無(wú)法消除，而且偶爾會(huì)抹掉信號(hào)，而造成誤差。他提出一種描述誤差分布的方式，可以對(duì)觀察到的模式作出預(yù)言,這種描述，正是以19世紀(jì)數(shù)學(xué)家康托爾命名的抽象構(gòu)造。這種高度抽象的描述對(duì)試圖控制誤差是有意義的。分析表明，不應(yīng)靠加強(qiáng)信號(hào)來(lái)淹沒(méi)噪聲，而應(yīng)采用適當(dāng)?shù)男盘?hào)為好。 彎彎曲曲的海岸線，蜿蜒起伏的山巒輪廓線，變換飛渡的浮云，裊裊上升的煙柱，一瀉千里的江河，他反復(fù)觀察，持續(xù)思考，試圖從中悟出大自然的真諦。1967年，他在美國(guó)科

15、學(xué)雜志上發(fā)表了一篇題為“英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？”的論文。他對(duì)海岸線的本質(zhì)作了獨(dú)特的分析而震驚學(xué)術(shù)界。這篇論文成為分形誕生的標(biāo)志,3. 成功者榮譽(yù)的光環(huán),1977年，他出版了奠基性著作：分形：形、機(jī)遇與維數(shù)（Fratal：Form，Chance and Dimension,Freeman, San Francisco,1977),提出了分形的三要素，即構(gòu)形、機(jī)遇和維數(shù)。緊接著于1982年又出版了自然界的分形幾何學(xué)（The Fractal Geometry of Nature,Freeman, San Francisco,1982)。這兩部著作的發(fā)表標(biāo)志著分形論邁進(jìn)了現(xiàn)代新興科學(xué)之林,曼德布羅特的持

16、續(xù)奮斗，獲得了巨大的成就，贏得了崇高的榮譽(yù)。他是IBM公司的高級(jí)研究員，哈佛大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)教授，美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士，美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)研究員院士。近年來(lái)，他獲得了許多榮譽(yù)獎(jiǎng)。獲1985年巴納德獎(jiǎng)，以表彰他以科學(xué)造福于人類取得新成就；1986年獲富蘭克林獎(jiǎng)；1988年獲科學(xué)為藝術(shù)獎(jiǎng)等,Mandelbrot集,Mandelbrot集,Mandelbrot集,Julia 集合,一棵厥類植物，仔細(xì)觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的每個(gè)枝杈都在外形上和整體相同，僅僅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整體相同，只是變得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必贅言,自然界中的分形,高山的表面，您無(wú)論怎樣放大其局部，它都如此粗

17、糙不平等等,天空中的云朵,股票價(jià)格曲線例如，在道瓊斯指數(shù)中，某一個(gè)階段的曲線圖總和另外一個(gè)更長(zhǎng)的階段的曲線圖極為相似。 巖石裂縫 金屬損傷裂縫 道路分布 神經(jīng)末梢的分布,動(dòng)物也不例外，一頭牛身體中的一個(gè)細(xì)胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長(zhǎng)信息；這些例子在我們的身邊到處可見(jiàn)。分形幾何揭示了世界的本質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué),分形的應(yīng)用,分形在股票市場(chǎng)的應(yīng)用 股票交易收益實(shí)例分析表,分形在地震預(yù)報(bào)中的應(yīng)用 分形生長(zhǎng)及其應(yīng)用 （1）癌癥增殖模型艾登模型 （2）DLA模型 （3）滲流模型,分形幾何的價(jià)值與研究,分形幾何的基本思想 （1）客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息

18、、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義的相似性 （2）分?jǐn)?shù)維是刻劃分形的特征量,分形幾何與歐氏幾何的比較,描述對(duì)象 特征長(zhǎng)度 表達(dá)方式 維數(shù) 歐氏幾何學(xué) 人類創(chuàng)造的 有 用數(shù)學(xué)公式 0或正整數(shù) 簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)物體 （1或2或3） 分形幾何學(xué) 大自然創(chuàng)造 無(wú) 用迭代語(yǔ)言 一般是分?jǐn)?shù) 的復(fù)雜的真實(shí)物體 （也可以是整數(shù),分形在哲學(xué)上的意義,復(fù)雜與簡(jiǎn)單的統(tǒng)一：分形幾何的主要價(jià)值在于它在極端有序和真正混沌之間提供了一種可能性。分形最顯著的性質(zhì)是：本來(lái)看來(lái)十分復(fù)雜的事物，事實(shí)上大多數(shù)均可用僅含很少參數(shù)的簡(jiǎn)單公式來(lái)描述。其實(shí)簡(jiǎn)單并不簡(jiǎn)單，它蘊(yùn)含著復(fù)雜。分形幾何中的迭代法為我們提供了認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單與復(fù)雜的辯證關(guān)系的生動(dòng)例子。分

19、形高度復(fù)雜，又特別簡(jiǎn)單。無(wú)窮精致的細(xì)節(jié)和獨(dú)特的數(shù)學(xué)特征（沒(méi)有兩個(gè)分形是一樣的）是分形的復(fù)雜性一面。連續(xù)不斷的，從大尺度到小尺度的自我復(fù)制及迭代操作生成，又是分形簡(jiǎn)單的一面,分形在認(rèn)知哲學(xué)上的意義分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實(shí)用上都具有重要價(jià)值。 超級(jí)觀察者是傳統(tǒng)哲學(xué)和經(jīng)典物理學(xué)的一個(gè)基本前提，即假定有一位理想的觀察者能夠不受觀察對(duì)象的任何影響，經(jīng)過(guò)精密觀察和嚴(yán)密思考能夠?qū)τ^察對(duì)象的屬性給出絕對(duì)正確的界定。從笛卡爾以來(lái)，這個(gè)超級(jí)觀察者基本上已被等同于人類理性，而當(dāng)理性難以說(shuō)明問(wèn)題的時(shí)候，哲學(xué)家和科學(xué)家都不約而同地抬出上帝的觀念來(lái)搪塞。比如牛頓為了解

20、決第一推動(dòng)力的問(wèn)題，不得不回到神學(xué)。愛(ài)因斯坦反對(duì)量子力學(xué)的重要理由就是“上帝不擲骰子?！比欢?，這種超級(jí)觀察者神話在現(xiàn)代物理學(xué)那里，已經(jīng)遭到了決定性的打擊,1：觀察尺度著名的海岸線問(wèn)題：英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？這個(gè)問(wèn)題是沒(méi)有答案的，它完全取決于觀察尺度的選取。顯然，用人的腳步來(lái)測(cè)量，和讓一只螞蟻來(lái)測(cè)量，得出的結(jié)果將有天壤之別，因?yàn)槲浵仌?huì)爬過(guò)比人多得多的彎曲，從而測(cè)量的結(jié)果將比人的結(jié)果大得多。假設(shè)有一種無(wú)限小的生物，那么測(cè)量結(jié)果將是無(wú)窮大。不要忘了，在螞蟻眼中，我們是比鯨還要大的龐然大物。關(guān)于觀察尺度，格列佛游記里面有精彩的描述。當(dāng)格列佛到了巨人國(guó)，他發(fā)現(xiàn)沒(méi)有一個(gè)女人是漂亮的，因?yàn)樵谒⌒〉难劬铮?/p>

21、人每一個(gè)猙獰的毛孔他都看得清清楚楚。作為閱讀對(duì)象的文本可以比作英國(guó)的海岸線，說(shuō)文本無(wú)定解，不是說(shuō)文本什么都不是，它是英國(guó)的海岸線，可是它究竟有多長(zhǎng)，不同的讀者有不同的測(cè)量結(jié)果?？墒且哉l(shuí)為準(zhǔn)？螞蟻的結(jié)果就不算數(shù)嗎,分形美麗新世界：“世界是非線性的”，分形無(wú)處不在。分形學(xué)科的誕生，使得我們重新審視這個(gè)世界。當(dāng)人們用分形的觀點(diǎn)重新審視自然物時(shí)，發(fā)現(xiàn)自然界的各種各樣自然形態(tài)本質(zhì)上都具有分形的結(jié)構(gòu)。例如，地學(xué)方面：海岸線，島嶼，國(guó)界，山谷，河流，路面等彎彎曲曲凹凸不平的形狀；生物方面：人的肺，血管，人腦，表面形狀，大多數(shù)樹(shù)木花草地分岔結(jié)構(gòu)；在宇宙方面：天體在宇宙空間中的分布，月坑的直徑分布以及作為月坑成

22、因地隕石和小行星的大小分布，空中的云塊邊界雪花的表面；在物理化學(xué)方面：物體的表面由細(xì)微粒子集聚成的凝聚體，閃電，多孔吸附材料的表面，蛋白質(zhì)高分子的結(jié)構(gòu)分形學(xué)家說(shuō)，自然界處處有分形，這從物體形態(tài)結(jié)構(gòu)方面說(shuō)明，世界本質(zhì)上的非線性,分形所呈現(xiàn)的無(wú)窮玄機(jī)和美感引發(fā)人們?nèi)ヌ剿?，并為之感?dòng)。分形使人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美上的統(tǒng)一，使昨日枯燥的數(shù)學(xué)不再僅僅是抽象的哲理，而是具體的感受；不再僅僅是揭示一類存在，而是一種藝術(shù)創(chuàng)作，它搭起了科學(xué)與藝術(shù)的橋梁。歷史上笛卡爾和開(kāi)普勒也是藝術(shù)家，前者是法國(guó)新時(shí)代小說(shuō)的奠基人之一，后者寫(xiě)的登月科幻小說(shuō)比凡爾納的早得多，當(dāng)然凡爾納這位大師既懂藝術(shù)也懂科學(xué)。豪斯道夫不但在拓?fù)鋵W(xué)上留下深深的足跡，也寫(xiě)過(guò)不錯(cuò)的劇本,列夫托爾斯泰也懂得物理學(xué)和數(shù)學(xué)，并且編寫(xiě)過(guò)科