加乘原理綜合應(yīng)用題庫版

1、加乘原理綜合運用知識框架圖7 計數(shù)綜合7-3 加乘原理綜合運用7-3-1簡單加乘原理綜合運用7-3-2加乘原理與數(shù)字問題7-3-3加乘原理與圖論教學(xué)目標(biāo)1.復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理；2.培養(yǎng)學(xué)生綜合運用加法原理和乘法原理的能力3.讓學(xué)生懂得并運用加法、乘法原理來解決問題，掌握常見的計數(shù)方法，會使用這些方法解決問題在分類討論中結(jié)合分步分析，在分步分析中結(jié)合分類討論；教師應(yīng)該明確并強調(diào)哪些是分類，哪些是分步并了解與加、乘原理相關(guān)的常見題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖形組合知識要點一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中的一種方法就可以完

2、成，并且這幾類方法是互不影響的那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來解決還有這樣的一種情況：就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方法要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理，綜合分析，正確

3、作出分類和分步加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關(guān)”例題精講模塊一、簡單加乘原理綜合應(yīng)用【例 1】 商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2種水果糖：蘋果味、梨味、橙味小明想買一些糖送給他的小朋友如果小明只買一種糖，他有幾種選法？如果小明想買水果糖、巧克力糖各種，他有幾種選法？（2級）【解析】 小明只買一種糖，完成這件事

4、一步即可完成，有兩類辦法：第一類是從種巧克力糖中選一種 有種辦法；第二類是從種水果糖中選一種，有種辦法因此，小明有種選糖的方法小明完成這件事要分兩步，每步分別有種、種方法，因此有種方法【例 2】 從北京到廣州可以選擇直達(dá)的飛機和火車，也可以選擇中途在上?；蛘呶錆h作停留，已知北京到上海、武漢和上海、武漢到廣州除了有飛機和火車兩種交通方式外還有汽車問，從北京到廣州一共有多少種交通方式供選擇？（2級）【解析】 從北京轉(zhuǎn)道上海到廣州一共有種方法，從北京轉(zhuǎn)道武漢到廣州一共也有種方法供選擇，從北京直接去廣州有2種方法，所以一共有種方法【例 3】 從學(xué)而思學(xué)校到王明家有3條路可走，從王明家到張老師家有2條路

5、可走，從學(xué)而思學(xué)校到張老師家有3條路可走，那么從學(xué)而思學(xué)校到張老師家共有多少種走法？（2級）【解析】 根據(jù)乘法原理，經(jīng)過王明家到張老師家的走法一共有種方法，從學(xué)而思學(xué)校直接去張老師家一共有3條路可走，根據(jù)加法原理，一共有種走法【鞏固】 如下圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有4條路，從甲地到丁地有3條路可走，從丁地到丙地也有3條路，請問從甲地到丙地共有多少種不同走法？（2級）【解析】 從甲地到丙地有兩種方法：第一類，從甲地經(jīng)過乙地到丙地，根據(jù)乘法原理，走法一共有種方法，；第二類，從甲地經(jīng)過丁地到丙地，一共有種方法根據(jù)加法原理，一共有種走法【鞏固】 王老師從重慶到南京，他可以乘飛機、汽車直接

6、到達(dá)，也可以先到武漢，再由武漢到南京他從重慶到武漢可乘船，也可乘火車；又從武漢到南京可以乘船、火車或者飛機，如圖那么王老師從重慶到南京有多少種不同走法呢？（2級）【解析】 從重慶到南京的走法有兩類：第一類從重慶經(jīng)過武漢去南京，根據(jù)乘法原理，有(種)走法；第二類不經(jīng)過武漢，有2種走法根據(jù)加法原理，從重慶到南京一共有種不同走法【例 4】 如下圖，八面體有12條棱，6個頂點一只螞蟻從頂點出發(fā)，沿棱爬行，要求恰好經(jīng)過每一個頂點一次問共有多少種不同的走法？（6級）【解析】 走完6個頂點，有5個步驟，可分為兩大類：第二次走點：就是意味著從點出發(fā)，我們要先走，中間的一點，再經(jīng)過點，但之后只能走，點，最后選擇

7、后面兩點有種(從到的話，是不能到的)；第二次不走：有種(同理，不能到)；共計：種【例 5】 如果從3本不同的語文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、5本不同的外語書中選取2本不同學(xué)科的書閱讀，那么共有多少種不同的選擇？（4級）【解析】 因為強調(diào)2本書來自不同的學(xué)科，所以共有三種情況：來自語文、數(shù)學(xué)：34=12；來自語文、外語：35=15；來自數(shù)學(xué)、外語：45=20；所以共有121520=47【例 6】 某條鐵路線上，包括起點和終點在內(nèi)原來共有7個車站，現(xiàn)在新增了3個車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，這樣需要增加多少種不同的車票？（6級）【解析】 1、新站為起點，舊站為終點有37=21張，2、舊站為

8、起點，新站為終點有73=21張，3、起點、終點均為新站有32=6張，以上共有21216=48張【例 7】 某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成現(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會從7人中挑選4人完成這項工作，共有多少種方法？（6級）【解析】 分兩類情況討論：都會的這1人被挑選中，則有：如果這人做鉗工的話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有 3種方法，再選2名電工也有3種方法；所以有種方法；同樣，這人做電工，也有9種方法都會的這一人沒有被挑選，則從3名鉗工中選2人，有3種方法；從3名電工中選2人，也有3種方法，一共有種方法所以，根據(jù)加法原理，一共有種方法【例 8】 某信號兵用紅，黃，藍(lán)，

9、綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個位置表示信號每次可掛一面，二面或三面，并且不同的順序，不同的位置表示不同的信號一共可以表示出多少種不同的信號？（6級）【解析】 由于每次可掛一面、二面或三面旗子，我們可以根據(jù)旗桿上旗子的面數(shù)分三類考慮：第一類，可以從四種顏色中任選一種，有4種表示法； 第二類，要分兩步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法根據(jù)乘法原理，共有種表示法； 第三類，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法；第三步，第三面旗子可

10、從剩下的兩種顏色中選一種，有2種選法根據(jù)乘法原理，共有種表示法 根據(jù)加法原理，一共可以表示出種不同的信號【鞏固】 五面五種顏色的小旗，任意取出一面、兩面或三面排成一行表示各種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？（6級）【解析】 分3種情況：取出一面，有5種信號；取出兩面：可以表示種信號；取出三面：可以表示：種信號；由加法原理，一共可以表示：種信號【例 9】 五種顏色不同的信號旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？（6級）【解析】 方法一：取出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分類 一種顏色： 5種可能； 兩種顏色： 三種顏色

11、： 所以，一共可以表示種不同的信號方法二：每一個位置都有5種顏色可選，所以共有種【鞏固】 紅、黃、藍(lán)、白四種顏色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按順序排成一行，表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？如果白旗不能打頭又有多少種？（6級）【解析】 (一)取出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分類第一類，一種顏色：都是藍(lán)色的或者都是白色的，2種可能；第二類，兩種顏色： 第三類，三種顏色： 所以，根據(jù)加法原理，一共可以表示種不同的信號(二)白棋打頭的信號，后兩面旗有種情況所以白棋不打頭的信號有種【例 10】 (2008年清華附中考題)小紅和小明舉行象棋比賽

12、，按比賽規(guī)定，誰先勝頭兩局誰贏，如果沒有勝頭兩局，誰先勝三局誰贏共有 種可能的情況（6級）【解析】 小紅和小明如果有誰勝了頭兩局，則勝者贏，此時共2種情況；如果沒有人勝頭兩局，即頭兩局中兩人各勝一局，則最少再進(jìn)行兩局、最多再進(jìn)行三局，必有一人勝三局，如果只需再進(jìn)行兩局，則這兩局的勝者為同一人，對此共有種情況；如果還需進(jìn)行三局，則后三局中有一人勝兩局，另一人只勝一局，且這一局不能為最后一局，只能為第三局或第四局，此時共有種情況，所以共有種情況【例 11】 （2009年“數(shù)學(xué)解題能力展示”中年級復(fù)賽試題）過年了，媽媽買了7件不同的禮物，要送給親朋好友的5個孩子每人一件其中姐姐的兒子小強想從智力拼圖

13、和遙控汽車中選一個，朋友的女兒小玉想從學(xué)習(xí)機和遙控汽車中選一件那么，媽媽送出這5件禮物共有種方法（6級）【解析】 若將遙控汽車給小強，則學(xué)習(xí)機要給小玉，此時另外3個孩子在剩余5件禮物中任選3件，有種方法；若將遙控車給小玉，則智力拼圖要給小強，此時也有60種方法；若遙控車既不給小強、也不給小玉，則智力拼圖要給小強，學(xué)習(xí)機要給小玉，此時仍然有60種方法所以共有種方法【例 12】 有3所學(xué)校共訂300份中國少年報，每所學(xué)校訂了至少98份，至多102份問：一共有多少種不同的訂法？（6級）【解析】 可以分三種情況來考慮：3所學(xué)校訂的報紙數(shù)量互不相同，有98，100，102；99，100，101兩種組合，

14、每種組各有種不同的排列，此時有種訂法3所學(xué)校訂的報紙數(shù)量有2所相同，有98，101，101；99，99，102兩種組合，每種組各有3種不同的排列，此時有種訂法3所學(xué)校訂的報紙數(shù)量都相同，只有100，100，100一種訂法由加法原理，不同的訂法一共有種【例 13】 玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色這家廠共可生產(chǎn)_種顏色不同的玩具棒（8級）【解析】 每節(jié)有種涂法，共有涂法(種)但上述種涂法中，有些涂法屬于重復(fù)計算，這是因為有些游戲棒倒過來放時的顏色與順著放時的顏色一樣，卻被我們當(dāng)做兩種顏色計算了兩次可以發(fā)現(xiàn)只有游戲棒的顏色關(guān)于中點對稱時才沒有被重復(fù)計算，關(guān)于中點對稱的游戲

15、棒有(種)故玩具棒最多有種不同的顏色【例 14】 奧蘇旺大陸上的居民使用的文字非常獨特，他們文字的每個單詞都由個字母、組成，并且所有的單詞都有著如下的規(guī)律，字母不打頭，單詞中每個字母后邊必然緊跟著字母，和不會出現(xiàn)在同一個字母之中，那么由四個字母構(gòu)成的單詞一共有多少種？（8級）【解析】 分為三種：第一種：有兩個的情況只有1種 第二種，有一個的情況，又分3類第一類，在第一個位置，則在第二個位置，后邊的排列有種，減去、同時出現(xiàn)的兩種，總共有14種，第二類，在第二個位置，則在第三個位置，總共有種.第三類，在第三個位置，則在第四個位置，總共有種. 第三種，沒有的情況:分別計算沒有的情況:種.沒有的情況：

16、種.沒有、的情況：種.由容斥原理得到一共有種.所以，根據(jù)加法原理，一共有種【例 15】 從6名運動員中選出4人參加接力賽，求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：甲不能跑第一棒和第四棒；甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6級）【解析】 先確定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5種選擇，第四棒有4種選擇，剩下的四人中隨意選擇2個人跑第二、第三棒，有種，由乘法原理，共有：種參賽方案 先不考慮甲乙的特殊要求，從6名隊員中隨意選擇4人參賽，有種選擇.考慮若甲跑第一棒，其余5人隨意選擇3人參賽，對應(yīng)種選擇，考慮若乙跑第二棒，也對應(yīng)種選擇，但是從360種中減去兩個60種的時候，重復(fù)減了一次甲跑第一棒且

17、乙跑第二棒的情況，這種情況下，對應(yīng)于第一棒第二棒已確定只需從剩下的4人選擇2人參賽的種方案，所以，一共有種不同參賽方案模塊二、加乘原理與數(shù)字問題【例 16】 由數(shù)字1，2，3 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)？（4級）【解析】 因為有1，2，3共3個數(shù)字，因此組成的數(shù)有3類：組成一位數(shù)；組成二位數(shù)；組成三位數(shù)它們的和就是問題所求組成一位數(shù)：有3個；組成二位數(shù)：由于數(shù)字可以重復(fù)使用，組成二位數(shù)分兩步完成；第一步排十位數(shù)，有3種方法；第二步排個位數(shù)也有3種方法，因此由乘法原理，有個；組成三位數(shù)：與組成二位數(shù)道理相同，有個三位數(shù)；所以，根據(jù)加法原理，一共可組成個數(shù)【例 17】 由數(shù)字0，1，3，9可以

18、組成多少個無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（6級）【解析】 滿足條件的數(shù)可以分為4類：一位、二位、三位、四位數(shù)第一類，組成0和一位數(shù)，有4個（0不是一位數(shù)，最小的一位數(shù)是1）；第二類，組成二位數(shù)，有個；第三類，組成三位數(shù)，有個;第四類，組成四位數(shù)，有個由加法原理，一共可以組成個數(shù)【鞏固】 用數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個小于1000的自然數(shù)？（6級）【解析】 小于1000的自然數(shù)有三類第一類是0和一位數(shù)，有5個；第二類是兩位數(shù)，有個；第三類是三位數(shù)，有個，共有個【鞏固】 用數(shù)碼0，1，2，3，4，可以組成多少個小于1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？（6級）【解析】 分為三類，一位數(shù)時，0和一位數(shù)共有5

19、個；二位數(shù)時，為個，三位數(shù)時，為：個，由加法原理，一共可以組成個小于1000的沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)【例 18】 用09這十個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)（6級）【解析】 無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的千位、百位、十位、個位的限制條件：千位上不能排0，或說千位上只能排19這九個數(shù)字中的一個.而且其他位置上數(shù)碼都不相同，下面分別介紹三種解法.（方法一）分兩步完成： 第一步：從19這九個數(shù)中任選一個占據(jù)千位，有9種方法； 第二步：從余下的9個數(shù)（包括數(shù)字0）中任選3個占據(jù)百位、十位、個位，百位有9種.十位有8種，個位有7種方法； 由乘法原理，共有滿足條件的四位數(shù)9987=4536個 （方法二）組成的四位

20、數(shù)分為兩類：第一類：不含0的四位數(shù)有9876=3024個；第二類：含0的四位數(shù)的組成分為兩步：第一步讓0占一個位有3種占法，（讓0占位只能在百、十、個位上，所以有3種）第二步讓其余9個數(shù)占位有987種占法.所以含0的四位數(shù)有3987=1512個由加法原理，共有滿足條件的四位數(shù)3024+1512=4536個【鞏固】 用0，1，2，3四個數(shù)碼可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（6級）【解析】 分為兩類：個位數(shù)字為0的有個，個位數(shù)字為 2的有個，由加法原理，一共有：個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)【例 19】 在2000到2999這1000個自然數(shù)中，有多少個千位、百位、十位、個位數(shù)字中恰有兩個相同的數(shù)

21、？（6級）【解析】 若相同的數(shù)是2，則另一個2可以出現(xiàn)在個、十、百位中的任一個位置上，剩下的兩個位置分別有9個和8個數(shù)可選，有 398=216（個）；若相同的數(shù)是1，有3824（個）；同理，相同的數(shù)是0，3，4，5，6，7，8，9時，各有 24個，所以，符合題意的數(shù)共有216924=432（個）【例 20】 在1000至1999這些自然數(shù)中個位數(shù)大于百位數(shù)的有多少個? （6級）【解析】 (方法一)解決計數(shù)問題常用分類討論的方法 設(shè)在1000至1999這些自然數(shù)中滿足條件的數(shù)為 (其中)； (1)當(dāng)時，可取19中的任一個數(shù)字，可取09中的任一個數(shù)字，于是一共有個 (2)當(dāng)時，可取29中的任一個數(shù)

22、字，仍可取09中的任一個數(shù)字，于是一共有個(3)類似地，當(dāng)依次取2，3，4，5，6，7，8時分別有70，60，50，40，30，20，10個符合條件的自然數(shù)所以，符合條件的自然數(shù)有個(方法二)1000至1999這1000個自然數(shù)中，每10個中有一個個位數(shù)等于百位數(shù)，共有100個；剩余的數(shù)中，根據(jù)對稱性，個位數(shù)大于百位數(shù)的和百位數(shù)大于個位數(shù)的一樣多，所以總數(shù)為個.【例 21】 某人忘記了自己的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9為確保打開保險柜至少要試多少次？（6級）【解析】 四個非0數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2

23、，3，3；2，2，2，3六種第一種中，只要考慮6的位置即可，6可以隨意選擇四個位置，其余位置方1，共有4種選擇第二種中，先考慮放2，有4種選擇，再考慮5的位置，有3種選擇，剩下的位置放1，共有43=12種選擇，同理，第三、第四、第五種都有12種選擇，最后一種與第一種相似，3的位置有四種選擇，其余位置放2，共有4種選擇.由加法原理，一共可以組成4+12+12+12+12+4=56個不同的四位數(shù)，即為確保打開保險柜至少要試56次【例 22】 從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個? （6級）【解析】 從1到100的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含4的

24、有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有l(wèi)、2、3、5、6、7、8、9這八種情況個位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有個數(shù)不含4三位數(shù)只有100 所以一共有個不含4的自然數(shù)【鞏固】 從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個? （6級）【解析】 從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有l(wèi)、2、3、5

25、、6、7、8、9這八種情況個位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有89=72個數(shù)不含4三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1、2、3、這三種情況十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個位上，不含4的也有九種情況要確定一個三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有個三位數(shù)由于500也是一個不含4的三位數(shù)所以，1500中，不含4的三位數(shù)共有個 所以一共有個不含4的自然數(shù)【鞏固】 從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的

26、自然數(shù)有多少個? （6級）【解析】 從1到300的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含2的有8個，它們是1、3、4、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含2的可以這樣考慮：十位上，不含2的有1、3、4、5、6、7、8、9這八種情況個位上，不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有個數(shù)不含2；三位數(shù)中，除去300外，百位數(shù)只有1一種取法，十位與個位均有0，1，3，4，5，6，7，8，9九種取法，根據(jù)乘法原理，不含數(shù)字2的三位數(shù)有：個，還要加上300； 根據(jù)加法原理，從1到300的所有自然數(shù)中，

27、不含有數(shù)字2的自然數(shù)一共有個【例 23】 由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列，2008排在第 個【2008年第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽】（8級）【解析】 比小的位數(shù)有和，比小的位數(shù)有（種），比小的位數(shù)有（種），比小的位數(shù)有（種），所以排在第（個）【鞏固】 從分別寫有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張，做兩個一位數(shù)乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少種不同的乘積？（6級）【解析】 取2有8、12、16、18四種，取4增加24、32、36三種，取6增加48、72兩種，一共有9種【例 24】 自然數(shù)8336，8545，8782有一些共同

28、特征，每個數(shù)都是以8開頭的四位數(shù)，且每個數(shù)中恰好有兩個數(shù)字相同這樣的數(shù)共有多少個？（6級）【解析】 兩個相同的數(shù)字是8時，另一個8有3個位置可選，其余兩個位置有種填法，有個數(shù)； 兩個相同的數(shù)字不是8時，相同的數(shù)字有9種選法，不同的數(shù)字有8種選法，并有3個位置可放，有個數(shù) 由加法原理，共有個數(shù)【鞏固】 在1000到1999這1000個自然數(shù)中，有多少個千位、百位、十位、個位數(shù)字中恰有兩個相同的數(shù)？（6級）【解析】 若相同的數(shù)是1，則另一個1可以出現(xiàn)在個、十、百位中的任一個位置上，剩下的兩個位置分別有9個和8個數(shù)可選，有個；若相同的數(shù)是2，有3824個；同理，相同的數(shù)是0，3，4，5，6，7，8，

29、9時，各有 24個，所以，符合題意的數(shù)共有個【例 25】 如果一個三位數(shù)滿足，那么把這個三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，求所有“凹數(shù)”的個數(shù)（8級）【解析】 當(dāng)為時，、可以為19中的任何一個，此時有種；當(dāng)為時，、可以為29中的任何一個，此時有種；當(dāng)為時，有種；所以共有(個)【例 26】 用數(shù)字1，2組成一個八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是1的有多少個？（6級） 【解析】 將4個1看成一個整體，其余4個數(shù)有5種情況：4個2、3個2、2個2、1個2和沒有2； 4個2時，4個1可以有5種插法； 3個2時，3個2和1個1共有4種排法，每一種排法有4種插法，共有種； 2個2時，2個2和2個1共有6種排法，每一種排法有3

30、種插法，共有種； 1個2時，1個2和3個1共有4種排法，每一種排法有2種插法，共有種； 沒有2時，只有1種； 所以，總共有：個 答：至少連續(xù)四位都是1的有48個【例 27】 七位數(shù)的各位數(shù)字之和為60 ，這樣的七位數(shù)一共有多少個？（6級）【解析】 七位數(shù)數(shù)字之和最多可以為七位數(shù)的可能數(shù)字組合為：9，9，9，9，9，9，6第一種情況只需要確定6的位置即可所以有6種情況9，9，9，9，9，8，7第二種情況只需要確定8和7的位置，數(shù)字即確定8有7個位置，7有6個位置所以第二種情況可以組成的7位數(shù)有個9，9，9，9，8，8，8，第三種情況，3個8的位置確定即7位數(shù)也確定三個8的位置放置共有種三個相同的

31、8放置會產(chǎn)生種重復(fù)的放置方式所以3個8和4個9組成的不同的七位數(shù)共有種所以數(shù)字和為60的七位數(shù)共有【例 28】 從自然數(shù)140中任意選取兩個數(shù)，使得所選取的兩個數(shù)的和能被4整除，有多少種取法？（6級）【解析】 2個數(shù)的和能被4整除，可以根據(jù)被4除的余數(shù)分為兩類：第一類：余數(shù)分別為0，0140中能被4整除的數(shù)共有（個），10個中選2個，有（種）取法；第二類：余數(shù)分別為1，3140中被4除余1，余3的數(shù)也分別都有10個，有（種）取法；第三類：余數(shù)分別為2，2同第一類，有45種取法根據(jù)加法原理，共有（種）取法【例 29】 在的自然數(shù)中取出兩個不同的數(shù)相加，其和是3的倍數(shù)的共有多少種不同的取法？（6級

32、）【解析】 將1100按照除以3的余數(shù)分為3類：第一類，余數(shù)為1的有1，4，7，100，一共有34個；第二類，余數(shù)為2的一共有33個；第三類，可以被3整除的一共有33個取出兩個不同的數(shù)其和是3的倍數(shù)只有兩種情況：第一種，從第一、二類中各取一個數(shù)，有種取法；第二種，從第三類中取兩個數(shù)，有種取法根據(jù)加法原理，不同取法共有：種【鞏固】 在110這10個自然數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)，共有多少種不同的取法？（6級）【解析】 兩個數(shù)的和是3的倍數(shù)有兩種情況，或者兩個數(shù)都是3的倍數(shù)，或有1個除以3余1，另一個除以3余2110中能被3整除的有3個數(shù)，取兩個有3種取法；除以3余1的有4個

33、數(shù)，除以3余2的有3個數(shù)，各取1個有種取法根據(jù)加法原理，共有取法：種【鞏固】 在這10個自然數(shù)中，每次取出三個不同的數(shù)，使它們的和是3的倍數(shù)有多少種不同的取法？（6級）【解析】 三個不同的數(shù)和為3的倍數(shù)有四種情況：三個數(shù)同余1，三個數(shù)同余2，三個數(shù)都被3整除，余1余2余0的數(shù)各有1個，四類情況分別有4種、1種、1種、種，所以一共有種【鞏固】 從7，8，9，76，77這71個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使其和為3的倍數(shù)的選法總數(shù)是多少? （6級）【解析】 兩個數(shù)和為3的倍數(shù)情況有兩種：兩個被3整除的數(shù)和是3的倍數(shù)，一個被3除余1的數(shù)和一個被3除余2的數(shù)相加也能被3整除.這71個數(shù)中被3整除，被3除余

34、1，被3除余2的數(shù)分別有23、24、24個，選取兩個數(shù)只要是符合之前所說的兩種情況就可以了，選取兩個被3整除的數(shù)的方法有種，從被3除余1和被3除余2的數(shù)中各取1個的方法共有種，所以一共有種選取方法【鞏固】 從這些數(shù)中選取兩個數(shù)，使其和被3除余1的選取方法有多少種？被3除余2的選取方法有多少種？（6級）【解析】 兩個數(shù)的和被3除余1的情況有兩種：兩個被3除余2的數(shù)相加，和一個被3整除的數(shù)和一個被3除余1的數(shù)相加，所以選取方法有種同樣的也可以求出被3除余2的選取方法有種.【例 30】 1到60這60個自然數(shù)中，選取兩個數(shù)，使它們的乘積是被5除余2的偶數(shù)，問，一共有多少種選法？（6級）【解析】 兩個

35、數(shù)的乘積被5除余2有兩類情況，一類是兩個數(shù)被5除分別余1和2，另一類是兩個數(shù)被5除分別余3和4，只要兩個乘數(shù)中有一個是偶數(shù)就能使乘積也為偶數(shù).1到60這60個自然數(shù)中，被5除余1、2、3、4的偶數(shù)各有6個，被5除余1、2、3、4的奇數(shù)也各有6個，所以符合條件的選取方式一共有種【例 31】 一個自然數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)”例如1331，7，202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個?其中的第1996個數(shù)是多少? （6級）【解析】 我們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、六位來逐組計算所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有9個； 在二位數(shù)中

36、，必須為形式的，即有9個(因為首位不能為0，下同)； 在三位數(shù)中，必須為(、可相同，在本題中，不同的字母代表的數(shù)可以相同)形式的，即有910 =90個；在四位數(shù)中，必須為形式的，即有910個；在五位數(shù)中，必須為形式的，即有91010=900個；在六位數(shù)中，必須為形式的，即有91010=900個所以共有9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998個，最大的為，其次為，再次為而第1996個數(shù)為倒數(shù)第3個數(shù)，即為所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有1998個，其中的第1996個數(shù)是【例 32】 如圖，將1，2，3，4，5分別填入圖中的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大

37、共有 種不同的填法【走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園少年數(shù)學(xué)邀請賽】（6級）【解析】 因為要求“填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大”，所以填入黑格中的數(shù)不能夠太小，否則就不滿足條件通過枚舉法可知填入黑格里的數(shù)只有兩類：第一類，填在黑格里的數(shù)是5和4；第二類，填在黑格里的數(shù)是5和3接下來就根據(jù)這兩類進(jìn)行計數(shù)：第一類，填在黑格里的數(shù)是5和4時，分為以下幾步：第一步，第一個黑格可從5和4中任選一個，有2種選法；第二步，第二個黑格可從5和4中剩下的一個數(shù)選擇，只有1種選法；第三步，第一個白格可從1，2，3中任意選一個，有3種選法第四步，第二個白格從1，2，3剩下的兩個數(shù)中任選一個，有2種選法；第五步，最后一個白格只有

38、1種選法根據(jù)乘法原理，一共有種第二類，填在黑格里的數(shù)是5和3時，黑格中有兩種填法，此時白格也有兩種填法，根據(jù)乘法原理，不同的填法有種所以，根據(jù)加法原理，不同的填法共有種【鞏固】 在如圖所示15的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的五個數(shù)，要求填入的數(shù)各不相同，并且填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大共有 種不同的填法（6級）【解析】 如果取出來的五個數(shù)是1、2、3、4、5，則共有不同填法16種從8個數(shù)中選出5個數(shù)，共有876(321)=56中選法，所以共1656=896種【例 33】 從112中選出7個自然數(shù)，要求選出的數(shù)中不存在某個自然數(shù)是另一個自然數(shù)的2倍，那么一共有 種選法（6級）

39、【解析】 由于要求選出的數(shù)中不存在某個自然數(shù)是另一個自然數(shù)的2倍，可以先根據(jù)2倍關(guān)系將112進(jìn)行如下分組：(1，2，4，8)；(3，4，12)；(5，10)；(7)；(9)；(11)由于第一組最多可選出2個數(shù)，第二組最多可選出2個數(shù)，其余四組最多各可選出1個數(shù)，所以最多可選出8個數(shù)現(xiàn)在要求選出7個數(shù)，所以恰好有一組選出的數(shù)比它最多可選出的數(shù)少一個如果是第一組少一個，也就是說第一組選1個，第二組選2個，其余四組各選1個，此時有種選法；如果是第二組少一個，也就是說第一組選2個，其余五組各選一個，此時第一組有3種選法，根據(jù)乘法原理，有種選法；如果是第三組少一個，也就是說第一組選2個，第二組選2個，第

40、三組不選，其余三組各選1個，有種選法；如果是第四、五、六組中的某一組少一個，由于這三組地位相同，所以各有種選法根據(jù)加法原理，共有種不同的選法【例 34】 從到這個自然數(shù)中有 個數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除（6級）【解析】 由于在一個數(shù)的前面寫上幾個0不影響這個數(shù)的各位數(shù)字之和，所以可以將到中的一位數(shù)和兩位數(shù)的前面補上兩個或一個0，使之成為一個三位數(shù)現(xiàn)在相當(dāng)于要求001到999中各位數(shù)字之和能被4整除的數(shù)的個數(shù)一個數(shù)除以4的余數(shù)可能為0，1，2，3，09中除以4余0的數(shù)有3個，除以4余1的也有3個，除以4余2和3的各有2個三個數(shù)的和要能被4整除，必須要求它們除以4的余數(shù)的和能被4整除，余數(shù)的情況有

41、如下5種：；如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)都是0，則每位上都有3種選擇，共有種可能，但是注意到其中也包含了000這個數(shù)，應(yīng)予排除，所以此時共有個；如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)分別為0，1，3，而在3個位置上的排列有種，所以此時有個；如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)分別為0，2，2，在3個位置上的排列有種，所以此時有個；如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)分別為1，1，2，在3個位置上的排列有種，所以此時有個；如果是，即3個數(shù)除以4的余數(shù)分別為2，3，3，在3個位置上的排列有種，此時有個根據(jù)加法原理，共有【鞏固】從10到4999這4990個自然數(shù)中，其數(shù)字和能被4整除的數(shù)有多少個？（6級）【解析】 分段計算：

42、在10004999這4000個數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、1、2、3的各有1000個；在200999這800個數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、1、2、3的各有200個；在2099、120199這160個數(shù)中，數(shù)字和被4除余0、1、2、3的各有40個；此外，1019、100119種分別有2個和4個被4整除，所以，共有個【鞏固】從1到3998這3998個自然數(shù)中，又多少個數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除？（6級）【解析】 從0到999共有1000個數(shù)，它們除以4的余數(shù)為0，1，2，3，這樣，這1000個數(shù)每一個加上千位上對應(yīng)的0，1，2，3，都能被4整除，所以答案為1000個【例 35】 有兩個不完全一樣的正方體，

43、每個正方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？（6級）【解析】 要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮第一類，兩個數(shù)字同為奇數(shù)由于放兩個正方體可認(rèn)為是一個一個地放放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時共有種不同的情形 第二類，兩個數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有種不同情形 最后再由加法原理即可求解兩個正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有種不同的情形【鞏固】 有兩個不完全一樣

44、的正方體，每個正方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？（6級）【解析】 要使兩個數(shù)字之和為奇數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性不同，即這兩個數(shù)字一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù)，由于放兩個正方體可認(rèn)為是一個一個地放放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個正方體，出現(xiàn)偶數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時共有種不同的情形【例 36】 有兩個骰子，每個骰子的六個面分別有1、2、3、4、5、6個點隨意擲這兩個骰子，向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？（6級）【解析】 方法一：要使兩個骰子的點數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個點數(shù)的奇偶

45、性相同，可以分為兩步：第一步第一個骰子隨意擲有6種可能的點數(shù)；第二步當(dāng)?shù)谝粋€骰子的點數(shù)確定了以后，第二個骰子的點數(shù)只能是與第一個骰子的點數(shù)相同奇偶性的3種可能的點數(shù)根據(jù)乘法原理，向上一面的點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有（種）方法二：要使兩個骰子點數(shù)之和為偶數(shù)，只要這兩個點數(shù)的奇偶性相同，所以，可以分為兩類：第一類：兩個數(shù)字同為奇數(shù)有（種）不同的情形第二類：兩個數(shù)字同為偶數(shù)類似第一類，也有（種）不同的情形根據(jù)加法原理，向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有（種） 方法三：隨意擲兩個骰子，總共有（種）不同的情形因為兩個骰子點數(shù)之和為奇數(shù)與偶數(shù)的可能性是一樣的，所以，點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有（種）【鞏固】 有三個骰

46、子，每個骰子的六個面分別有1、2、3、4、5、6個點隨意擲這三個骰子，向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有多少種？（6級）【解析】 方法一：要使三個點數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種情況，三個點數(shù)都為偶數(shù)，或者一個點數(shù)為偶數(shù)另外兩個點數(shù)為奇數(shù)可以分為三步：第一步，第一個骰子隨意擲有6種可能的點數(shù)；第二步，當(dāng)?shù)谝粋€骰子的點數(shù)確定了以后，第二個骰子的點數(shù)還是奇數(shù)偶數(shù)都有可能所有也有6種可能的點數(shù)；第三步，當(dāng)前兩個骰子的點數(shù)即奇偶性都確定了之后第三個骰子點數(shù)的奇偶性就確定了所以只有3種可能的點數(shù)根據(jù)乘法原理，向上一面的點數(shù)之和為偶數(shù)的情形有（種）方法二：要使三個點數(shù)之和為偶數(shù)，有兩種情況，三個點數(shù)都為偶數(shù)，或者一個點

47、數(shù)為偶數(shù)另外兩個點數(shù)為奇數(shù)所以，要分兩大類來考慮： 第一類：三個點數(shù)同為偶數(shù)由于擲骰子可認(rèn)為是一個一個地擲每擲一個骰子出現(xiàn)偶數(shù)點數(shù)都有3種可能由乘法原理，這類共有（種）不同的情形 第二類：一個點數(shù)為偶數(shù)另外兩個點數(shù)為奇數(shù)先選一個骰子作為偶數(shù)點數(shù)的骰子有3種選法，然后類似第一類的討論方法，共有（種）不同情形 根據(jù)加法原理，三個骰子向上一面點數(shù)之和為偶數(shù)的情形共有（種）【鞏固】 3個骰子擲出的點數(shù)和中，哪個數(shù)最有可能？（6級）【解析】 對于3個骰子的情況，情況比較復(fù)雜，點數(shù)和的取值范圍是3到18，其中點數(shù)和為3到8的情況的種數(shù)可以用隔板法求出，例如，8點的情況，實際上將8隔為3段，一共有種而13到

48、18的點數(shù)情況種數(shù)也可以直接求出，例如點數(shù)為13的情況，將每個骰子的數(shù)值分別記為、，、的取值都是1到6，則問題變?yōu)榈慕獾臄?shù)量，即的解的數(shù)量，這就又可以用隔板法來求了，得數(shù)還是21種，(事實上構(gòu)成的數(shù)表一定是左右對稱的)對于點數(shù)和為9、10、11、12的情況不能用隔板法來求，例如對9進(jìn)行隔板有種，但這28種中還包括了1、1、7，1、7、1，7、1、1三種情況，所以實際的情況只有25種，對于點數(shù)和為10點的情況用擋板法求得45種，扣除9種出現(xiàn)超過6點的情況，還有36種,詳表如圖：點數(shù)345678910情況數(shù)1361015212536點數(shù)1817161514131211情況數(shù)136101521253

49、6所以3個骰子的點數(shù)和中，10和11的可能性最大【例 37】 有一種用12位數(shù)表示時間的方法：前兩位表示分，三四位表示時，五六位表示日，七八位表示月，后四位表示年凡不足數(shù)時，前面補0按照這種方法，2002年2月20日2點20分可以表示為2這個數(shù)的特點是：它是一個12位的反序數(shù)，即按數(shù)位順序正著寫反著寫都是相同的自然數(shù)，稱為反序數(shù)例如171，23032等是反序數(shù)而28與82不相同，所以28，82都不是反序數(shù)問：從公元1000年到2002年12月，共有多少個這樣的時刻？（6級）【解析】 反序數(shù)是關(guān)于中心對稱的數(shù)日期的兩個數(shù)可以是01，02，03，10，11，12中的任意一個年份的前兩位可以是101

50、2中的任意數(shù)年份的末兩位可以分別是09，05中的任意數(shù)在公元1000公元2000年間符合條件的數(shù)共有個2000，2001，2002，月份可選01，02，03，10，11，12符合條件的時間共：(個)【例 38】 假如電子計時器所顯示的十個數(shù)字是“”這樣一串?dāng)?shù)，它表示的是1月26日9時30分28秒在這串?dāng)?shù)里，“0”出現(xiàn)了3次，“2”出現(xiàn)了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出現(xiàn)1次，而“4”、“5”、“7”沒有出現(xiàn)如果在電子計時器所顯示的這串?dāng)?shù)里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”這十個數(shù)字都只能出現(xiàn)一次，稱它所表示的時刻為“十全時”，那么2

51、003年一共有多少個這樣的“十全時”？（6級）【解析】 容易驗證在1、2、10、11、12月內(nèi)沒有“十全時” 3月里只有形式032 1 符合條件 其中兩個方格中可以填4或5，四條橫線上可以填6或7或8或9，于是共有個“十全時” 同理4、5月內(nèi)也分別各有48個“十全時” 6月里有兩種形式：061 23 或062 1 符合條件 對于形式兩個方格中可以填4或5；三條橫線上可以填7或8或9， 于是共有個“十全時” 兩個方格中可以填3或4，或5中的任意兩個數(shù)，三條橫線上可以填7或8或9及3、4、5中余下的某一個數(shù) 于是共有個“十全時” 所以6月里共有“十全時”個 同理7、8、9月內(nèi)也分別各有156個“十

52、全時” 綜上所述，2003年一共有個“十全時”模塊三、加乘原理與圖論【例 39】 地圖上有A，B，C，D四個國家(如下圖)，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？（6級）【解析】 A有3種顏色可選；當(dāng)B，C取相同的顏色時，有2種顏色可選，此時D也有2種顏色可選根據(jù)乘法原理，不同的涂法有種；當(dāng)B，C取不同的顏色時，B有2種顏色可選，C僅剩1種顏色可選，此時D也只有1種顏色可選(與A相同)根據(jù)乘法原理，不同的涂法有種綜上，根據(jù)加法原理，共有種不同的涂法【鞏固】 如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給例題中的地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不

53、是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？（6級）【解析】 第一步，首先對A進(jìn)行染色一共有4種方法，然后對B、C進(jìn)行染色，如果B、C取相同的顏色，有三種方式，D剩下3種方式，如果B、C取不同顏色，有種方法，D剩下2種方法，對該圖的染色方法一共有種方法【注意】給地圖染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類解決，前者分類做也可以解決問題【例 40】 如右圖，有A、B、C、D、E五個區(qū)域，現(xiàn)用五種顏色給區(qū)域染色，染色要求：每相鄰兩個區(qū)域不同色，每個區(qū)域染一色有多少種不同的染色方式？（6級）【解析】 先采用分步：第一步給A染色，有5種方法；第二步給B染色，有4種方式；第三步給C染色，有3種方

54、式；第四步給D染色，有3種方式；第五步，給E染色，由于E不能與A、B、D同色，但可以和C同色此時就出現(xiàn)了問題：當(dāng)D與B同色時，E有3種顏色可染；而當(dāng)D與B異色時，E有2種顏色可染所以必須從第四步就開始分類：第一類，D與B同色E有3種顏色可染，共有（種）染色方式；第二類，D與B異色D有2種顏色可染，E有2種顏色可染，共有（種）染色方式 根據(jù)加法原理，共有（種）染色方式【注意】給圖形染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，但如果碰到有首尾相接的圖形往往需要分類解決【鞏固】 如右圖，有A，B，C，D四個區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域的顏色不同，每個區(qū)域染一色有多少種染色方法？（6級）【解析】 A有4種顏色可選，然后分類：第一類：，取相同的顏色有3種顏色可染，此時也有3種顏色可選根據(jù)乘法原理，不同的染法有（種）；第二類：當(dāng)，取不同的顏色時，有3種顏色可染，有2種顏色可染，此時也有2種顏色可染根據(jù)乘法原理，不同的染法有（種）根據(jù)加法原理，共有(種