三角形等高模型與鳥頭模型題庫學生版

1、三角形等高模型與鳥頭模型例題精講板塊一 三角形等高模型我們已經知道三角形面積的計算公式：三角形面積底高從這個公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說明當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化但是，當三角形的底和高同時發(fā)生變化時，三角形的面積不一定變化比如當高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼模瑒t三角形面積與原來的一樣這就是說：一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況

2、下，可以有無數(shù)多個不同的形狀在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結論：等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比【例 1】 你有多少種方法將任意一個三角形分成： 3個面積相等的三角形； 4個面積相等的三角形；6個面積相等的三角形【例

3、 2】 如圖，BD長12厘米，DC長4厘米，B、C和D在同一條直線上 求三角形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍？ 求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？【例 3】 如右圖，和都是矩形，的長是厘米，的長是厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】(2009年四中小升初入學測試題)如圖所示，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】如下圖，長方形和長方形拼成了長方形，長方形的長是20，寬是12，則它內部陰影部分的面積是 【例 4】 如圖，長方形的面積是平方厘米，點、分別是長方形邊上的中點，為邊上的任意一點，求陰影部分的面積【鞏固】圖中的、分別是正方形

4、三條邊的三等分點，如果正方形的邊長是，那么陰影部分的面積是 【例 5】 長方形的面積為36，、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？【例 6】 長方形的面積為36，、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？【鞏固】在邊長為6厘米的正方形內任取一點，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與點連接,求陰影部分面積【例 7】 如右圖，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米求三角形ABC的面積是三角形EBC面積的幾倍？【例 8】 如圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC，連結BE、AE、CF、BF那么與BEC等積的三角形一共有哪幾個三角形？【鞏固】如圖，在ABC中，D是

5、BC中點，E是AD中點，連結BE、CE，那么與ABE等積的三角形一共有哪幾個三角形？【鞏固】如圖，在梯形ABCD中，共有八個三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對？【例 9】 (第四屆”迎春杯”試題)如圖，三角形的面積為1，其中，三角形 的面積是多少？【例 10】 (2008年四中考題)如右圖，已知陰影部分面積為5平方厘米，的面積是 平方厘米【鞏固】圖中三角形的面積是180平方厘米，是的中點，的長是長的3倍，的長是 長的3倍那么三角形的面積是多少平方厘米？ 【鞏固】如圖，在長方形中，是的中點，是的中點，如果厘米，厘米，求三角形的面積【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是24，D、E和F分別是BC、

6、AC和AD的中點求三角形DEF的面積【鞏固】如圖，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分別為AB和AC的中點，那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？【例 11】 如圖ABCD是一個長方形，點E、F和G分別是它們所在邊的中點如果長方形的面積是36個平方單位，求三角形EFG的面積是多少個平方單位【鞏固】(97迎春杯決賽)如圖，長方形的面積是，是邊的中點，在邊上，且.那么，陰影部分的面積是多少？【例 12】 如圖，大長方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個小長方形組合而成求陰影部分的面積【例 13】 如圖，三角形中，三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形的面

7、積是多少？【例 14】 (2009年第七屆”希望杯”二試六年級)如圖，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面積分別是89，28，26那么三角形的面積是 【例 15】 (第四屆小數(shù)報數(shù)學競賽)如圖，梯形ABCD被它的一條對角線BD分成了兩部分三角形BDC的面積比三角形ABD的面積大10平方分米已知梯形的上底與下底的長度之和是15分米，它們的差是5分米求梯形ABCD的面積【例 16】 圖中AOB的面積為，線段OB的長度為OD的3倍，求梯形ABCD的面積【例 17】 如圖，把四邊形ABCD改成一個等積的三角形【例 18】 （第三屆“華杯賽”初賽試題）一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積

8、占長方形面積的，黃色三角形面積是問：長方形的面積是多少平方厘米？【例 19】 是長方形內一點，已知的面積是，的面積是，求的面積是多少？【例 20】 如右圖，過平行四邊形內的一點作邊的平行線、，若的面積為8平方分米，求平行四邊形的面積比平行四邊形的面積大多少平方分米？【例 21】 如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積【鞏固】如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積【例 22】 在長方形內部有一點，形成等腰的面積為16，等腰的面積占長方形面積的，那么陰影的面積是多少？【例 23】 （2008年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學邀請賽六年級）如右圖所示，在梯形中，、分別是其兩

9、腰、的中點，是上的任意一點，已知 的面積為，而的面積恰好是梯形面積的，則梯形的面積是 【例 24】 如圖所示，四邊形與都是平行四邊形，請你證明它們的面積相等【鞏固】如圖所示，正方形的邊長為厘米，長方形的長為厘米，那么長方形的寬為幾厘米？【例 25】 如圖，正方形ABCD的邊長為6，1.5，2長方形EFGH的面積為 【例 26】 如圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC，如果ADE的面積為4平方厘米求三角形CDF的面積【鞏固】如右圖，在平行四邊形中，直線交于，交延長線于，若，求 的面積【例 27】 圖中兩個正方形的邊長分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米【例 28】 如

10、圖，有三個正方形的頂點、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長為10厘米，求陰影部分的面積【鞏固】右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是厘米，求三角形的面積【鞏固】(2008年西城實驗考題)如圖，與均為正方形，三角形的面積為6平方厘米，圖中陰影部分的面積為 【鞏固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？【鞏固】(人大附中考題)已知正方形邊長為10，正方形邊長為6，求陰影部分的面積【例 29】 (2008年”華杯賽”決賽)右圖中，和是兩個正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面積等于6平方厘米，求五邊形的面積【例 30】 (

11、第八屆小數(shù)報數(shù)學競賽決賽試題)如下圖，、分別是梯形的下底和腰上的點，并且甲、乙、丙個三角形面積相等已知梯形的面積是平方厘米求圖中陰影部分的面積【例 31】 如圖，已知長方形的面積，三角形的面積是，三角形的面積是，那么三角形的面積是多少？【例 32】 如圖，在平行四邊形中，求陰影面積與空白面積的比【例 33】 (第七屆”小機靈杯”數(shù)學競賽五年級復賽)如圖所示，三角形中，是邊的中點，是邊上的一點，且，為與的交點若的面積為平方厘米，的面積為平方厘米且是平方厘米，那么三角形的面積是 平方厘米【例 34】 如圖，在梯形中，且的面積比的面積小10平方厘米梯形的面積是 平方厘米【鞏固】(第五屆小數(shù)報數(shù)學競賽

12、初賽)如圖，是梯形的一條對角線，線段與平行， 與相交于點已知三角形的面積比三角形的面積大平方米，并且求梯形的面積【例 35】 如右圖所示，在長方形內畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是，那么圖中陰影部分的面積是多少？【例 36】 圖中是一個各條邊分別為5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形將它的短直角邊對折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖中的陰影部分(即未被蓋住的部分)的面積是多少平方厘米？【例 37】 如圖，長方形的面積是2平方厘米，是的中點陰影部分的面積是多少平方厘米？【例 38】 (2007年六年級希望杯二試試題)如圖，三角形田地中有兩條小路和，交叉處為，張大伯常走這兩條小路，他知道,且

13、則兩塊地和的面積比是_ 【例 39】 (年第一屆”學而思杯”綜合素質測評六年級試)如圖，被分成個面積相等的小三角形，那么 【鞏固】（2009年清華附中入學測試題）如圖，在角的兩邊上分別有、及、六個點，并且、的面積都等于1，則的面積等于 【例 40】 、分別為直角梯形兩邊上的點，且、彼此平行，若，求陰影部分的面積【例 41】 (2007年人大附中分班考試題)已知為等邊三角形，面積為400，、分別為三邊的中點，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積(丙是三角形)【例 42】 (2009年四中入學測試題)如圖，已知，線段將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的

14、面積是 【鞏固】(第四屆希望杯)如圖，點、在線段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，將整個圖形分成上下兩部分，下邊部分面積是平方厘米，上邊部分面積是平方厘米，則三角形的面積是多少平方厘米？【例 43】 (2008年仁華考題)如圖，正方形的邊長為10，四邊形的面積為5，那么陰影部分的面積是 【鞏固】如圖，正方形的邊長為12，陰影部分的面積為60，那么四邊形的面積是 【例 44】 (2008年走美六年級初賽)如圖所示，長方形內的陰影部分的面積之和為70，四邊形的面積為 【鞏固】(2008年”華杯賽”初賽)如圖所示，矩形的面積為24平方厘米三角形與三角形 的面積之和為平方厘米，則四邊形的面積是 平方厘米

15、【鞏固】如圖所示，矩形的面積為36平方厘米，四邊形的面積是3平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】(2008年清華附中考題)如圖，長方形的面積是36，是的三等分點，則陰影部分的面積為 【例 45】 (清華附中分班考試題)如圖，如果長方形的面積是平方厘米，那么四邊形的面積是多少平方厘米？【例 46】 (2008年日本第12屆小學算術奧林匹克大賽初賽)如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為的正方形，則陰影部分四邊形的面積是 【鞏固】如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為厘米的正方形，則陰影部分四邊形的面積是多少平方厘米？【鞏固】已知正方形的邊長為10，則 【例 47】 如圖，三角形的面積是

16、，、的長度分別為11、3求長方形的面積【例 48】 (2008年第二屆兩岸四地華羅庚金杯數(shù)學精英邀請賽)如圖，長方形中，、分別是邊上的兩點，那么，三角形面積的最小值是 【例 49】 (2007首屆全國資優(yōu)生思維能力測試)是邊長為12的正方形，如圖所示，是內部任意一點，、，那么陰影部分的面積是 【例 50】 如圖所示，在四邊形中，分別是各邊的中點，求陰影部分與四邊形的面積之比【鞏固】(2008年”希望杯”二試六年級)如圖，、分別是四邊形各邊的中點，與交于點，、及分別表示四個小四邊形的面積試比較與的大小【例 51】 如圖，四邊形中，已知四邊形的面積等于4，則四邊形的面積 【拓展】如圖，對于任意四邊

17、形，通過各邊三等分點的相應連線，得到中間四邊形，求四邊形的面積是四邊形的幾分之幾？【例 52】 (2008年日本小學算數(shù)奧林匹克大賽決賽)有正三角形，在邊、的正中間分別取點、，在邊、上分別取點、，使，當和、和、和的相交點分別是、時，使這時，三角形的面積是三角形的面積的幾分之幾？請寫出思考過程【例 53】 如圖：已知在梯形中，上底是下底的，其中是邊上任意一點，三角形、三角形、三角形的面積分別為、求三角形的面積【例 54】 如圖，已知是梯形，求的面積【例 55】 （2009年迎春杯決賽高年級組）如圖，是一個四邊形，、分別是、的中點如果、與的面積分別是6、7和8，且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四

18、邊形的面積為 板塊二 鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點如圖 (或在的延長線上，在上)，則 圖 圖【例 56】 如圖在中，分別是上的點，且，平方厘米，求的面積【鞏固】如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？【例 57】 如圖在中，在的延長線上，在上，且，平方厘米，求的面積【例 58】 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，三角形AFE(圖中陰影部分)的面積為8平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？【例 59】 已知的面積為平方厘米，求的面積【例 60】 如圖，三角形的面積為3平方厘米，其中，三角形的面積是多少？【例 61】 (2007年”走美”五年級初賽試題)如圖所示，正方形邊長為6厘米，三角形的面積為_平方厘米【例 62】 如圖，已知三角形面積為，延長至，使；延長至，使；延長至，使，求三角形