理論力學(xué)(第10章)ppt課件

1、第10章 動能定理,理 論 力 學(xué),10.4 動力學(xué)普遍定理,10.1 力的功,10.2 動能及其計(jì)算,第 10 章 動 能 定 理,10.3 動能定理,動 力 學(xué),10.1 力 的 功,10.1.1 常力的功,質(zhì)點(diǎn)M在常力F的作用下，沿直線從M1運(yùn)動到M2，其位移為s。則此力F在位移方向的投影Fcos與其位移的乘積，定義為力F在路程s中所做的功，記為W。即,其中 Fcos 為力 F 在運(yùn)動方向上的投影，可正可負(fù)?？梢娏Φ墓κ谴鷶?shù)量,功的基本單位在國際單位制中采用 J，即,1 J = 1 N m,WFcos s,質(zhì)點(diǎn) M 在變力F作用下沿圖示空間曲線運(yùn)動, 將曲線 A1A2 分成許多微小弧段，

2、視每個(gè)元弧段 ds( 即元路程 ) 為直線段，而力 F 則視為常力， 應(yīng)用常力的功 的計(jì)算式，則力 F 在元路程 ds 中的功，稱為力 F 的元功。即,式中 是力 F 與速度 v 間的可變夾角。由于元路程ds對應(yīng)于位移的大小 |dr| = |v|dt，故上式可以改寫成,1. 元功的定義,10.1.2 變力的功,10.1 力 的 功,W =Fcosds,2.元功的解析表示式,3.變力在曲線路程中的總功,11.2 力 的 功,4.合力的功,式中，F(xiàn)x、Fy、Fz分別為力F在直角坐標(biāo)軸x、y、z上的投影,合力FR在任一路程上所作功，等于各個(gè)分力在同一路程中所作功的代數(shù)和,1. 重力的功,如圖所示，質(zhì)

3、量為m的質(zhì)點(diǎn)M沿曲線從位置Ml運(yùn)動到位置M2。因?yàn)镕x=Fy=0、Fz= mg，則重力所作功為,10.1.3 常見力的功,10.1 力 的 功,上式表明，重力所作的功，等于重力與其重心的始末位置高差之乘積?？梢?，重力所作功僅與其重心的始末位置高差有關(guān)，而與重心的運(yùn)動路徑無關(guān)重力為有勢力,并且：z1z20， W 0; z1 z20，W 0,2.彈性力的功,10.1 力 的 功,彈簧原長l0，剛度系數(shù)k，如圖所示。計(jì)算M 由 M1 M2過程中彈力所做功,此式表明，彈性力的功也是與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路徑無關(guān)，而只取決于彈簧在始末位置的變形量（伸長或縮短）。因此，彈性力亦為有勢力,10.1 力 的 功,3.轉(zhuǎn)

4、動剛體上力(力矩)的功,一剛體在力F作用下繞z軸轉(zhuǎn)過d角，其作用點(diǎn)M走過的路程為ds，則元功為,力F對軸z的矩,所以,所以,當(dāng)轉(zhuǎn)動剛體在力F作用下，由1位置運(yùn)動到2位置時(shí)，力F所作的功為,而,若力矩是常量，則力在上述過程中的總功為,W 12 = Mz (2 1,有 結(jié) 論,作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的功，等于該力對轉(zhuǎn)軸的矩與剛體微小轉(zhuǎn)角的乘積的積分,10.1力 的 功,3.轉(zhuǎn)動剛體上力(力矩)的功,4.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功,內(nèi)力雖然等值而反向，但做功之和并不等于零。例如，由兩個(gè)相互吸引的質(zhì)點(diǎn)A和B組成的質(zhì)點(diǎn)系，兩質(zhì)點(diǎn)間的相互作用的力F、F是一對內(nèi)力，兩質(zhì)點(diǎn)位移的元位移drA、drB如圖所示。則內(nèi)力F和

5、F的元功之和為,10.1 力 的 功,可見，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力所作功的總和不一定等于零,但是,剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離始終保持不變，所以剛體內(nèi)力所作功的總和恒等于零,10.1 力 的 功,5摩擦力的功,當(dāng)剛體與接觸面之間有相對滑動時(shí)，摩擦力是作功的。一般情況下摩擦力方向與物體的運(yùn)動方向相反，這時(shí)摩擦力作負(fù)功（摩擦力有時(shí)也作正功），其大小等于摩擦力與其滑動距離的乘積。請注意，摩擦力的功與物體的運(yùn)動路徑有關(guān)。然而，如果摩擦力作用點(diǎn)沒有位移，盡管有靜滑動摩擦力存在，但靜滑動摩擦力不作功(例如物體沿固定面作純滾動的情形,10.1.3 常見力的功,6.理想約束反力的功,光滑的固定支承面 (圖 a)，軸承，銷釘 (

6、圖 b)和活動支座 (圖 c)的約束力總是和它作用點(diǎn)的元位移 dr 垂直，所以這些約束力的功恒等于零,1） 光滑的固定面 、軸承、銷釘 和活動鉸支座,10.1 力 的 功,理想約束 約束力不作功或作功之和等于零。例如,由于柔繩僅在拉緊時(shí)才受力，而任何一段拉直的繩子就承受拉力來說，都和剛桿一樣, 其內(nèi)力的元功之和等于零。繩子繞著光滑物體，情形相同,當(dāng)由鉸鏈相聯(lián)的兩個(gè)物體一起運(yùn)動而不發(fā)生相對轉(zhuǎn)動時(shí)，鉸鏈間相互作用的壓力與剛體的內(nèi)力性質(zhì)相同。當(dāng)發(fā)生相對轉(zhuǎn)動時(shí)，由于接觸點(diǎn)的約束力總是和它作用點(diǎn)的元位移相垂直，這些力也不做功,2） 不可伸長柔繩的拉力,3） 光滑活動鉸鏈內(nèi)的壓力,11.2 力 的 功,6

7、.理想約束反力的功,10.1 力 的 功,7.功率的概念 表示力做功的快慢是功率。通常用力在單位時(shí)間內(nèi)所做的功定義為力的功率，記為P,當(dāng)作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力矩為Mz，則其功率為,單位：瓦特，簡稱瓦(W)。 lW=1Js=1Nms=1kgm2s3。 工程上還采用馬力作為功率的單位，即1馬力=735.5W,10.2 動能及其計(jì)算,即：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度平方乘積的一半稱為質(zhì)點(diǎn)的動能,設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 m ，速度為 v ，則該質(zhì)點(diǎn)的動能,動能是物體機(jī)械運(yùn)動的一種度量，恒為正值的標(biāo)量,10.2.1 質(zhì)點(diǎn)的動能,質(zhì)點(diǎn)系的動能等于系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)動能的總和，用符號 T 表示，則有,國際單位制中，動能的常用單位是

8、 kgm2/s2，即 J (焦耳,10.2.2 質(zhì)點(diǎn)系的動能,1.平移剛體的動能,平動剛體各點(diǎn)的速度和質(zhì)心速度 vC 相同，M表剛體質(zhì)量，則其動能,平移剛體的動能，等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心速度平方乘積的一半,10.2.3 剛體的動能,即,質(zhì)點(diǎn)系的動能,10.2 動能及其計(jì)算,式中,2. 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能,設(shè)剛體以角速度 繞定軸 z 轉(zhuǎn)動，以 mi 表示剛體內(nèi)任一點(diǎn) I 的質(zhì)量，以 ri 表示 點(diǎn)I 的轉(zhuǎn)動半徑，則該剛體的動能為,其中mr2 = Jz 是剛體對轉(zhuǎn)軸 z 的轉(zhuǎn)動慣量,可見，定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能，等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半,轉(zhuǎn)動慣量 Jz 就是剛體繞 z 軸轉(zhuǎn)動時(shí)慣

9、性的度量,10.2 動能及其計(jì)算,3. 平面運(yùn)動剛體的動能,平面運(yùn)動剛體的角速度是 ，速度瞬心在P 點(diǎn)，剛體對瞬軸的轉(zhuǎn)動慣量是 JP 。則該剛體的動能為,式中JC是對平行于瞬軸的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量,根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理有,10.2 動能及其計(jì)算,因?yàn)橘|(zhì)心 C 的速度大小 vC = rC 。由上式得,即,平面運(yùn)動剛體的動能,等于它以質(zhì)心速度作平動時(shí)的動能與相對于質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動時(shí)的動能之和,10.2 動能及其計(jì)算,3. 平面運(yùn)動剛體的動能,10.2 動能及其計(jì)算,例10-1 求例9-6所示系統(tǒng)的動能，系統(tǒng)如圖所示,解 ： 1.運(yùn)動分析,2.動能計(jì)算,輪A： 定軸轉(zhuǎn)動，物塊C：平移，輪B：平面運(yùn)動,因

10、為,所以,10.2 動能及其計(jì)算,例10-2 圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)，OA=r，AB=2r，OA、AB及滑塊B質(zhì)量均為m，曲柄以的角速度繞O 軸轉(zhuǎn)動，C為連桿AB的質(zhì)心。試計(jì)算圖示瞬時(shí)系統(tǒng)的動能,解,系統(tǒng)的動能為,代入運(yùn)動學(xué)關(guān)系,10.3 動能定理,設(shè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M ，在力作用下 F 沿曲線由 M1 運(yùn)動到 M2 ，它的速度由 v1 變?yōu)?v2,兩邊點(diǎn)乘速度 v 得,mv dv = F vdt,10.3.1 質(zhì)點(diǎn)動能定理,1. 微分形式,由牛頓第二定理,即，質(zhì)點(diǎn)動能的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元功質(zhì)點(diǎn)動能定理的微分形式,將上式沿路程 A1A2 積分，得,上式右端就是作用力的元功，左端可改寫成

11、 mv dv = md(v v)/2 = d(mv2/2)，從而得,mv dv = F dr,式中 W12 表示力 F 在路程 A1A2 中的功。 可見，質(zhì)點(diǎn)動能在某一路程中的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的各力在該路程中所作的功質(zhì)點(diǎn)動能定理的積分形式,2. 積分形式,10.3 動能定理,即，質(zhì)點(diǎn)系動能的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)系所有外力元功和內(nèi)力元功的代數(shù)和質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式,對于質(zhì)點(diǎn)系中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)，都有類似上式，相加得,因,故上式可寫成,由質(zhì)點(diǎn)動能定理的微分形式,1.微分形式,10.3.2 質(zhì)點(diǎn)系動能定理,10.3 動能定理,式中 T1 ， T2 分別代表某一運(yùn)動過程中開始和終了時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的動能。上

12、式表明質(zhì)點(diǎn)系的動能在某一路程中的改變量,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有內(nèi)、外力在該路程中的功的代數(shù)和質(zhì)點(diǎn)系動能定理的積分形式,將上式積分，得,2.積分形式,10.3 動能定理,10.3.2 質(zhì)點(diǎn)系動能定理,由微分形式,對于理想約束剛體系統(tǒng)，則有,2.積分形式,10.3 動能定理,10.3.2 質(zhì)點(diǎn)系動能定理,式中W主表示作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有主動力做功的代數(shù)和,1.勢能,10.3 動能定理,10.3.3 機(jī)械能守恒定理,為度量一質(zhì)點(diǎn)系（質(zhì)點(diǎn)）在不同位置上有勢力作功的能力，可選擇一基準(zhǔn)點(diǎn)MO（勢能為零,稱為零勢點(diǎn)），質(zhì)點(diǎn)系（質(zhì)點(diǎn)）從任意位置M運(yùn)動到基準(zhǔn)點(diǎn)MO有勢力所作的功，稱為質(zhì)點(diǎn)系（質(zhì)點(diǎn)）在該位置的勢能。

13、即,2.機(jī)械能守恒定理,受理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動過程中，若作功的力為有勢力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能守恒。即,T2+V2 = T1+V1 = 常量,10.3 動能定理,例10-3 在圖示機(jī)構(gòu)中，已知：勻質(zhì)圓盤A的半徑為r，沿水平面作純滾動，勻質(zhì)細(xì)桿AB長為L（C為桿AB的中點(diǎn)），圓盤、桿及滑塊B質(zhì)量均為m，。試求桿AB自水平位置無初速地滑到與鉛垂線成 =45時(shí)，圓盤中心A的速度,10.3 動能定理,解,1.取圓盤、桿AB及滑塊B組成的理想約束系統(tǒng)為研究對象，受力如圖,2.運(yùn)動分析并計(jì)算動能,T1= 0,3計(jì)算主動力做功,10.3 動能定理,解,T1= 0,4. 應(yīng)用動能定理,得,10.3 動能定理,例

14、10-4 跨過定滑輪的繩索，兩端分別系在質(zhì)量均為m的滑塊A和B上，滑塊B置于傾角為 的光滑斜面上，并與剛度系數(shù)為k的彈簧連接，彈簧的另一端與固定面相連，如圖所示?；喴暈橘|(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤。繩索與滑輪無相對滑動。初始時(shí)，系統(tǒng)靜止，彈簧無變形。試求彈簧被拉長s時(shí)，滑塊A的速度和加速度,10.3 動能定理,1.選滑輪和兩個(gè)滑塊組成的系統(tǒng)為研究對象，受力如圖所示,2.運(yùn)動分析并計(jì)算系統(tǒng)動能,T1=0,3計(jì)算主動力做功,解,10.3 動能定理,解,T1=0,4.應(yīng)用動能定理,得,a,所以，滑塊A的速度為,將式（a）中的s看作時(shí)間t的函數(shù)，并將此式兩邊同時(shí)對時(shí)間t求導(dǎo)，可得滑塊A的加速度為,10.3 動

15、能定理,5.討論,解,1）如將此例中的滑塊B改為半徑為r的滾輪，并可沿斜面作純滾動，斜面的動摩擦因數(shù)為f（如圖所示），能否求出當(dāng)彈簧拉長s時(shí)，滾輪B的角速度和角加速度？ （2）本例可否用動量矩定理求解？如用動量矩定理，如何選擇研究對象,例題 10-5 平臺的質(zhì)量 m = 30 kg，固連在剛度系數(shù) k = 18 Nmm1的彈性支承上?，F(xiàn)在從平衡位置給平臺以向下的初速度v0 = 5 m s 1，求平臺由這位置下沉的最大距離 ，以及彈性支承中承受的最大力，假設(shè)平臺作平動,l0,1= st,2= st,v0,A1,A2,v2=0,mg,F,b,c,a,10.3 動能定理,取平臺為研究對象。從平衡位置

16、A1(圖a)運(yùn)動到最大下沉位置A2(圖b)，平臺的初動能 T1=mv02/2 ，而末動能 T2=0 。彈簧的初變形1= st=mg/k，末變形 2= st+s ，作用在平臺上的力有重力mg 和彈性力 F(圖c,解,l0,1= st,2= st,v0,A1,A2,v2=0,mg,F,a,b,c,v0,v2=0,10.3 動能定理,根據(jù)動能定理的積分形式,由此求得平臺的最大下沉距離,彈性支承有最大壓縮量2= st+ ,故承受的最大壓力,Fmax = k(st+ ) = mg + k = 4 kN,204 mm,它們的總功為,10.3 動能定理,解,10.4 動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用,動力學(xué)普遍定理,

17、動量定理,動量矩定理,動能定理,動量方法,能量方法,動量定理給出了質(zhì)點(diǎn)系動量的變化與外力主矢之間的關(guān)系，可用于求解質(zhì)心運(yùn)動或某些外力（如支座反力,動量矩定理描述了質(zhì)點(diǎn)系動量矩的變化與主矩之間的關(guān)系，可用于具有轉(zhuǎn)動特性的質(zhì)點(diǎn)系，求解角加速度等運(yùn)動量和外力（尤其適宜求解剛體系統(tǒng)繞同一定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題,動能定理建立了做功的力與質(zhì)點(diǎn)系動能變化之間的關(guān)系，可用于較復(fù)雜的質(zhì)點(diǎn)系、剛體系求運(yùn)動規(guī)律。由于動能定理的標(biāo)量形式，在許多實(shí)際問題中約束力又不作功，因此應(yīng)用動能定理分析具有多處約束系統(tǒng)的速度變化是比較方便的。對動能定理進(jìn)行微分運(yùn)算還可求解加速度,10.4 動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用,10.4 動力學(xué)普遍

18、定理綜合應(yīng)用,例10-6 已知：斜面傾角為b，物塊A的質(zhì)量為m1，與斜面間的動摩擦因數(shù)為f 。均質(zhì)滑輪B質(zhì)量為m2、半徑為R，繩與滑輪間無相對滑動；均質(zhì)圓盤C作純滾動，質(zhì)量為m3、半徑為r，繩的兩直線段分別與斜面和水平面平行。試求當(dāng)物塊A由靜止開始下滑距離為s時(shí)： （1）滑輪B的角速度和角加速度； （2）該瞬時(shí)滑輪B與圓盤C之間繩子的拉力,10.4 動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用,解,取物塊A、均質(zhì)滑輪B和均質(zhì)圓盤C 所組成的系統(tǒng)為研究對象，受力如圖（b,T1=0,1.計(jì)算滑輪B的角速度和角加速度,因?yàn)?所以,10.4 動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用,解,而,代入,有,所以，滑輪B的角速度為,10.4 動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用,將此式兩邊同時(shí)對時(shí)間t求導(dǎo)，并利用,得滑輪B的角加速度,解,10.4 動力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用,解,2.求滑輪B與圓盤C之間繩子的拉力FT,如圖（b）所示。系統(tǒng)對B軸的動量矩和力矩分別為,據(jù)