第4章-斯特瓦爾特定理及應(yīng)用

1、第四章 特瓦爾特定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】斯特瓦爾特定理 設(shè)為的邊上任一點（，），則有或 證明 如圖4-1，不失一般性，不妨設(shè)，則由余弦定理，有，對上述兩式分別乘以，后相加整理，得式或式斯特瓦爾特定理的逆定理 設(shè)，依次分別為從點引出的三條射線，上的點，若，或 ，則，三點共線證明 令，對和分別應(yīng)用余弦定理，有，將上述兩式分別乘以，后相加，再與已知條件式相比較得，由此推出，即證斯特瓦爾特定理的推廣 （1）設(shè)為的邊延長線上任一點，則（2）設(shè)為的邊反向延長線上任一點，則注 若用有向線段表示，則，式是一致的推論1 設(shè)為等腰的底邊上任一點，則注 此推論也可視為以為圓心，為半徑的圓中的圓冪定理推論2 設(shè)為的邊上

2、的中線，則推論3 設(shè)為的的內(nèi)角平分線，則推論4 設(shè)為的的外角平分線，則推論5 在中，若分線段滿足，則注 若，則【典型例題與基本方法】1選擇恰當(dāng)?shù)娜切渭耙贿吷系囊稽c，是應(yīng)用斯特瓦爾特定理的關(guān)鍵例1 如圖4-2，凸四邊形中，對角線，交于點求（1996年北京中學(xué)生競賽題）解 延長，相交于，設(shè)，則，對及邊上的點，應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有由，有，即，求得 于是，又在中，從而 而，故 ，即為所求例2 如圖4-3，在中，點是外心，兩條高，交于點，點，分別在線段，上，且滿足，求的值（2002年全國高中聯(lián)賽題）解 延長交于，由三角形垂心性質(zhì)，知為關(guān)于的對稱點，則設(shè)的半徑為，由，知延長兩端交于，如圖4-3，由相交

3、弦寇理有，即，即在及邊上的點，應(yīng)用斯特瓦爾特定理，并注意到 ，可得，即 ，亦即 于是，有亦即 ，即 而當(dāng)時，故 為所求2注意斯特瓦爾特定理的推論的應(yīng)用例3 如圖4-4，自外一點引圓的兩條切線，為切點，過點任意引圓的割線交于，交于證明：（2001年湖南中學(xué)生夏令營試題）證明 由相交弦定理，有由于，對等腰及底邊上的點，應(yīng)用斯特瓦爾特定理的推論1，有 ，即有而，從而故 注 此例結(jié)論表示線段是線段，的調(diào)和平均這個結(jié)論亦即為點、調(diào)和分割弦例4 如圖4-5，設(shè)在中，平分，且交于，在上有一點，使求證：（1979年江蘇省競賽題）證明 對及邊上的點，應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有由平分，對及邊上的點，應(yīng)用斯特瓦爾特定理

4、的推論3，有 ，從而因，有，即由角平分線的性質(zhì)，有 ，即 從而，由式，有例5 凸多邊形外切于，兩組對邊所在的直線分別交于點、，對角線交于點求證：（中等數(shù)學(xué)奧林匹克題高中251題）證明 如圖4-6，設(shè)與邊、分別切于點、，則由牛頓定理知，、四線共點于由切線長定理，知由推論1，有同理，聯(lián)結(jié)、，令的半徑為，則又由相交弦定理，有于是，由、有由定差冪線定理，知注 （1）牛頓定理 圓外切四邊形的兩條對角線、兩對邊切點的連線，這4條直線共點（2）定差冪線定理 設(shè)、是兩條線段，則的充要條件為此定理可用勾股定理及逆定理證明這個定理放到空間也是成立的運用向量法可給出平面、空間的統(tǒng)一證明如下：由知 故 例6 已知、分

5、剔是的邊、的中點，、是邊、上的高，聯(lián)結(jié)、交于點又設(shè)、分別是的外心、垂心，聯(lián)結(jié)、求證：（2005年國家隊集訓(xùn)題）證明 如圖4-7，聯(lián)結(jié)、設(shè)、分別為、的中點，則，即知點在線段的中重線上，應(yīng)用推論1，有注意到為中位線，在的中垂線上，由此知也在的中垂線上，應(yīng)用推論1，有再注意到，知、四點共圓，并由直角三角形性質(zhì)，有及、由、得由定差冪線定理，而，故注 此例的其他證法可參見第九章例16、第十章例15例7 設(shè)是的邊上一點，滿足，經(jīng)過、兩點，并分別與、交于、兩點，、交于點，聯(lián)結(jié)、，取的中點求證：證明 如圖4-8，在的延長線上取點，使得（即、四點共圓），則由知、也四點共圓于是 ，知、四點共圓，即有聯(lián)結(jié)、，并令半

6、徑為，則對、分別應(yīng)用推論1，有聯(lián)結(jié)，由三角形中線長公式，并注意、，有聯(lián)結(jié)、，對應(yīng)用推論1，有又由，有，即有注 即為完全四邊形的密克爾點，由、有由定差冪線定理，知 3注意斯特瓦爾特定理等價于托勒密定理斯特瓦爾特定理可推導(dǎo)出托勒密定理證明 如圖4-9，在中，點在上，由斯特瓦爾特定理，有延長交的外接圓于，連，由和，有 ，又由相交弦定理，有于是，得，即 ，亦即 即為托勒密定理由托勒密定理也可推導(dǎo)斯特瓦爾特定理證明 如圖4-10，設(shè)圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于由托勒密定理，有即 由和，有，由相交弦定理，有將這些式子代入前述式子即得斯特瓦爾特定理因此，在應(yīng)用中，兩個定理的應(yīng)用范圍相同，所顯示的功能也一樣，即

7、凡能用托勒密定理處理的問題也能用斯特瓦爾特定理處理反之亦然例8 若的三邊為連續(xù)整數(shù)，且最大角是最小角的兩倍，求三角形的三邊長（-10試題）解法1 作的平分線（圖略），則，令，則，由斯特瓦爾特定理的推論3，有，即，又，即 ，有故由，求得（舍去），即，解法2 作的外接圓，取的中點，連，則為梯形，其中令，則，且，對四邊形應(yīng)用托勒密定理，有，求得（下略）【解題思維策略分析】1獲得線段倍分關(guān)系的一條途徑例9 如圖4-11，已知的外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，另一個圓與邊，分別切于點，且與圓內(nèi)切求證：內(nèi)心是線段的中點（-34預(yù)選題）證明 設(shè)圓的圓心為，半徑為，于是，三點共線，且，則，且于

8、是，連，對，及邊上的點，應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有注意到歐拉公式，及，并將其代入式，得到，化簡得 從而 ，即 因為，且平分，令的中點為，由射影定理，有比較式和式，知與重合，即得為的中點例10 如圖4-12，兩個大圓，相等且相交；兩個小圓，不相等但相交，且交點為，若，既同時與內(nèi)切，又同時與外切試證：直線平分線段（中等數(shù)學(xué)奧林匹克問題高中58題）證明 由于，半徑不相等，此兩圓交點所在直線必與線段相交，設(shè)交點為連，顯然，設(shè)垂足為，又設(shè)，的半徑均是，的半徑分別為，則易得，因為，或，垂足為，則設(shè)，對及邊上的點，應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有對及邊上的點，應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有，得，即 ，亦即 因，從而，即故，即直線

9、平分線段2求解三角形問題的一種工具斯特瓦爾特定理在求解三角形中有關(guān)線段的問題有著重要作用，這可從習(xí)題A中的第6題，習(xí)題B中的第7題等可以看出在求解三角形的其他問題中，它也有著重要作用例11 設(shè)的三邊為，其面積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時，等式成立（-3試題）證明 取的中點，對及邊上的點，應(yīng)用斯特瓦爾特定理的推論2，有 從而有設(shè)的邊上的高為，則，于是故，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)且時成立，也即且，此時恰為正三角形例12 如圖4-13，在中，分別為和同方向延長線上的點，與相交于，且當(dāng)在邊的中線上時，則證明 設(shè)交于分別對及點和及點應(yīng)用斯特瓦爾特定理的推廣結(jié)論，有，于是由于，對及點應(yīng)用塞瓦定理，有，即當(dāng)點在邊上

10、的中線上時，有從而，由此知，故例13 如圖4-14，若是的邊延長線上一點，則平分的外角的充分必要條件是證明 必要性：若平分的外角，則由推論4即有或者按證明斯特瓦爾特定理的方法來推導(dǎo)充分性：設(shè)直線交的外接圓于，連、由割線定理有，并將其代入條件式可得由此可知必在的延長線上（因）于是由，有由得 又由，有由得，由得，對四邊形應(yīng)用托勒密定理，有于是即，從而因此故平分的外角例14 如圖4-15，設(shè)正的內(nèi)切圓圓心為，半徑為，在內(nèi)任取一點，設(shè)點到，的距離分別為，求證：以，為邊可以構(gòu)成一個三角形，且其面積為（數(shù)學(xué)通報問題1356題）證明 設(shè)正三角形的邊長為1，則，連并延長交于，則由題設(shè)知，由于，對及邊上的點，對

11、及邊上的點，均應(yīng)用斯特瓦爾特定理的推論1，有又由，知，于是，又對及邊上的點應(yīng)用斯特瓦爾特定理，有由，知，將上述各式及式代入式，并注意，有即 于是，此式可寫成為 由于點在內(nèi)部，則，從而，必有，如若不然，比如，則，即與已知矛盾，則知，可見，以，為邊可以構(gòu)成三角形，且由海倫秦九韶公式及式知其面積為【模擬實戰(zhàn)】習(xí)題A1在中，邊有100個不同的點，記（1，2，100），求的值2在中，的平分線交于證明：（匈牙利中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）3在中，是邊上的點，已知，求4在中，設(shè)為邊上任一點，則（ ）ABCD與的大小關(guān)系不確定5是的邊上的一點，且，求證：是的外接圓的切線6設(shè)的三邊，設(shè)，分別為邊上的中線長和高線長；，分別為邊所對的角的內(nèi)、外角平分線長求證下列各式：（）；（）；（）；（）7在中，求證：是直角三角形8證明：到三角形三頂點的距離的平方和最小的點是重心習(xí)題B1設(shè)，分別是共線的三點，對于所作切線的長求證： 2銳角的外接圓過，的切線相交于，點是的中點求證： （-26預(yù)選題）3和是的割線，分別交于，且，過的直線交于，（在與之間），交，