2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 第十二講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

第十二講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.了解函數(shù)在某點取得的極值的必要條件和充分條件.2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

注意：極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì).極值點是函數(shù)自變量x的取值，不是點的坐標(biāo).2.函數(shù)的最值(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.【名師點睛】(1)若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點.

考點一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題考向1根據(jù)函數(shù)圖象求極值問題[例1](2023年番禺區(qū)校級期中)函數(shù)f(x)的定義域為R，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖2-12-1，則下列結(jié)論正確的是()圖2-12-1A.x＝1是f(x)的極小值點B.f(－2)＞f(－1)C.函數(shù)f(x)在(－1，1)上有極大值D.函數(shù)f(x)有3個極值點解析：由y＝f′(x)的圖象可知，當(dāng)x∈(－∞，－3)時，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－3，－1)時，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

所以f(－2)＞f(－1)，x＝－3是f(x)的極大值點，故B正確；

當(dāng)x∈(－1，1)或x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(－1，1)上沒有極大值，且x＝1不是f(x)的極小值點，故A，C錯誤.

因為x＝－1是f(x)的極小值點，x＝－3是f(x)的極大值點，x＝1不是f(x)的極值點，所以f(x)有2個極值點，故D錯誤.故選B.答案：B

【題后反思】由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值時，要抓住兩點：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點.考向2求已知函數(shù)的極值[例2]已知函數(shù)f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函數(shù)f(x)的極值.解：因為

f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，

且f(x)的定義域為{x|x>0}. ①當(dāng)a<0時，因為x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0對x>0恒成立.所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)無極值.【題后反思】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程考向3已知函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍所以實數(shù)a的取值范圍為(－9，0)∪(0，1).答案：(－9，0)∪(0，1)【題后反思】

(1)已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)某點的導(dǎo)數(shù)值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗.

【考法全練】

1.(考向1)已知定義域為(0，＋∞)的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)g(x)＝(log3x－1)f′(x)的部分圖象如圖2-12-2所示，則下列說法中正確的是()A.f(x)有極小值f(6)，極大值f(1)B.f(x)有極小值f(6)，極大值f(10)C.f(x)有極小值f(1)，極大值f(3)和f(10)D.f(x)有極小值f(1)，極大值f(10)圖2-12-2解析：觀察題圖可知，當(dāng)0＜x＜1時，g(x)＞0，log3x－1＜0，則f′(x)＜0；當(dāng)1＜x＜3時，g(x)＜0，log3x－1＜0，則f′(x)＞0；當(dāng)3＜x＜10時，g(x)≥0，log3x－1＞0，則f′(x)≥0；當(dāng)x＞10時，g(x)＜0，log3x－1＞0，則f′(x)＜0.

綜上所述，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，10)上單調(diào)遞增，在(10，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)有極小值f(1)，極大值f(10).故選D.答案：D則f(x)的極大值為()A.－3B.1C.27D.－5∴f(x)＝x3＋3x2－9x.∴f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1).∴當(dāng)x＜－3或x＞1時，f′(x)＞0；當(dāng)－3＜x＜1時，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－3，1)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝－3時，f(x)取得極大值27.故選C.答案：C)bx，若x＝1是f(x)的極大值點，則實數(shù)a的取值范圍為( A.(－1，0) B.(－1，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0，＋∞)①若a≥0，由f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)0＜x＜1時，f′(x)＞0，此時f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時，f′(x)＜0，此時f(x)單調(diào)遞減.所以x＝1是f(x)的極大值點.綜合①②，得a的取值范圍是a＞－1.故選B.答案：B

考點二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值[例4]已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，請說明理由.(2)滿足題設(shè)條件的a，b存在.

①當(dāng)a≤0時，由(1)知，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(0)＝b＝－1，最大值為f(1)＝2－a＋b＝1，解得a＝0.

②當(dāng)a≥3時，由(1)知，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值為f(0)＝b＝1，最小值為f(1)＝2－a＋b＝－1，解得a＝4.

與0＜a＜3矛盾.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1時，f(x)在[0，1]上的最小值為－1，最大值為1.【規(guī)律方法】

(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

(2)若所給的閉區(qū)間[a，b]含參數(shù)，則需對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.

【變式訓(xùn)練】

(2023年青銅峽市校級期中)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2

在x＝1處取得極值2. (1)求a，b的值；由f′(x)＜0，可得x∈(0，1)，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，由f′(x)＞0，可得x∈(1，＋∞)，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在x＝1處取得極值，符合題意，∴a＝－4，b＝2.(2)由(1)有f(x)＝－4lnx＋2x2，x∈(0，＋∞)，由f′(x)＜0，可得x∈(0，1)，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，⊙利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x).(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)回歸實際問題，結(jié)合實際問題作答.

[例5]某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時，該蓄水池的體積