三角形等高模型與鳥頭模型題庫學(xué)生版

1、三角形等高模型與鳥頭模型例題精講板塊一 三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積底高從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼模瑒t三角形面積與原來的一樣這就是說：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化同時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況

2、下，可以有無數(shù)多個(gè)不同的形狀在實(shí)際問題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比【例 1】 你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成： 3個(gè)面積相等的三角形； 4個(gè)面積相等的三角形；6個(gè)面積相等的三角形【例

3、 2】 如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和D在同一條直線上 求三角形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍？ 求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？【例 3】 如右圖，和都是矩形，的長(zhǎng)是厘米，的長(zhǎng)是厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】(2009年四中小升初入學(xué)測(cè)試題)如圖所示，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】如下圖，長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方形拼成了長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，則它內(nèi)部陰影部分的面積是 【例 4】 如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，點(diǎn)、分別是長(zhǎng)方形邊上的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積【鞏固】圖中的、分別是正方形

4、三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長(zhǎng)是，那么陰影部分的面積是 【例 5】 長(zhǎng)方形的面積為36，、為各邊中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分面積是多少？【例 6】 長(zhǎng)方形的面積為36，、為各邊中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分面積是多少？【鞏固】在邊長(zhǎng)為6厘米的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分，分別與點(diǎn)連接,求陰影部分面積【例 7】 如右圖，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米求三角形ABC的面積是三角形EBC面積的幾倍？【例 8】 如圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC，連結(jié)BE、AE、CF、BF那么與BEC等積的三角形一共有哪幾個(gè)三角形？【鞏固】如圖，在ABC中，D是

5、BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，連結(jié)BE、CE，那么與ABE等積的三角形一共有哪幾個(gè)三角形？【鞏固】如圖，在梯形ABCD中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對(duì)？【例 9】 (第四屆”迎春杯”試題)如圖，三角形的面積為1，其中，三角形 的面積是多少？【例 10】 (2008年四中考題)如右圖，已知陰影部分面積為5平方厘米，的面積是 平方厘米【鞏固】圖中三角形的面積是180平方厘米，是的中點(diǎn)，的長(zhǎng)是長(zhǎng)的3倍，的長(zhǎng)是 長(zhǎng)的3倍那么三角形的面積是多少平方厘米？ 【鞏固】如圖，在長(zhǎng)方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，如果厘米，厘米，求三角形的面積【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是24，D、E和F分別是BC、

6、AC和AD的中點(diǎn)求三角形DEF的面積【鞏固】如圖，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？【例 11】 如圖ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn)E、F和G分別是它們所在邊的中點(diǎn)如果長(zhǎng)方形的面積是36個(gè)平方單位，求三角形EFG的面積是多少個(gè)平方單位【鞏固】(97迎春杯決賽)如圖，長(zhǎng)方形的面積是，是邊的中點(diǎn)，在邊上，且.那么，陰影部分的面積是多少？【例 12】 如圖，大長(zhǎng)方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個(gè)小長(zhǎng)方形組合而成求陰影部分的面積【例 13】 如圖，三角形中，三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形的面

7、積是多少？【例 14】 (2009年第七屆”希望杯”二試六年級(jí))如圖，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面積分別是89，28，26那么三角形的面積是 【例 15】 (第四屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽)如圖，梯形ABCD被它的一條對(duì)角線BD分成了兩部分三角形BDC的面積比三角形ABD的面積大10平方分米已知梯形的上底與下底的長(zhǎng)度之和是15分米，它們的差是5分米求梯形ABCD的面積【例 16】 圖中AOB的面積為，線段OB的長(zhǎng)度為OD的3倍，求梯形ABCD的面積【例 17】 如圖，把四邊形ABCD改成一個(gè)等積的三角形【例 18】 （第三屆“華杯賽”初賽試題）一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積

8、占長(zhǎng)方形面積的，黃色三角形面積是問：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？【例 19】 是長(zhǎng)方形內(nèi)一點(diǎn)，已知的面積是，的面積是，求的面積是多少？【例 20】 如右圖，過平行四邊形內(nèi)的一點(diǎn)作邊的平行線、，若的面積為8平方分米，求平行四邊形的面積比平行四邊形的面積大多少平方分米？【例 21】 如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積【鞏固】如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積【例 22】 在長(zhǎng)方形內(nèi)部有一點(diǎn)，形成等腰的面積為16，等腰的面積占長(zhǎng)方形面積的，那么陰影的面積是多少？【例 23】 （2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽六年級(jí)）如右圖所示，在梯形中，、分別是其兩

9、腰、的中點(diǎn)，是上的任意一點(diǎn)，已知 的面積為，而的面積恰好是梯形面積的，則梯形的面積是 【例 24】 如圖所示，四邊形與都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等【鞏固】如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米？【例 25】 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，1.5，2長(zhǎng)方形EFGH的面積為 【例 26】 如圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC，如果ADE的面積為4平方厘米求三角形CDF的面積【鞏固】如右圖，在平行四邊形中，直線交于，交延長(zhǎng)線于，若，求 的面積【例 27】 圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米【例 28】 如

10、圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn)、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，求陰影部分的面積【鞏固】右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是厘米，求三角形的面積【鞏固】(2008年西城實(shí)驗(yàn)考題)如圖，與均為正方形，三角形的面積為6平方厘米，圖中陰影部分的面積為 【鞏固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長(zhǎng)為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？【鞏固】(人大附中考題)已知正方形邊長(zhǎng)為10，正方形邊長(zhǎng)為6，求陰影部分的面積【例 29】 (2008年”華杯賽”決賽)右圖中，和是兩個(gè)正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面積等于6平方厘米，求五邊形的面積【例 30】 (

11、第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題)如下圖，、分別是梯形的下底和腰上的點(diǎn)，并且甲、乙、丙個(gè)三角形面積相等已知梯形的面積是平方厘米求圖中陰影部分的面積【例 31】 如圖，已知長(zhǎng)方形的面積，三角形的面積是，三角形的面積是，那么三角形的面積是多少？【例 32】 如圖，在平行四邊形中，求陰影面積與空白面積的比【例 33】 (第七屆”小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽五年級(jí)復(fù)賽)如圖所示，三角形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，且，為與的交點(diǎn)若的面積為平方厘米，的面積為平方厘米且是平方厘米，那么三角形的面積是 平方厘米【例 34】 如圖，在梯形中，且的面積比的面積小10平方厘米梯形的面積是 平方厘米【鞏固】(第五屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽

12、初賽)如圖，是梯形的一條對(duì)角線，線段與平行， 與相交于點(diǎn)已知三角形的面積比三角形的面積大平方米，并且求梯形的面積【例 35】 如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是，那么圖中陰影部分的面積是多少？【例 36】 圖中是一個(gè)各條邊分別為5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形將它的短直角邊對(duì)折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖中的陰影部分(即未被蓋住的部分)的面積是多少平方厘米？【例 37】 如圖，長(zhǎng)方形的面積是2平方厘米，是的中點(diǎn)陰影部分的面積是多少平方厘米？【例 38】 (2007年六年級(jí)希望杯二試試題)如圖，三角形田地中有兩條小路和，交叉處為，張大伯常走這兩條小路，他知道,且

13、則兩塊地和的面積比是_ 【例 39】 (年第一屆”學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)六年級(jí)試)如圖，被分成個(gè)面積相等的小三角形，那么 【鞏固】（2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題）如圖，在角的兩邊上分別有、及、六個(gè)點(diǎn)，并且、的面積都等于1，則的面積等于 【例 40】 、分別為直角梯形兩邊上的點(diǎn)，且、彼此平行，若，求陰影部分的面積【例 41】 (2007年人大附中分班考試題)已知為等邊三角形，面積為400，、分別為三邊的中點(diǎn)，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積(丙是三角形)【例 42】 (2009年四中入學(xué)測(cè)試題)如圖，已知，線段將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的

14、面積是 【鞏固】(第四屆希望杯)如圖，點(diǎn)、在線段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，將整個(gè)圖形分成上下兩部分，下邊部分面積是平方厘米，上邊部分面積是平方厘米，則三角形的面積是多少平方厘米？【例 43】 (2008年仁華考題)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10，四邊形的面積為5，那么陰影部分的面積是 【鞏固】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為12，陰影部分的面積為60，那么四邊形的面積是 【例 44】 (2008年走美六年級(jí)初賽)如圖所示，長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，四邊形的面積為 【鞏固】(2008年”華杯賽”初賽)如圖所示，矩形的面積為24平方厘米三角形與三角形 的面積之和為平方厘米，則四邊形的面積是 平方厘米

15、【鞏固】如圖所示，矩形的面積為36平方厘米，四邊形的面積是3平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】(2008年清華附中考題)如圖，長(zhǎng)方形的面積是36，是的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積為 【例 45】 (清華附中分班考試題)如圖，如果長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，那么四邊形的面積是多少平方厘米？【例 46】 (2008年日本第12屆小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽初賽)如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長(zhǎng)為的正方形，則陰影部分四邊形的面積是 【鞏固】如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長(zhǎng)為厘米的正方形，則陰影部分四邊形的面積是多少平方厘米？【鞏固】已知正方形的邊長(zhǎng)為10，則 【例 47】 如圖，三角形的面積是

16、，、的長(zhǎng)度分別為11、3求長(zhǎng)方形的面積【例 48】 (2008年第二屆兩岸四地華羅庚金杯數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽)如圖，長(zhǎng)方形中，、分別是邊上的兩點(diǎn)，那么，三角形面積的最小值是 【例 49】 (2007首屆全國(guó)資優(yōu)生思維能力測(cè)試)是邊長(zhǎng)為12的正方形，如圖所示，是內(nèi)部任意一點(diǎn)，、，那么陰影部分的面積是 【例 50】 如圖所示，在四邊形中，分別是各邊的中點(diǎn)，求陰影部分與四邊形的面積之比【鞏固】(2008年”希望杯”二試六年級(jí))如圖，、分別是四邊形各邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，、及分別表示四個(gè)小四邊形的面積試比較與的大小【例 51】 如圖，四邊形中，已知四邊形的面積等于4，則四邊形的面積 【拓展】如圖，對(duì)于任意四邊

17、形，通過各邊三等分點(diǎn)的相應(yīng)連線，得到中間四邊形，求四邊形的面積是四邊形的幾分之幾？【例 52】 (2008年日本小學(xué)算數(shù)奧林匹克大賽決賽)有正三角形，在邊、的正中間分別取點(diǎn)、，在邊、上分別取點(diǎn)、，使，當(dāng)和、和、和的相交點(diǎn)分別是、時(shí)，使這時(shí)，三角形的面積是三角形的面積的幾分之幾？請(qǐng)寫出思考過程【例 53】 如圖：已知在梯形中，上底是下底的，其中是邊上任意一點(diǎn)，三角形、三角形、三角形的面積分別為、求三角形的面積【例 54】 如圖，已知是梯形，求的面積【例 55】 （2009年迎春杯決賽高年級(jí)組）如圖，是一個(gè)四邊形，、分別是、的中點(diǎn)如果、與的面積分別是6、7和8，且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四

18、邊形的面積為 板塊二 鳥頭模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖 (或在的延長(zhǎng)線上，在上)，則 圖 圖【例 56】 如圖在中，分別是上的點(diǎn)，且，平方厘米，求的面積【鞏固】如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？【例 57】 如圖在中，在的延長(zhǎng)線上，在上，且，平方厘米，求的面積【例 58】 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，三角形AFE(圖中陰影部分)的面積為8平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？【例 59】 已知的面積為平方厘米，求的面積【例 60】 如圖，三角形的面積為3平方厘米，其中，三角形的面積是多少？【例 61】 (2007年”走美”五年級(jí)初賽試題)如圖所示，正方形邊長(zhǎng)為6厘米，三角形的面積為_平方厘米【例 62】 如圖，已知三角形面積為，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使，求三角形